1611676862-9f3c40cab6677c1341b60ac505385f8c (826612)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Определенный интеграл (интеграл Римана).Интегральная сумма Римана:Опр. Разбиением отрезка [a, b] называют набор точекτ = {x0 , x1 , ..., xn−1 , xn }, где a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b.Число |τ | = max (xk − xk−1 ) называют модулем разбиения τ .k=1,nОпр. Выделенными точками разбиения τ = {x0 , x1 , ..., xn−1 , xn } называют набор точекξ = {ξ1 , ..., ξn }, где ξk ∈ [xk−1 , xk ], k = 1, n.Опр. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f и τ = {x0 , x1 , ..., xn−1 , xn } – разбиение этогоотрезка.

Интегральной суммой Римана функции f , соответствующей разбиению τ с выделенными точками ξ = {ξ1 , ..., ξn }, называют числоσ(f, τ, ξ) =n∑f (ξk )(xk − xk−1 ).k=1Интеграл Римана:Опр. Функция f : [a, b] → R называется интегрируемой по Риману на отрезке [a, b] илиинтегрируемой по Риману от a до b, если существует число I ∈ R такое, что для любого ε > 0найдется δ > 0 такое, что для любого разбиения τ отрезка [a, b] и для любых выделенных точекξ разбиения τ из того, что |τ | < δ следует справедливость неравенства |I − σ(f, τ, ξ)| < ε, т.е.∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀τ ∀ξ (|τ | < δ ⇒ |I − σ(f, τ, ξ)| < ε|).При этом число I называют интегралом Римана функции f на отрезке [a, b] или интегралом∫bРимана функции f от a до b и обозначают через f (x)dx, где точки a и b называют соответaственно нижним и верхним пределом интегралаРимана функции f от b до a и обозначают через∫ba∫af (x)dx.

А число −I называют интеграломf (x)dx, т.е.b∫a∫bf (x)dx = − f (x)dx, где точ-baки a и b называют соответственно верхним и нижним пределом интегралатого, под обозначением∫c∫af (x)dx. Кромеbf (x)dx, где c ∈ [a, b] понимают число 0. Множество всех функцийcинтегрируемых на отрезке [a, b] обозначают через Rim[a, b].Суммы Дарбу:Опр. Пусть на [a, b] определена функция f и τ = {x0 , x1 , ..., xn−1 , xn } – разбиение этого отрезка.Верхней интегральной суммой Дарбу функции f , соответствующей разбиению τ , называютn∑число S(f, τ ) =sup f (x)(xk − xk−1 ).k=1 x∈[xk−1 ,xk ]Нижней интегральной суммой Дарбу функции f , соответствующей разбиению τ , называютn∑число s(f, τ ) =inff (x)(xk − xk−1 ).k=1 x∈[xk−1 ,xk ]Теорема (критерий Дарбу).

Ограниченная на отрезке [a, b] функция f интегрируема по Римануна этом отрезке тогда и только тогда, когда найдется такое число I ∈ R, что∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀τ (|τ | < δ ⇒ |I − S(f, τ )| < ε|),∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀τ (|τ | < δ ⇒ |I − s(f, τ )| < ε|),т.е. пределы верхней и нижней суммы Дарбу при стремлении модуля разбиения к нулю равны∫bи совпадают с I. В этом случае число I совпадает с f (x)dx.aКолебания функции:Опр. Колебанием функции f на множестве X называют число ω(f, X) = sup |f (x1 ) − f (x2 )|.x1 ,x2 ∈XУтв. ω(f, X) = sup f (x) − inf f (x).x∈Xx∈XТеорема (критерий интегрируемости функции по Риману).

Для того, чтобы функция f былаинтегрируема по Риману на [a, b] тогда и только тогда, когда∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀τ (|τ | < δ ⇒n∑ω(f, [xk−1 , xk ])(xk − xk−1 ) < ε).k=1Следствие Если f ∈ C[a, b], то f ∈ Rim[a, b].Необходимое условие:Теорема (необходимое условие интегрируемости функции по Риману). Если f ∈ Rim[a, b], тоона ограничена на [a, b].Достаточные условия:Теорема (интегрируемость по Риману разрывных функций). Если на отрезке [a, b] функция fограничена и имеет лишь конечное число разрывов, то f ∈ Rim[a, b].Теорема (интегрируемость по Риману монотонных функций). Если на отрезке [a, b] функцияf ограничена и монотонна, то f ∈ Rim[a, b].Теорема (интегрируемость по Риману разрывных функций). Если на отрезке [a, b] функцияf ограничена и для любого ε > 0 можно указать конечное число интервалов, покрывающихмножество точек разрыва функции f , сумма длин которых меньше ε, то f ∈ Rim[a, b].Основные свойства интеграла Римана:Теорема Если f ∈ Rim[a, b] и f (x) = g(x) на [a, b] за исключением конечного числа точек, то∫b∫bg ∈ Rim[a, b], причем f (x)dx = g(x)dx.aaТеорема (Линейность).

Если f, g ∈ Rim[a, b], то (αf + βg) ∈ Rim[a, b], где α, β ∈ R, причем∫b∫b(αf (x) + βg(x))dx = αa∫bf (x)dx + βag(x)dx.aТеорема (Модуль, произведение и частное) Если f, g ∈ Rim[a, b], то |f | ∈ Rim[a, b] и (f g) ∈Rim[a, b], причем если |g| отделена от нуля на [a, b], то (f /g) ∈ Rim[a, b].Теорема Если f ∈ Rim[a, b] и [c, d] ⊂ [a, b], то f ∈ Rim[c, d].Теорема (Аддитивность). Если f ∈ Rim[a, b], c ∈ [a, b], то f ∈ Rim[a, c] и f ∈ Rim[c, b], причем∫b∫cf (x)dx =a∫bf (x)dx +af (x)dx.cТеорема (Монотонность).

Если f, g ∈ Rim[a, b] и f (x) ≤ g(x) (f (x) < g(x)) на [a, b], то∫b∫bf (x)dx ≤ag(x)dxa(∫b∫bf (x)dx <aa)g(x)dx .Следствие Если f ∈ Rim[a, b], то∫bf (x)dx ≤a∫b∫b|f (x)|dx иinf f (x)(b − a) ≤f (x)dx ≤ sup f (x)(b − a).x∈[a,b]x∈[a,b]aaТеоремы о среднем:∫b1Опр. Число µ = b−af (x)dx называют средним значением функции f на отрезке [a, b].aТеорема (первая теорема о среднем). Если f, g ∈ Rim[a, b] и g(x) ≥ 0 (g(x) ≤ 0) на [a, b], тосуществует число µ ∈ [ inf f (x), sup f (x)] такое, чтоx∈[a,b]x∈[a,b]∫b∫bf (x)g(x)dx = µag(x)dx.aПри этом если функция f непрерывна на [a, b], то существует точка ξ ∈ [a, b] такая, что f (ξ) = µ.Теорема (вторая теорема о среднем).

Если f, g ∈ Rim[a, b] и g монотонна на [a, b], то существуетточка ξ ∈ [a, b] такое, что∫b∫b∫ξf (x)g(x)dx = g(a)af (x)dx.f (x)dx + g(b)aξПричем, если, сверх того, функция g убывает (возрастает) и неотрицательна на [a, b], то существует точка ξ ∈ [a, b] такое, что∫b∫ξf (x)g(x)dx = g(a)af (x)dx(a∫bg(b))f (x)dx .ξСвязь интеграла Римана и первообразной:Теорема. Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке с концами a, b.

Тогда1. функция F (x) =∫xf (x)dx непрерывна на этом отрезке;a2. если функция f непрерывна в точке x0 из данного отрезка, то F дифференцируема в этойточке и F ′ (x0 ) = f (x0 ).Следствие. Пусть функция f непрерывна на отрезке с концами a, b. Тогда функция F (x) =∫xf (x)dx непрерывна на этом отрезке и является точной первообразной функции f на интервалеaс концами a, b.Следствие. Пусть функция f интегрируема на отрезке с концами a, b и имеет конечное число∫xразрывов. Тогда функция F (x) = f (x)dx непрерывна на этом отрезке и является обобщеннойaпервообразной функции f на интервале с концами a, b.Теорема (формула Ньютона-Лейбница).

Пусть функция f интегрируема по Риману на отрезке[a, b] и имеет первообразную F на (a, b). Тогда∫bf (x)dx = F (b − 0) − F (a + 0).aИнтегрирование по частям:Теорема (формула интегрирования по частям). Пусть функции f, g дифференцируемы на [a, b].Тогда если функция f g ′ ∈ Rim[a, b], то f ′ g ∈ Rim[a, b], причем∫bbf (x)g (x)dx = (f (x)g(x))a −′a∫bf ′ (x)g(x)dx.aЗамена переменной:Теорема. (о замене переменной для непрерывных функций) Пусть функция f (x) непрерывнана отрезке с концами a, b и функция φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке с концамиα, β и отображает этот на отрезок с концами a, b, причем φ(α) = a, φ(β) = b. Тогда функцияf (φ(t))φ′ (t) интегрируема по Риману от α до β и∫b∫βf (x)dx =af (φ(x))φ′ (x)dx.αТеорема. (о замене переменной для интегрируемых функций) Пусть функция f (x) интегрируема по Риману от a до b и функция φ(t) непрерывно дифференцируема и строго монотонна наотрезке с концами α, β и отображает этот на отрезок с концами a, b, причем φ(α) = a, φ(β) = b.Тогда функция f (φ(t))φ′ (t) интегрируема по Риману от α до β и∫b∫βf (x)dx =af (φ(x))φ′ (x)dx.αПриложения определенного интеграла:Длина кривой на плоскости.Опр.

Пусть x(t), y(t) ∈ C[α, β]. Кривой (плоской кривой) L называют множество точек плоскости, координаты которых задаются уравнениями x = x(t), y = y(t)), t ∈ [α, β], т.е.L = {(x, y) | x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]}При этом точку (x(α), y(α)) называют началом кривой L, а точку (x(β), y(β)) — концом. Переменную t называют параметром, а уравнения x = x(t), y = y(t)), t ∈ [α, β] — параметрическимиуравнениями кривой, сам способ задания кривой, приведенный в определении, параметрическим.Теорема.1) Если x(t), y(t) ∈ C 1 [α, β], то l – длина кривой L = {(x, y) | x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]} можетбыть вычислена по формуле∫β √(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.l=α2) Если кривая L задана графиком функции y(x) ∈ C 1 [a, b], т.е.

L = {(x, y) | y = y(x), x ∈ [a, b]},то l – длина кривой L может быть вычислена по формулеl=∫b √a1 + (y ′ (x))2 dx.3) Если кривая L задана в полярной системе координат, т.е. L = {(x, y) | x = r(φ) cos φ, y =r(φ) sin φ, φ ∈ [α, β]} и функция r(φ) ∈ C 1 [α, β] неотрицательна, то l – длина кривой L можетбыть вычислена по формулеl=∫β √r2 (φ) + (r′ (φ))2 dφ.αДлина кривой в пространстве R3 .Опр. Пусть x(t), y(t), z(t) ∈ C[α, β]. Кривой L называют множествоL = {(x, y, z) | x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β]}(x(α), y(α), z(α)) – начало кривой L, а (x(β), y(β), z(β)) – конец кривой L.Теорема.Если x(t), y(t), z(t) ∈ C 1 [α, β], то l – длина кривой L = {(x, y, z) | x = x(t), y = y(t), z =z(t) t ∈ [α, β]} может быть вычислена по формулеl=∫β √(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.αПлощадь плоской фигуры.Теорема.1) Пусть функция y(x) ∈ C[a, b] и неотрицательна на отрезке [a, b].

Тогда S – площадьфигуры, ограниченной графиком функции y(x) и прямыми x = a, x = b, y = 0, вычисляется поформуле∫bS=y(x)dx.a2) Пусть функция x(t) ∈ C [α, β] имеет неотрицательную производную, x(α) = a, x(β) =1b, а функция y(t) ∈ C[α, β] и неотрицательна на отрезке [α, β]. Тогда S – площадь фигуры,ограниченной кривой L = {(x, y) | x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β]} и прямыми x = a, x = b, y = 0,вычисляется по формуле∫βS=y(t)x′ (t)dt.α3) Пусть функции y1 (x), y2 (x) ∈ C[a, b] и y1 (x) ≤ y2 (x) на отрезке [a, b].

Тогда S – площадьфигуры, ограниченной графиками функции y1 (x), y2 (x) и прямыми x = a, x = b вычисляетсяпо формуле∫b(y2 (x) − y1 (x))dx.S=a4) Пусть функция r(φ) ∈ C [α, β], где 0 < β − α ≤ 2π, неотрицательна. Тогда S – площадь1фигуры, ограниченной кривой L = {(x, y) | x = r(φ) cos φ, y = r(φ) sin φ, φ ∈ [α, β]} и лучамиφ = α (т.е. {(x, y) | x = r cos α, y = r sin α, r ≥ 0}), φ = β вычисляется по формуле1S=2∫βr2 (φ)dφ.αОбъемы тел.Теорема.1) Пусть функция y(x) ∈ C[a, b] и неотрицательна на отрезке [a, b].

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы