1611676847-46736b5f01a56f7923834407d7b867b9 (826609), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[5 баллов] Доказать, что функция x2 − 2xy + 3y 2 − 2x − 2y достигаетнаибольшего и наименьшего значения на множестве точек плоскости,удовлетворяющих условию 2x2 +5y 2 ≤ 2xy+25, и найти эти значения.Задание 7 (сдать к 15 апреля)1. [5 баллов] Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле21−xZZ4/5dx0f (x, y) dy.4(x−1/2)22. [5 баллов] Указать область, в которую переходит треугольник 0 <x < 1, 0 < y < 1 − x, при замене переменных x + y = u, y = uv. Спомощью координатных линий описать, как действует это преобразование. Выразить двойной интеграл по треугольнику от произвольнойфункции в координатах u и v.183. [8 баллов] Изменить порядок интегрирования в тройном интеграле(всего 6 способов)21−xZZ1dx01−xZdzf (x, y, z) dy.004. [5 баллов] Найти объем тела, ограниченного поверхностьюz2(x − 1)2+ (y + 1)2 += 1.495.
[10 баллов] По шару радиуса R распределена масса M с плотностью ρ(x, y, z). Найти момент инерции шара относительно диаметра,если плотность в точке (а) пропорциональна, (б) обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до центра шара.6. [5 баллов] Исследовать на сходимость двойной интегралZZdxdy.x5 + 4y 2x5 +4y 2 ≥1x≥0,y≥07. [6 баллов] Ньютоновым потенциалом тела в точке (x, y, z) называется интегралZZZρ(ξ, η, ζ) dξ dη dζpu(x, y, z) =,(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2Vгде ρ — плотность тела, а V — занимаемая им область пространства.Доказать, что вне этой области u бесконечно дифференцируема; еепервые производные с точностью до постоянной равны компонентамсилы, с которой тело притягивает материальную точку единичноймассы с координатами x, y, z; а сумма вторых производных равнанулю, т.
е. u — гармоническая функция.Задание 8 (сдать к 30 мая)1. [5 баллов] Найти центр масс контура сферического треугольникаx2 + y 2 + z 2 = a2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.19RR x|y|dS2. [5 баллов] Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода S √,5+4zгде S — это "лента" , высекаемая из параболоида z = x2 + y 2 − 1двумя плоскостями x + z = 1 и x + z = 3.3. [5 баллов] Найти работу векторного поля F = (xz, y, z − 1) вдольконтура, задаваемого условиями: z = 1 − x2 − y 2 , z − x = 1, y ≥ 0, иориентированного направлением от точки (0, 0, 1) к точке (−1, 0, 0).4. [5 баллов] Найти поток векторного поля F = (yez , 2x, x) через прямоугольную площадку ABCD с вершинамиA(3, 0, 1), B(−2, 0, 1), C(−2, 2, 0), D(3, 2, 0).Ориентация площадки задается обходом края: A → B → C → D.5. [15 баллов] Доказать тождества(а) grad(uv) = u grad v + v grad u,(б) div(uA) = u div A + A · grad u,(в) rot(uA) = u rot A − A × grad u,(г) div(A × B) = B · rot A − A · rot B,где u и v — скалярные поля, а A и B — векторные.6.
[30 баллов] Выяснить, какие из перечисленных ниже векторныхполей потенциальны, а какие — соленоидальны:(а) (2xy + z)i + (x2 − 2y)j + xk,(б) 3y 2 −3x2 j − (y 2 + 2x)k,(в) zeϕ − cos ϕez /ρ,(г) eρ sin ϕeρ + eρ cos ϕeϕ /ρ + 2zez ,(д) 2rer + eθ /r + eϕ /r sin θ,(е) − ϕ ctg θer /r + ϕeθ /r + 2 cos θeϕ /r.7.
[5 баллов] С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля1F = 2i + (y + x)j + sin zk3x + y 2 + z 2вдоль окружности: x2 + y 2 = 1, z = 0, ориентированной против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 1).208. [5 баллов] С помощью формулы Гаусса — Остроградского найтипоток поляx2 i + y 2 j + z 2 kчерез внешнюю сторону симплекса, построенного по трем базиснымвекторам, которые приложены к началу координат.9.
[15 баллов] Посчитать циркуляцию вдоль границы плоской области:радиус-вектора r и поля r/r2 . Для тех же векторных полей найдите их потоки через границу области. Для последнего из указанныхполей разберите случаи, когда начало координат лежит вне области,внутри нее и на границе.10. [6 баллов] Посчитать интегралы второго родаZ(y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz,C±где C± — окружности, по которым единичная сфера с центром у нулепересекается вертикальными плоскостями y = ±x и которые пробегаются против часовой стрелки, если наблюдать за этим со стороныположительной полуоси абсцисс.11.
[5 баллов] Найти интеграл от дифференциальной формыZzx dy ∧ dz + xy dz ∧ dx + yz dx ∧ dy,Sгде S — внешняя сторона части цилиндра x2 + y 2 = r2 , x ≤ 0, y ≥ 0,0 ≤ z ≤ H.Система оценивания по курсу "Основыматематического анализа"Итоговая оценка ставится по количеству набранных баллов за практическую часть и теоретическую часть. Практика состоит из работы на семинарах, решении ежемесячных заданий и потоковых работ.Теоретическая часть здается на экзамене.
В процентном соотношениимаксимальное возможное количество баллов за практику и за теориюсоставляет примерно 60% и 40% соответственно.21Работа на семинарах (оценивается каждым семинаристом индивидуально, мах 100 баллов)Ежемесячные задания (27 задач, мах 207 баллов)Потоковые работы (3 потоковых с 5+5+5=15 задач по 30 балловза задачу, мах 450 баллов)Теоретический экзамен (Пояснения даны ниже, мах 530 баллов)К экзамену необходимо сдать в срок не меннее половиныежемесячных заданий и написать не меннее одной потоковойконтрольной выше 30 баллов.
Пока эти условия не выполнены студент не начинает сдавать теоретическую часть.Экзаменационный билет состоит из трех частей: определения понятий (4), формулировки теорем (2) и доказательства теоремы (1).Студент отправляется на пересдачу, если он не ответил на первуючасть билета, т.е. не знает хотя бы одного определения из билета. Баллы по каждой части билета следующие: Определения – 120 баллов,формулировки теорем – 160 баллов, доказательство – 250 баллов.Итоговая оценка:5 >1130 баллов4 >820 балов3 >400 балловПрограмму и заданияпо основам математического анализасоставил доцент, к.ф.-м.н. И.
В. Подвигин22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
