1611676847-46736b5f01a56f7923834407d7b867b9 (826609)
Текст из файла
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗАЛектор — Иван Викторович ПодвигинПрограмма курса лекций(2-й семестр, 32 лекции, 32 семинара, экз.)II. Многомерный вещественный анализII.1. Дифференциальное исчисление функций многихпеременныхМетрические и нормированные пространства. Определение арифметического пространства Rn и евклидова расстояния в нем. Определение метрики и метрического пространства. Определение нормыи нормированного пространства. Норма и метрика. Примеры нормированных и метрических пространств. Эквивалентность норм в Rn .Открытые и замкнутые шары. Скалярное произведение в Rn . Неравенства Коши — Буняковского и Минковского. Предел последовательности в Rn . Открытые и замкнутые множества. Свойства открытых изамкнутых множеств. Окрестности, внутренние, внешние, граничныеточки.
Критерий замкнутости. Компакты. Критерий компактности.Связные множества и области.Дифференцирование функций многих переменных. Определение линейного отображения. Примеры. Матрица линейного отображения.Определение дифференциала. Определение частной производной иматрицы Якоби. Связь дифференциала с частными производными.Пример недифференцируемых функций с частными производными.Градиент функции и его вид в декартовых координатах. Геометрический смысл градиента. Дифференцирование и алгебраические операции. Дифференцировании композиции, цепное правило.Старшие производные и формула Тейлора. Определение старшихпроизводных. Перестановочность частных производных.
Определениепространства C k (Ω). Формула Тейлора. Определение второго дифференциала и матрицы Гессе.11Локальный экстремум. Определение локального экстремума и критической точки. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.Теорема об обратной функции. Разрешимость системы линейныхуравнений. Теорема об обратной функции. Теорема о неявной функции. Примеры.Замена переменных.
Диффеоморфизмы. Криволинейные системыкоординат. Замена переменных в дифференциальных выражениях.Многообразия в Rn . Определение элементарного гладкого k-мерногомногообразия в Rn . Определение гладкого k-мерного многообразия (скраем или без) в Rn . Край и граница. Явный и неявный способы задания многообразия. Примеры. Функции перехода.Касательное пространство. Определение касательного вектора ипространства к многообразию.
Касательное пространство неявно заданного многообразия.Условный экстремум. Определение условного экстремума. Необходимые условия условного экстремума (принцип множителей Лагранжа). Достаточные условия условного экстремума.II.2. Мера и интегралИнтеграл Римана. Геометрическая интерпретация многомерногоинтеграла. Определение многомерного интеграла Римана через суммы Дарбу. Определение меры Жордана и множеств измеримых поЖордану. Свойства интеграла Римана (аддитивность, монотонность,интегрируемость непрерывных функций).Мера Лебега. Определение элементарного множества (объединение n-мерных промежутков) и его стандартной меры. Свойства стандартной меры (аддитивность и счетная аддитивность).
Определениевнешней меры Лебега. Свойства внешней меры (конечность, субаддитивность). Определение измеримого множества в n-мерном промежутке. Определение меры Лебега на n-мерном промежутке. Определение измеримого множества и меры Лебега в Rn . Свойства измеримых множеств (σ-алгебра). Свойства меры Лебега (счетная аддитивность). Измеримость Q∩[0, 1] по Лебегу и неизмеримость по Жордану.Множества меры ноль. Свойства множеств меры ноль, связь со счетностью.Интеграл Лебега.
Определение измеримой функции. Определение«почти всюду». Свойства измеримых функций. Определение простой12функции. Определение интеграла от простой функции. Определениеинтеграла Лебега. Свойства интеграла Лебега. Связь интегралов Римана и Лебега.Вычисление многомерных интегралов. Определение кратного иповторного интегралов. Теоремы Фубини и Тонелли. Расстановка пределов интегрирования. Формула замены переменной.
Геометрическийсмысл якобиана. Якобианы классических систем координат. Элементы площади и объема в криволинейных координатах. Интегрированиестепенных особенностей. Доказательство формулы связи между эйлеровыми интегралами. Интегралы Френеля.Интегралы, зависящие от параметра (ИЗОП). Теорема Лебегао мажорируемой сходимости. Непрерывность и дифференцируемостьИЗОП. Гладкость гамма-функции. Вычисление интеграла дифференцированием и интегрированием по параметру. Доказательство формулы дифференцирования ИЗОП с переменными пределами. ИнтегралДирихле. Потенциал простого слоя. Оператор дробного интегрирования.II.3. Интеграл, векторные поля и дифференциальныеформы на многообразиях в RnИнтеграл 1-го рода по многообразию.
Определение интеграла поk-мерному многообразию. Длина кривой и элемент длины в различных системах координат. Площадь поверхности и элемент площадив различных системах координат. Независимость интеграла от параметризации.Ориентация. Определение ориентации векторного пространства.Определение ориентации на многообразии. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Лист Мебиуса. Определение внешней нормали. Определение индуцированной ориентации края.
Определениевнешней нормали к (n − 1)-мерному многообразию. Ориентация (n −1)-мерного многообразия при помощи нормали. Выражение внешнейнормали через параметризацию.Классические интегральные формулы. Формулы Грина, Гаусса —Остроградского, Стокса.Элементы векторного анализа. Градиент, ротор, дивергенция илапласиан в декартовых координатах. Оператора Гамильтона (набла). Работа поля вдоль кривой и циркуляция поля. Поток векторного поля через поверхность.
Формула Гаусса — Остроградского в13терминах дивергенции и потока. Формула Стокса в терминах ротора, потока и циркуляции. Физический смысл ротора и дивергенции.Потенциальное и безвихревое векторное поле. Условие потенциальности поля. Соленоидальное и бездивергентное векторное поле. Условиесоленоидальности поля. Электростатическое поле точечного заряда.Магнитное поле элементарного тока. Приложения (уравнение теплопроводности, закон Кулона, теорема Гаусса, закон Био — Савара, силаЛоренца, закон Ампера).Замена переменных в векторных дифференциальных выражениях.
Правило для преобразования производных при замене. Правилодля перехода от одного базиса касательного пространства к другому.Правило для преобразования координат векторов. Запись grad в полярной системе координат. Коэффициенты Ламе. Запись grad, rot иdiv в ортогональных координатах.Дифференциальные формы. Определение внешней дифференциальной формы. Базис в пространстве 1-форм. Внешнее произведение 1форм. Базис в пространстве форм. Соответствие между формами иполями (форма работы, форма потока, форма объема). Определениеинтеграла (2-рода) от формы по многообразию.
Соответствия междуинтегралом от формы работы и работой поля, между интегралом отформы потока и потоком поля. Определение дифференциала формы.Связь дифференциала форм с векторными операциями. Обобщеннаяформула Стокса. Классические интегральные формулы как следствияобобщенной формулы Стокса.Литература1. Зорич В. А. Математический анализ.2. Курант Р.
Курс дифференциального и интегрального исчисления.3. Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и е„ приложения к физике.4. Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.5. Смирнов В. И. Курс высшей математики.6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.7. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.8.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.149. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.10. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические испециальные функции. Преобразование Лапласа.11. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики.12. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.13. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А.
Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.Сборник задач по математическому анализу.План семинаров1-ый семинар: Линии уровня. Двойной и повторный пределы. Непрерывность.2-ой семинар: Частные производные и дифференциал.3-ый семинар: Цепное правило. Дифференцирование сложных функций. Формула Тейлора.4-ый семинар: Градиент, производная по направлению, локальныеэкстремумы.5-ый семинар: Дифференцирование неявных функций.6-7-ой семинары: Замена переменных в дифференциальных выражениях8-ой семинар: Гладкие многообразия. Касательное пространство.9-10-ый семинар: Условный экстремум.
Множители Лагранжа. Метод исключения дифференциалов.11-ый семинар: Двойные и повторные интегралы.12-ый семинар: Замена переменных в двойных интегралах. Полярная замена.13-ый семинар: Тройные и повторные интегралы.14-ый семинар: Замена переменных в тройных интегралах. Цилиндрическая и сферическая замены.15-ый семинар: Несобственные двойные и тройные интегралы.16-ый семинар: Интегралы, зависящие от параметра.17-19-ый семинары: Криволинейные и поверхностные интегралы1-го рода.20-ый семинар: Операции векторного анализа21-23-ый семинары: Работа и циркуляция векторного поля. Формула Грина и Стокса.
Вычисление площади через формулу Грина.24-25-ый семинары: Поток векторного поля. Формула Гаусса–Остроградского.Вычисление объема через формулу Гаусса–Остроградского.1526-ый семинар: Дифференциальные формы и их связь с векторными полями27-ый семинар: Потенциальные векторные поля28-ый семинар: Соленоидальные векторные поля.29-ый семинар: Ортогональные криволинейные координаты.Оставшееся время 3 семинаров распределяются на проведение проверочных работ и повторное изучение наиболее трудных тем.16Задания по основам математического анализаЗадание 6 (сдать к 15 марта)1. [5 баллов] Найти частные производные, матрицу Якоби и дифференциал отображения f (x, y, z) = x2 y + y sin(z + x) − zey в точке(0, 1, 1).2. [6 баллов] Оператора Лапласа ∆ переводит каждую дважды гладкую функцию u(x, y, z) в новую функцию∂2u ∂2u ∂2u∆u =+ 2 + 2.∂x2∂y∂zВыяснить, как действует оператор Лапласа на сферически симметричные функции, т. е.
функции вида u = f (r), гдеpr = x2 + y 2 + z 2 .Найти все сферически симметричные функции, удовлетворяющиеуравнению Лапласа ∆u = 0.3. [5 баллов] Проверить, что функция u(x, y) = yf (x2 − y 2 ), где f —дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнениюy2∂u∂u+ xy= xu.∂x∂y4. [5 баллов] Разложить по формуле Тейлора до второго порядка функцию1+x.f (x, y) = arctg1+y5. [5 баллов] Найти точки локального экстремума функцииz = x3 + 2xy − y 2 + x − y.6.
[5 баллов] Непрерывная функция z = z(x, y) удовлетворяет условиюx2 − y 2 + 2z 2 + xy − zy = 0и условию z(0, 1) = 1. Доказать, что в некоторой окрестности точки(0, 1) она бесконечно дифференцируема, а в самой точке найти dz иd2 z.177. [5 баллов] Преобразовать к полярным координатам r и ϕ дифференциальное выражение∂u ∂v∂u ∂v−,∂x ∂y∂y ∂xгде u = u(x, y), v = v(x, y).8. [6 баллов] Показать, что уравнение теплопроводности∂u∂2u=∂x2∂yне изменяет своего вида при замене переменныхx̃ =x2x1u, ỹ = − , ũ = √ e− 4y ,yyyгде ũ = ũ(x̃, ỹ).9. [5 баллов] Найти и исследовать точки условного экстремума функции x + 4y − 2z, если ее переменные связаны соотношениями:x3 + 64y 3 + 8z 3 + 12x + 48y + 2z = 26,x + 4y = 2.10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
