Semenov-converted (825164), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

отсчеты (замеры) округлены с точностью до 10С, то x такжеокругляем до 1280С. Определяем выборочное среднеквадратичноеотклонение:x=8060i =1=2−x− i x = 6000 = 13,3 , т.е. температура в печи равна: tS = i =1 n −135 − 1= 1280  13,3Сn40200-20отклонения030ЛЕКЦИЯ №8Оптимальное использование пространства независимых переменных.Планирование эксперимента.1. Планирование эксперимента с целью сэкономить деньги, время.Цель планирования: Получение необходимого объема информации с требуемой точностью заминимальное количество опытов.Информацию получают в виде математической модели, описывающей зависимость величиныисследуемого фактора на выходе системы (y) от величины контролируемых факторов на входе (x).Задачи:1) зависимость от шероховатости валков, скорости, температуры поверхности металла.2) Или нахождение экстремума – максимума или минимума (оптимума)При этом может стоять задача о нахождении оптимального значения выходного фактора.Выигрыш в числе опытов получают благодаря:1) уменьшению ошибки изменения, в результате оптимального использования пространстванезависимых переменных.

Таким образом уменьшается количество повторныхэкспериментов.2) Применение шаговой стратегии эксперимента. После каждого шага проводится анализ, наосновании которого принимаются решения о дальнейшей деятельности.3) Применение правильной комбинаторики для исследования за наименьшее количествоопытов всевозможных сочетаний, действующих на систему входных факторов.Многофакторный эксперимент.Оптимальное использование пространства независимых переменных, идея математическойстатистики.

Проиллюстрируем данную идею на задаче о взвешивании 3-х образцов (А, В, С).Традиционно исследователь стал бы взвешивать образцы по следующей схеме.16№ опытаАВС1234+-+-+РезультатывзвешиванияY0Y1Y2Y3«+» – образец положен на весы.“-“ – образец отсутствует на весах1 взвешивание – холостое взвешивание для определение нулевой точки весов.Затем поочередно взвешивают каждый из объектов это классический пример однофакторногоэксперимента (поведение фактора изучается в отдельности). Вес каждого объекта определяется порезультатом 2-х опытов.

Например вес объекта А = y1 – y0. Определим дисперсию результатоввзвешивания: 2 A =  2 y1 − y 0  = 2 2 y {y} - ошибка взвешивания (суммируется ошибки 1 и 2 опытов)Этот же эксперимент может быть проведен по другой схеме, задаваемой следующей матрицейпланирования:№ опытаАВС1234++++++РезультатывзвешиванияY1Y2Y3Y4Вес образцов определяется:− y1 + y 2 − y 3 + y 42− y1 − y 2 + y 3 + y 4B=2+ y1 − y 2 − y 3 + y 4C=2Дисперсия связана с ошибкой взвешивания по новой схеме: − y + y 2 − y 3 + y 4  4 2 { y} 2 { A} =  2  1=  2 { y}=24A= 2 {B}... 2 { y} 2 {C}... 2 { y}Ошибка в два раза меньше.По 2-ой схеме дисперсия получается в 2 раза меньше, хотя в обоих случаях было по 4 опыта за счеттого, что по новой схеме каждый вес вычисляется по результатам не 2-х, а всех 4-х опытов,следовательно удвоение точности.2-ая схема называется многофакторной.С ростом числа независимых переменных k, эффективность многофакторного экспериментаувеличится как k +1 по сравнению с однофакторным.

Математическая модель отражает связь междуфакторами выходным и контролируемым входным. Т.к. на систему влияют также неконтролируемыефакторы, то даже при фиксированных значениях входных факторов величина на выходе ведет себяслучайным образом. Поэтому ставится задача нахождения ее математического ожидания идисперсии или доверительных интервалов.При записи модели греческие буквы применяются для обозначения «истинных» генеральныхзначений, соответствующих неизвестных, однако, т.к. по результатам эксперимента можно найти17только выборочные значения выходных функций и коэффициентов (y, b0, bi, bj...), то уже уравнениебудет записано в следующем виде:nnni =1i ji =1y = b0 +  bi xi +  bij xi x j +  bii xi + ...2Пример линейной модели для истинных значений. =  0 + 1 x1 +  2 x2 + ...

+  k xkНа основе априорной информации (сведения из литературы, результаты предыдущиходнофакторных испытаний и т.д. оценивают границы изменения факторов).В этих границах надо выбрать основной (или нулевой) уровень и интервал варьирования,которые будут использованы при планировании эксперимента. Основным, нулевым уровнемназывают уровень фактора, соответствующей наилучшим условиям, определенным по априорнойинформации. Положение усложняется, если эта точка лежит на границе области, тогда основнойуровень сдвигают от «наилучших» условий. Далее для каждого фактора выбирают два уровня, накоторых он будет участвовать в эксперименте.

Один из них называется верхним, другой – нижним.Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению факторов(это не обязательно).Интервалом варьирования фактора называется число, прибавление которого к основномууровню дает верхний, а вычитание нижний уровни факторов. Для упрощения эксперимента (записиусловий) масштаб по координатным осям выбирают таким образом, чтобы верхний уровеньсоответствовал «+1», нижний – «-1», а основной «0».

Для факторов с непрерывной областьюопределения это всегда можно сделать при помощи преобразования:x j − x j0xj =Ijxj – кодированное значение фактора.x j - натуральное значение фактора.x j 0 - натуральное значение основного уровня.Ij – интервал варьирования j-N фактора.На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения, как сверху,так и снизу. Интервалы варьирования не могут выходить за естественные границы, не могут бытьменьше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора.ЛЕКЦИЯ №9Выбор интервалов варьирования - задача чрезвычайно трудная, т.к. она связана снеформализованным типом планирования эксперимента. На это этапе необходимо использоватьсведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов о кривизне18поверхности отклика и о диапазоне изменения y. Обычно все эти сведения являютсяориентировочными и в ходе эксперимента их приходится корректировать.

Условие проведенияэксперимента записывают в виде таблицы, в которой строки соответствуют различным опытам, астолбцы – значения факторов. Таблицы называют матрицами планирования эксперимент.Пример: рассмотрим задачу по определению усилия прессования профиля и предположим,что на каком-то определенном участке усилие будет линейно зависеть от 3-х факторов:  - степенидеформации  - коэффициента трения, угла конусности контейнера .

Математическую модель длялинейной функции запишем в следующем виде:y =  0 + 1 x1 +  2 x2 +  3 x3 (x – истинная величина)y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 (кодированное x =  1)Матрица планирования.№ опытаX0X1X2X31234+1+1+1+1-1+1-1+1-1-1+1-1+1-1-1+1РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y4Для простоты записи кодированных значений факторов, 1 опускают и пишут «+» или “-“.Столбец фиктивной переменной x0 необходим для оценки свободного члена b0, число опытов на 1превосходи число независимых переменных k = 3, такие планы называют насыщенными, т.к. всестепени свободы n = k+1 используются для оценки коэффициентов регрессии соответственно, b0определяется через 1, b1→1, bk→k.Эти планы обладают следующими свойствами:n1.xi =1ij=0симметрично j = N факторам, изменяющимся от 1 до k.2. Отвечают условиям нормировки:nxi =1ij=n +U− = 03.

Ортогональны: сумма почленных произведений i-x факторов столбцов равна 0.nxi =1ji− ..xui = 04. Рототабельны – точность предсказания значения y одинакова на равных расстояниях от центраэкспериментов. Эта точность растет с ростом числа независимых переменных, но сравнивая соднофакторным экспериментом.Полный факторный эксперимент.ПФЭ – эксперимент, в котором реализуются возможные сочетания уровней факторов.

Есликаждый фактор варьируется на 2x уровнях, то имеет место ПФЭ типа 2к, где 2 – число уровней, к –число факторов.Построим матрицу планирования ПФЭ 2к:№ опытаX1X21234++++РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y419Если для 2-х факторов все возможные комбинации уравнений легко находить простымперебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приближениипостроения матриц.Рассмотрим 2 приема на примере матрицы 23:№ опытаX1X2X312345678++++++++++++-РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3............Y81-й прием: при добавлении нового фактора каждая комбинация уравнений исходного планавстречается дважды в сочетании с верхним и нижним уравнениями нового фактора.2-ой прием: в 1-ом столбце матрицы знаки меняются поочередно, во 2-ом – они чередуются через 2,в 3-ьем – через 4, в 4-ом – через 8 и т.д.

по степени двойки.ПФЭ позволяет не только оценить нелинейность модели, которая связана с тем, что эффектодного фактора зависит от уравнения, на котором находится другой фактор. Математическая модельпри это выглядит следующим образом:y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b12 x1 x2Для ПФЭ 22 матрица планирования с учетом взаимодействия будет иметь вид:№ опытаX0X1X2X1X21234++++++++-++-РезультатыэкспериментаyY1Y2Y3Y4Столбцы x1 и x2 задаются планированием, по ним непосредственно определяются условия опытов;столбцы x0, x1, x2 служат только для расчета коэффициентов. С ростом числа независимыхпеременных число возможных взаимодействий быстро растет. В ПФЭ 23 уже возможно 4взаимодействия: x1x2; x2x3; x3x1; x1x2x3 (эффект взаимодействия 2-го порядка).Дробный факторный эксперимент.Количество опытов в ПФЭ значительно по превосходящим числам определяемыхкоэффициентов линейной модели, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций