1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

7.Тре­§ 5.1. Элементарная эквивалентность149Пример5.1. 7. Пусть 2( - свободная группа со свободными об­{ai I i Е J} и I' <;;;; I - бесконечное множество. Тогдагруппа i:!3 <;;;; 2t, порожденная в 2t множеством { ai I i Е J'}, являетсяэлементарной подгруппой 2t.разующимиДляЬ1,<;;;;доказательства... , Ьп{ai I iвоспользуемсяпредложениемПусть5.1.5.Е В и а Е А. Тогда существуют конечные множества Х <;;;;Еи У<;;;;I'}{ai I iЕ\Х, для которых Ь1,J}... ,Ьпи а Е А(Х U У).

Рассмотрим разнозначное отображениеfЕ А(Х)множестваI i Е J} на себя, оставляющее элементы Х на месте и отображающееi Е J'}. Тогда f однозначно продолжается до автоморфизмагруппы 2t, который удовлетворяет условию из предложения 5.1.5.{ aiУ в { ai IХотя во многих случаях признак из предложения5.1.5 легко4).при­не имеет места(см.меняется, он не является необходимым (см. упражнениеАналог предложенияупражнение4),3.1.2 для отношения-<в то время как для предложения3.1.3соответствующееутверждение справедливо.Множество{2ti I iЕJ}алгебраических систем назовем элементар­но направленным, если для любых2(i-< 2(kиi, jЕJ существует такое k Е J, что2tj -< 2(k.Предложение5.1.8.Если{2ti I iЕэлементарно направлен­J} -ное множество алгебраических систем сигнатуры :Е, то= U 2ti,2(1 -<2(=j Е J.iElДо к аз ат ель ст в о.

Эквивалентность(5.1)дляi:!3 = 2(1 ,докажеминдукцией по длине Ф. Как и в доказательстве предложениядостаточно рассмотреть случай Фгде а1,= :3хФ.Пусть 2(5.1.4,F :3хФ(х, а1, ... , ап),Е А 1 . Тогда 2t F Ф(а, а1, ... , ап) для некоторого а Е Ai.k Е J, для которого 2ti -< 2(k и 2(1 -< 2tk. По индукционному... , апВозьмемF Ф(а, а1, ...

, ап), следовательно, 2(k F :3хФ(х, а1, ...то 2t1 F :3хФ(х, а1, ... , ап). Обратно, пустьимеет место 2t1 F :3хФ(х,а1, ... ,ап)- Тогда 2t1 F Ф(а,а1, ... ,ап) длянекоторого а Е А 1 и по индукционному предположению 2t F Ф(а, а1, .... . . , ап), следовательно, имеет место 2t F :3хФ(х, а1, ... , ап).Dпредположению 2(. . . , ап)-Так как2t1 -< 2tk,Хотя аналог предложения3.1.2для-<не имеет места, более слабыйвариант соответствующего утверждения является очень важным.Теорема:Е и Х <;;;; А.i:!3-< 2t,5.1.9.Пусть 2( -алгебраическая системd сигнатурыТогда существует такая элементарная подсистемачто Х <;;;; В иIBI ~ max(IXI, l:El,w).До к аз ат ель ст в о. Полагаем ХоДля любой формулы Ф= Х.= :3хФ(х, х1, ...

, xk)Пусть Хп уже определено.сигнатуры :Е и любой ин-Гл.150терпретациичтоесли1 : {х,, ... , Xk}21ряетчто-+ А выбираем такой элемент а(Ф, 1 ) Е А,... ,,хk), то 21 р Ф(а(Ф, 1 ),,х,, ... ,,хk)­U {а(Ф, 1 ) 1Ф = ЗхФ Е F(Щ,,: FV(Ф)-+ Хп}.подсистема !В ~ 21 с носителемU Хп удовлетво~=условиюХппредложения,\ = max(IXI, IEl,w),тоТеория моделейр ЗхФ(х,,х,,Полагаем Хп+1Ясно,5.мощностьтомножестваУпnEwследовательно, !В-< 21. ЕслиIXol ~ А. Если IXnl ~ ,\,интерпретаций I переменных в Хп5.1.4,IF(E)I ~ ,\ис конечной областью определения не превосходит U Х;:" Так какI1х:1 ~1·mEwmax(IXnl,w), то IYnl ~ ,\. w = ,\, поэтому IXn+1I ~ IF(E)I х= А. Следовательно, IBI ~ ,\ · w = А.Ох IYnl ~ -\ 2Определение. Пусть21 -алгебраическая система сигнатуры Е иIХ ~ А.

Возьмем множество Сх = {Са а Е Х}, не пересекающеесяс R U F и Са -=J. сь для а -=J. Ь. Определим сигнатуру Ех как полученнуюиз Е добавлением элементов множества Сх в качестве новых констант.Обозначим через 21х обогащение системы21до сигнатуры Ех, в ко­тором константа Са, а Е Х, интерпретируется элементом а. МножествоD(21, Х)атомарных предложений сигнатуры Ех или их отрицаний,истинных в системе 21х, называется диаграммой множества Х вЕсли в определенииихотрицания>>диаграммынаD(21, Х)<,предложения»,D*(21, Х).21.заменить <,атомарные предложения илитополучим определение полнойДиаграмма (полная диаграмма) А вется диаграммой (полной диаграммой)2121называ­и обозначается черезD(21)(соответственно D* (21)).Предложение5.1.10. а).

Если 21 - алгебраическая система сиг­- модель диаграммы D(21) (полной диаграммы,D*(21)) сигнатуры Ел, то 21 ~ !13 1 r Е для некоторой !13 1 ~ !В (неко­торой !131 -< !В).б). Если 21 ~ !В - алгебраические системы сигнатуры Е, тонатуры Е и !ВДо к аз ат ель ст в о. а). Очевидно, что отображение, сопоставляю­щее элементу а Е21 элемент v'Б(са), будет требуемым изоморфизмом.б) вытекает непосредственно из определений.Теорема5.1.

9Опозволяет <,спускаться» по мощностям, сохраняя эле­ментарные свойства. Следующая теорема позволяет <<подниматься».Теорема,\ -5.1.11.Пусть21 - бесконечная система сигнатуры Е,max{IAI, IEI}- Тогда существует такаяIBI = -\.кардинал, не меньшийсистема !В, что21-<!В и§ 5.1.Элементарная эквивалентностьДо к аз ат ель ст в о.Возьмеммножество С151символовмощности Х, не пересекающееся с множествомR U F.константРассмотриммножествоТак как система 1.2( бесконечна, то для любого конечного подмно­жества Х ~ У систему 1.2( можно обогатить до модели Х. По тео­реме компактности существует модель !В 1 множества У сигнатуры'Елuс, Очевидно, чтоIB11 ~ л. По теореме 5.1.9 существует IВ2 -< IВ1,IB2 I = л.

По предложению 5.1.1 О, а) существует !Вз -< IВ2 и изоморфизм!1: 1.2(~ !Вз 1'Е. Теперь нужно лишь переименовать в системе IВ2 1'Еэлементы Ь Е В3 на f 1- 1 Ь, чтобы получить требуемую !В. Чтобы избе­жать коллизии при таком переобозначении, поступаем следующим об­n А= 0иразнозначное отображение множества В=разом. Возьмем множествоПустьf -жество В2 и/1f.~Z,для которогоZОпределим систему !В=IZI = IB2 \ Взl.U Z на мно­А(В, v'В) сигнатуры 'Еследующим образом:а) если s ЕR UF -б} если s ЕF -не константа, токонстанта, тоЯсно, что.

. . , хп)Еf - изоморфизм !ВF('E); Ь1, ... , Ьп Е А и1ВТогдаIВ2Fна IВ21'Еи 1.2( ~ !В. Пусть Ф(хо, х1, ...F :JхоФ(хо, Ь1, ... , Ьп),:JхоФ(хо,fЬ1,... ,fЬп),Таккак!Вз -< IВ2, то существует такой Ьо Е Вз, что IВ2fb1, ... ,fbnЕ ВзиF Ф(Ьо, fb1, ... , fbn),Отображение 1- 1 является изоморфизмом IВ2 1 'Е на !В, поэтому!ВФ(!- 1 Ьо,Ь1, ...

,Ьп), Так как 1- 1 ьо Е А, то по предложению 5.1.4Fимеем 1.2(-< !В. ИзIB2I =л и IВ2-::::::: !В следуетIBI =л.DУпражнения1.Пусть 1.2( и !Всистемы сигнатуры 'Е. Покажите, что 1.2(-и только если 1.2(1'Е1 = !В 1'Е1= !В еслидля любой конечной сигнатуры'Е, ~ 'Е.2.Пусть 1.2( и !В-системы конечной сигнатуры 'Е. Определим поиндукции множестваP(l.2t, !В) -Fn,п Еw.ПоложимFo;==:P(l.2t, !В),гдемножество всех конечных частичных изоморфизмов 1.2(5.Гл.152Теория моделейв !В. Если множествоFn (t::;; P(Qt, !В)) определено, то Fn+I - этоf из Fn таких, что длялюбых а Е А, Ь Е В существуют 91, 92 Е Fn с условиями f t::;; 91,f t::;; 92, а Е domg1 и Ь Е rang92.

По определению, Fn ~ Fn+I,п Е w. Доказать, что 2t = !В, если для любого п Е w множе­ство Fn непусто. (Указание. Проверить, что если множестваFi(I;, п), О~ i ~ п, удовлетворяют условию(*) из теоремы 5.1.1,то Fп-i(I;, п) t::;; Fi, О~ i < п.)3. Покажите, что для систем 2t t::;; !В сигнатуры I; имеет место 2t -<множество всех частичных изоморфизмов-<!В, если выполняется одно из следующих условий:а).

Сигнатура I; содержит лишь бесконечное множество констант.Значения констант в !В образуют бесконечное множество.б). Сигнатуратов-Пусть !ВЕЕrk, k2"'еслиI; содержит лишь символы одноместных предика­w. Рассмотрим множество 2"'= {v I v:w{О,-t1}}.произвольная система сигнатуры I;_ Для любого v Еопределяем множество !В(v)= {Ь I для= 1, и !В р ~rп(Ь), еслиv(n)различныхv1, v2Е2"'Пусть для всех v Еv(n)всех п Е w !В р rп(Ь),= О}. Ясно, что длямножества !В(v1) и !В(v2) не пересекаются.2"'конечное множество, и Авыполняется !В(v) t::;; А, если !В(v)n !В(v)--бесконечное множество, если!В(v) бесконечно.в). Сигнатура I; содержит единственный символдвухместногоrvотношения, который интерпретируется в !В как эквивалентностьсбесконечным числом бесконечных классов эквивалентности.Множество А содержит бесконечное число классов эквивалент­ности системы !В.

(Указание. Воспользоваться предложением5.1.106)4.и теоремой5.1.1.)С помощью примера из упражнения3,в) показать, чтоа) признак элементарности подсистем из предложенияявляется необходимым (указание: пустьIAI = w5.1.5неи все классыэквивалентности, содержащиеся в В\ А, несчетны);б) для некоторой системы !В и бесконечного множества Хне существует минимальной по отношению включениятарной подсистемы§ 5.2.2t-<t::;;t::;;Вэлемен­!В, содержащей Х.Аксиоматизируемые классыОпределение. Класс К алгебраических систем называется акси­оматизируемым, если существует сигнатура I; и такое множествопредложений2tZсигнатуры I;, что для любой системыЕ К {=} (сигнатура2tравна I; и2t2tимеет местор Ф для всех Ф ЕZ).(5.2)§ 5.2.

Аксиоматизируемые классыЕсли для класса К выполняется(5.2),153то Е называется сигнатуройК, а множествоназывается множеством аксиом для К (обозна­чаем К=Если все системы класса К имеют сигнатуру Е,ZKE(Z)).то множество предложений сигнатуры Е, истинных на всех системахиз К, называется элементарной теорией К или просто теорией К иобозначается черезTh(K).<; К2 Th(K2) <; Th(K,).Отметим очевидное свойство теорий: если К1гебраических систем сигнатуры Е, тоПредложениеПусть К5.2.1.классы ал­класс алгебраических систем-сигнатуры Е.а).

Класс К аксиоматизируем тогда и только тогда, когда К== KE(Th(K)).<;б). Существует минимальный по отношению к включениюаксиоматизируемый класс к, сигнатуры Е, содержащий К.Доказательство. а). Пусть К=KE(Z). Так как Z <; Th(K),KE(Th(K)) очевидно.б). В качестве К1 нужно взять KE(Th(K)). В самом деле, еслиК2 - аксиоматизируемый класс сигнатуры Е и К <; К2, то Th(K2) <;<; Th(K). Следовательно, KE(Th(K)) <; KE(Th(K2)) = К2.ОтоKE(Th(K)) <;БудемК. Обратное включение К<;говорить,чтокласс Калгебраических систем замкнутотносительно элементарной эквивалентности (изоморфизмов, под­систем, ультрапроизведений и др.), если вместе с алгебраическимисистемами2ti, iЕJ,он содержит все элементарно эквивалентные имсистемы (все изоморфные им системы, все их подсистемы, ультрапро­изведениеD-prod2tiи др.).

Характеристики

Список файлов книги