1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Если с Е F и µ(с)= О, то для f Е l-prodAiмейства алгебраических системDfЕсли2).sЕRUF,=v 21 (с) ~ {iто дляf1, ... ,fпI f i = v 21Еi(с)} Е D.l-prodAi(Df1, ... ,Dfп)Ev 21 (s) ~ {iJ(f1i, ... ,fпi)Ev 21 i(s)}ED,где п= µ(s),еслиsЕ R, и п= µ(s) + 1,еслиsЕ F.Проверим, что определение корректно, т. е. множества v 21 (s) и v 21 (c)не зависят от выбора представителейf 1, ... , f n и f в классах D f 1, ...Df. В самом деле, пусть Yk = {i I fki = gki} Е D, 1::;; k::;; п.Множества W1 = {i 1 (f1i, ... ,fпi) Е vf1(s)} и W2 = {i 1 (g1i, ... ,gпi) ЕЕ vf1(s)} имеют одинаковые пересечения с элементом Yi n ...

n Ynфильтра D. Следовательно, W1 Е D ~ W2 Е D. Аналогично показы­... ,Dfnивается корректность1).Для того чтобы утверждать, чтостемой сигнатуры Е, нужно еще показать, что v 21 лиsЕF. Пусть s Е F и v(s)= п.Для элементовQ(является си­операция на А, ес­f1, ... , fпЕl-prodAi,определим f Е I-prodAi так: fi = vf1(s)(f1i, ... , fпi), i Е I. Тогда(Df1, ... ,Dfп,DЛ Е v21 (s).

Пусть для некоторой g Е l-prodAi, имеетместо(Df1, ... ,Dfп,Dg) Ev 21 (s).Так как z; 21 i(s),iЕI, -.. . , f n i, gi)Е v 21 i({i I fi = gi} содер­(f1i, ... ,fпi,fi) Е vf(s)} и {i 1 (f1i, ...функции, то множествожит пересечение множеств {i1s)}, которые принадлежат D. Следовательно, D f ==Dg.Если всеизведениеQti, i Е I, равны одной системе SВ, то фильтрованное про­l-prod Q(i (D-prod Qti) называется фильтрованной степеньюSВ и обозначается через SВ 1 (SВD).Фильтрованное произведение{I}-prod Qti, называется декартовымQti, i Е I. Дадим независимоеопределение для этого важного частного случая.

Пусть Q( = l-prod Qti,является системой сигнатуры Е с носителем А = I-prod Ai и следую­или прямым произведением системщей интерпретацией Е в А.1). Если с Е F и µ(с)= О,тоv 21 (c)(i)= v 21 ' (с).§ 3.3.2).Если s ЕТеорема компактности109RUF, тодля всехi Е J, где п= µ(s),еслиsЕR,и п= µ(s) + 1,еслиs Е F.Ясно, что отображение, сопоставляющее элементуfэлемент{!}будет изоморфизмомJ-prod Qti, на {J}-prod Qti, поэтому, не опасаясьпутаницы, систему J-prodQti, будем также называть декартовым илипрямым произведением. Декартово произведение J-prod Qti часто обо­значается через П Qti и через Qti 1 х ...

х Q(in, если I = {i,, ... ,iп} iEJконечное множество. Укажем один простой, но полезный факт, связывающий декартовы произведения с фильтрованными.Предложение{QtiIiгдеD(J)Есистему3.3.2.Для любого фильтраD на I и системD: J-prod Ai -+ D-prod Ai,гомоморфизмом системы Qt = J-prodQti насигнатуры I; отображениеJ}= Df, является= D-prod Qti.Qt'До к аз ат ель ст в о. Пусть s Е R U F - не константа и (/1, .. .... ,fп) Е v'1t(s). По определению декартова произведения {i 1 (/1i, .. .... , fпi) Е v'1t'(s)} = J. Так как I Е D, то {i 1 (/1i, ...

, fпi) Е v'1t'(s)} Е D,т. е. (D J,, ... , D fп) Е v'1t' (s). Случай, когда s - константа, рассматри­вается аналогично.DПод классом в дальнейшем мы понимаем некоторое свойство е1). При этом множества, удовлетворяющие семейству е, бу­множествдут называться элементами класса е. В частности, все множестваобразуют классV,который, как уже отмечалось, не является множе­ством. Свойство <<быть элементом множества Х » определяет множе­ство Х, поэтому любое множество можно считать классом. Конечно,склассаминельзяпоступать,каксмножествами,например,нельзярассматривать класс всех подклассов данного класса К. Однако еслиК,, К2К,U К2классы, то очевидным образом определены классы к,и к,\ К2.Если а-n К2,элемент класса К, то так же, каки в случае множеств, мы будем говорить, что а принадлежит К,и обозначать а Е К.1) Так как мы взяли за основу ZFC, то под свойством е мы понима­ем свойство, записанное формулой Ф(х,у1, ...

,уп) сигнатуры (Е 2 ), где пе­ременныеYt, ... Упиграют роль параметров. В качестве <<Кода» класса К,параметров а1, ... , ап,можновзятьмножество( (у1, а1), ... , (Уп, ап), Ф(х, YI, ... , Уп)), где Ф(х, Yt, ... , Уп) - формула сигнатуры(Е 2 ), для которой Ф(Ь,а1, ... ,ап) ~ (Ь - элемент К).определенногоспомощьюГл.1103.Истинность на алгебраических системахПусть даны некоторый класс К алгебраических систем сигнатуры I;и фильтрDнаI.Говорим, что класс К замкнут относительно филь­трованных произведений по фильтруIiD,если для любого множестваJ} систем из класса К выполнено D-prodQti Е К. Если дляФ(х1, ...

, xn) Е F(I:) определить К(Ф) как класс таких систем Q{ сигна­туры I:, что для всех а1, ... , an Е А в Q{ истинно Ф(а1, ... , an), то легкопроверить, что для атомарной формулы Ф класс К (Ф) замкнут отно­{QtiЕсительно любых декартовых произведений. В силу предложенияи упражнения2к§3.23.3.2класс К(Ф) для атомарной формулы Ф за­мкнут также относительно всех фильтрованных произведений.Какбудет показано в дальнейшем, это верно не только для атомарныхформул. Если жеD -ультрафильтр, то для любой формулы Ф ЕF(I:)Dкласс К(Ф) замкнут относительно фильтрованных произведений по(теореманиже).3.3.5Определение.

Формула Ф(х 1 , ••• ,по фильтруЕЕD(на множествеJ} алгебраическихD-prodAiD-prodQ{iI),xn)называется фильтрующейсясистем сигнатуры I:(Ф) и любыхF Ф(D/1, ... ,Dfn){=:}{i l 1.2ti~.ЕЕF (/1i, ... ,fпi)}Если в этом определении вместо эквивалентностиется{Qti I iD/1, ... ,Dfnесли для любого множества{=:}ЕD.выполня­то формула Ф называется условно фильтрующейся поD.Формула Ф называется (условно) фильтрующейся, если она (условно)фильтруется по любому фильтруD.Еслиинтерпретация некоторого множества переменных1 в J-prodAi, то через D(,) обозначаем композицию отображений I иD. Через i(,) обозначаем композицию отображений I и проекции наi-ю координату.Лемма3.3.3.Если Ф и ifJ (условно) фильтруются по фильтруто формулы \iхФ, ::JхФ и Ф ЛтруD,ifJ (условно) фильтруются по филь­D.До к аз ат ель ст в о.Зафиксируемнекоторуюинтерпретацию 1J-prodAi.Пусть {i l 1.2ti р \ixФ[i(,)]} =ХЕ D.

Тогда для любой f Е J-prodAi,если рассмотреть,';;:;> 1 , для которой ,'(х) = f, имеемсвободных переменных формулы \iхФ в множествех ~{i l 1.2tiF Ф[i(,')]},следовательно,{i l 1.2tiF Ф[i(,')]}Е D.§ 3.3.Теорема компактности111Если Ф условно фильтруется, то D-prodQti F Ф[D(,-у')] для любого,': FV(Ф)-+ J-prod Ai, 1 ~ ,', т. е. D-prodQti F lfxФ[D(,)].Пусть D-prodQti F lfxФ[D(,] и Ф фильтруется. Рассмотрим множе­ство Х = {i I Qti F lfxФ[i(,)]}. Возьмем такую функцию f Е J-prodAi,что для i Е J \ Х имеет место Qti F ~Ф[i(,')], где ,' ;;2 1 , ,'(х) = f.Тогда из фильтруемости Ф и того, что D-prodQti F Ф[D(,')], следует,ЧТО х = {i I Q(iФ[i(,')]} Е D.r=Случаи ::JхФ и Ф/\Ф рассматриваются аналогично, и мы оставляемих читателю в качестве упражнения.Леммафильтру3.3.4.D.ОАтомарные формулы фильтруютсяпо любомуДо к аз ат ель ст в о.Пусть Ф(х,, ... , хп) атомарная формулаs(t,, ...

, tm), где s Е R, µ(s) = т, t,, ... , tm - термы; пусть,: {х,, ... ,хп}-+ J-prodAi - интерпретация переменных и ,(xi) = fi,i Е { 1, ... , п}. Тогда по определению истинности для Qt = D-prod Qti мывидаимеемQ(F Ф(DJ,, ... ,Dfп)~ (t~[,D), ... ,t;;,[,D]) Е vQ!(s).По предложению 3.3.2 и 3.2.1 б) выполнено tJ[,D] =DtJ3[,J, 1 ~j ~ т,где !.В= J-prod Qti,поэтому(tr[,D], ... ,t;;,[,D]) Е v21 (s) ~ (Dtj8[,], ... ,Dt:[,]) Е v21 (s) ~~ {i (tj8[,](i), ...

, t:[,](i)) Е v21 ' (s)} Е D.1Так как tJ3[,](i) = [tJ3(!1, ... , fп))(i) = tJ·(J1i, ... fпi), то(tf[,)(i), ... ,t:[,](i)) Е v21 '(s) ~ Q(iF Ф(f1i, ... ,fпi).Таким образом,D-prodQtiF Ф(DJ,, ... ,Dfп)Случай, когда Ф имеет видТеорема3.3.5t1До к аз ат ель ст в о~ Ф) и ~ С Фt2,F Ф(f1i, ... ,fni)} Е D.разбирается аналогично.ОD.проведемистинность формул Ф -+ Ф и Ф/\~{i I Q(i(Е. Лось). Любая формула Ф фильтруется по лю­бому ультрафильтру~ (Ф~/\индукцией поVФдлинеФ.Так какэквивалентна истинности формул~ Ф) соответственно, то в силу леммдостаточно показать фильтруемость поD3.3.3и3.3.4формулы ~Ф для фильтру-Гл.112ющейся последует Х ,/сDDИстинность на алгебраических системах3.формулы Ф.

Из свойства 125 ,/с{=с}I \Х ЕD.Dи предложения2.3.3Поэтому из фильтруемости Ф получаемD-prodSЛ; р ~Ф[,'] {=с}{i 1 ~iр Ф[,'i]} ,/с D.Из определения ультрафильтра заключаем1~i F Ф[,'i]} ,/с D{i{=с}{i1~i F ~Ф[,'i]}Е D.оОпределение. Алгебраическая система ~ сигнатуры :Е называетсямоделью множества формул Г сигнатуры :Е, если существует такаяинтерпретация 'У в А переменных, входящих свободно в элементы Г,что ~F Ф['У]для всех Ф Е Г.

Множество Г называется выполнимым,если Г имеет модель. Множество называется локально выполнимым,если каждое конечное подмножество Г имеет модель.В качестве следствия теоремы3.3.5получаем следующую оченьважную теорему, которая называется теоремой компактности.Теорема(А. И. Мальцев).

Каждое локально выполнимое3.3.6множество Г формул сигнатуры :Е выполнимо.До к аз ат ел ь ст в о. Рассмотрим множествожеств Г. Длятерпретацииизi,Xi= {jчтоiЕ/ выберем такие системыIконечных подмно­~i сигнатуры:Е и ин­l'i в Ai свободных переменных, входящих в формулыF Ф['Уi]для всех Ф Е i. Для i Е / рассмотрим множестваi <; j}. Система множеств {Xi I i Е /} является цен­трированной. Действительно, если io, ...

, ik Е / и j = io U ... U ik, тоj Е Xio n ... n Xik. По предложению 2.3.2 существует такой ультра­фильтр D, что Xi Е D для всех i Е /. Для переменной х, входящейсвободно в какой-нибудь элемент Г определим !'(х) Е /-prod Ai, следу­~iЕ /1ющим образом:!'(x)(i) = {,'i(x), если х Е dom,'i,произвольный а ЕAiв противном случае.Пусть Ф Е Г. Ясно, чтох{Ф}Так как Х{Ф} Е D, то {iD-prod~i р Ф[,'D].Теорема<; {i 1~iF Ф['Уi]}.1~i F Ф[,'i]} Е D.По теореме 3.3.5 получаем3.3.6 будет широко использоваться в5. Здесь мы дадим простое, ноособенно в гл.применение этой теоремы (см. также упражнениеОследующих главах,довольно типичное6).§ 3.3.Следствие3.3. 7.Теорема компактности113Если для любого п Е (.с) множество формул Гсигнатуры :Е имеет модель мощностимножество Г имеет модель мощности?: п,?: х.то для любого х?:l:EIДо к аз ат ел ь ст в о.

Возьмем множество символов С мощности х,n (R U F) = 125, и пусть :Е 1 = (R, F u С, µ 1), гдеµ и µ 1 (с) = О для с Е С. Рассмотрим множествоХ = Г U Гс l':;j d I c,d Е С,с -=1- d} предложений сигнатуры :Е,. ЕслиУ= Г1 U {~с, ~ d1, ... , ~Сп ~ dn}, где Г1 ~ Г, - конечное подмно­жество Х, то У выполнимо в подходящем обогащении модели 21дляµ1которого Сr (R u F) =множества Г, имеющей мощность?:п.

Характеристики

Список файлов книги