1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

в случае отталкивания всегда E > 0 ) даютсяформулами (71.5). Расстояние в перигелииrmin =p.e -1186(71.30)Dj rjOРис. 56Половина полного угла поворота при пролете мимо отталкивающего центра (рис. 56)pDj = - j . При r = ¥ из (71.29) имеем21cos j = , тогдаeæpö1sin Dj = sin ççç - j÷÷÷ = cos j = .÷øeè2(71.31)Из сравнения (71.31) и (71.25) следует, что углы отклонения для притягивающего и отталкивающего потенциалов одинаковы! Это весьма неочевидный результат. Половинный угол поворота для частицы, летящей с бесконечности, будет даваться той же формулой (71.27).

Разницатолько в том, что в случае притяжения частица отклоняется в сторонуцентра притяжения, а в случае отталкивания – в обратную сторону.Конические сеченияВыше было декларировано, что формула (71.4) описывает эллипсы,параболы, гиперболы. Покажем это. Учитывая, что cos   x / r , запишем (71.4) в видеr = p - xe .(71.32)Возводя в квадрат, получаемx 2  y 2  p 2  2 pxe  x 2 e2 .Далее, после перегруппировки членов получается1) e  1 (эллипс)2pe xy2pp1  e2  1 , где a и b;222ab1 e1  e22) e  1 (парабола)py 2  2 p  x   ;23) e  1 (гипербола)2pe x 2 ppy2e 1  2  1 , где a  2и b.22e 1abe 1187(71.33)(71.34)(71.35)(71.36)§ 72.

Полеты в космосДвижение по круговой орбитеПри движении по круговой орбите вокруг Землиmv 2 GMm=rr2GM.rv=(72.1)Если спутник находится на низкой орбите около Земли, то r = RЗ иv1 =GMRЗ = gRЗ = 7.9 км/с.RЗ2(72.2)– это первая космическая скорость. Период обращения спутника наоколоземной орбите2pRЗT =GMRЗ= 2pRЗg= 88 мин .Для спутников на геостационарной орбите2prГT == 1 сутки .GMrГ(72.3)(72.4)Отсюда rГ = 42200 км и скоростьvГ =GM= 3.07 км/с .rГ(72.5)Вторая космическая скоростьДля вылета на пределы Земли необходимо, чтобы движение былоинфинитно, а для этого, как было установлено ранее (в предыдущейлекции), необходимоE=mv 2 GMm> 0.2RЗ188(72.6)Заметим, что эта скорость не зависит от направления запуска ракеты.Минимальная скоростьv2 =2GMRЗ = 2gRЗ = 11.2 км/сRЗ2(72.7)– это вторая космическая скорость.Если скорость ракеты на поверхности Земли v , то скорость на бесконечности ( r  RЗ ) находится из закона сохранения энергии2mv¥2отсюда2mv 2 GMmmv 2 mv2==,2RЗ222v¥= v 2 - (11,2)2 , где скорости в км/с.(72.8)(72.9)Третья космическая скоростьНайдем скорость, необходимую для полета за пределы Солнечнойсистемы.

Скорость Земли на орбите вокруг Солнца (аналог первойкосмической скорости)v1C =GM CrЗ= 29, 76 » 30 км/с.(72.10)Здесь rЗ – радиус орбиты Земли вокруг Солнца, M C – масса Солнца.Для полета на бесконечность с орбиты Земли в поле Солнца необходима вторая солнечная космическая скоростьv2C =2GMCrЗ= 2v1С = 42,1 км/с.(72.11)Следовательно, после выхода за пределы тяготения Земли ракетадолжна двигаться быстрее Земли на 42,1  30  12,1 км/с. Это значит,что на поверхности Земли ракета должна иметь скорость (см. (72.9))v = (12,1)2 + (11,2)2 = 16, 5 км/с.189(72.12)Полет на МарсСамым экономичным полетом к Марсу является полет, когда ракетастартует вдоль орбитальной скорости Земли идалее, двигаясь по эллипсу, касается орбитыМарса (рис. 57).

Действительно, согласно (71.8)GMmполная энергия E  , где a – большая2aполуось. Отсюда начальная кинетическая энергия при старте с орбиты ЗемлиK0 = -Рис. 57GMmGMm GMm, (72.13)-U 0 = +2a2arЗи она уменьшается при уменьшении большой полуоси эллипса.Продолжительность полета (туда-обратно) находится из (71.19)4p 2 (rЗ + rМ )34p 2a 3T ==.GM С8GM С2(72.14)Его можно выразить через периоды обращения Земли и МарсаTЗ2 =4p 2rЗ3GM С, TM2 =4p 2rM3GM C.(72.15)В результате с учетом TЗ = 1 год, TM = 1.88 года получаем31 2/3TЗ + TM2/3 T = 1, 42 года .(72.16)8Полная энергия ракеты при движении по эллипсу, касающемуся орбитЗемли и Марса (рис. 57), дается формулой (71.8)GMC m.(72.17)E =rЗ + rMT2 =()Скорость ракеты на орбите Земли v З находится из сохранения энергииE=mv З22-GMC mrЗ=-GMC mrЗ + rM,(72.18)откудаvЗ =2GMC rMrЗ (rM + rЗ )= v2CrMrЗ + rM» 42,1 ⋅ 0, 78 = 32, 7 км/с.190(72.19)Поскольку имеется скорость орбитального движения Земли 29,76 км/с,то необходимая добавочная скорость 32,7 - 29,76 » 2, 95 км/с.

Дляэтого стартовая скорость ракеты на поверхности Земли должна быть(см. (72.9))v = (2, 95)2 + (11,2)2 = 11, 6 км/с.(72.20)Это и есть искомая скорость ракеты для полета на Марс. Она лишь немного больше второй космической скорости.Заметим, что формулу (72.19) можно легко получить, не прибегая кобщему решению движения по эллиптическим орбитам. В точках, гдеорбита ракеты касается орбит Земли и Марса, скорость ракеты перпендикулярна радиусу. Законы сохранения момента импульса и энергиидля этих двух точек(72.21)v ЗrЗ = v MrM ,v З22-GM CrЗ=vM22-GMCrM,(72.22)откуда сразу получаем для v З выражение, совпадающее с (72.19).Долететь до Марса не так сложно, труднее вернуться. Вторая космическая скорость для Марса около 5 км/с (для Луны 2,375 км/с), такчто стартовая масса посадочного модуля должна быть достаточнобольшая.

Возможно, первые покорители Марса полетят в одну сторону. Сначала с помощью роботов построят жилище, завод по производству жизненно важных продуктов, а затем полетят люди-«переселенцы». Еще одна проблема – это очень высокая радиацияво время полета и на поверхности Марса. Доза, получаемая во времяполета, составляет порядка 100 бэр (1 Зиверт), что является предельнодопустимой для людей. На поверхности Марса радиация примерновтрое выше, чем на орбитальной станции, но там можно спрятаться.Рассмотрим еще вопрос, как часто Земля и Марс имеют расположение, удобное для полетов? Пусть wЗ и wM – угловые скорости движения Земли и Марса вокруг Солнца. Тогда в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, угловая скорость Марса w = wЗ - wM . Момент благоприятного взаимного расположения повторяется с периодомTЗTM2p(72.23)T === 2.14 года.wЗ - wM TM - TЗ191Нужно еще учесть, что орбита Марса имеет большой эксцентриситет.Минимальное расстояние до Солнца 207 млн км, максимальное –249 млн км.

Если сильно экономить топливо, то подлетать к Марсунужно, когда он находится близко к Солнцу (будет меньше большаяполуось орбиты корабля). Такие удобные моменты будут повторяться счастотой w * равной разности частот обращения Марса w М и частотойw = wЗ - w М , определяющей времена, когда Марс оказывается в нуж-ной точке орбиты корабля (см. выше). Время, соответствующее частотеTMTЗw * = w М - wЗ - wМ = 2wМ - wЗравно T * = 2p/w * =2TЗ - TM» 15, 7 лет. Это время является также интервалом между великимипротивостояниями Земли и Марса, когда минимальное расстояние составляет 55,76 млн.

км. Следующее такое событие будет летом 2018 г.Большой разницы в стартовой скорости на Земле при полете к перигелию или апогелию Марса нет: разница составляет всего 0,3 км науровне 11,6 км. Имеются много других, более существенных определяющих оптимальное время старта и траекторию полетаПолет к СолнцуПосмотрим, сколько времени займет полет к Солнцу и какая дляэтого нужна скорость.Оптимальная орбита для полета на Солнце – это сильно вытянутыйэллипс, имеющий двойную полуось, равную расстоянию до Солнца.С учетом зависимости T 2 µ a 3 находим время полета к Солнцу( )T = 123/2TЗ = 0, 35 года.(72.24)Скорость на орбите Земли должна быть нулевой, для этого нужно запустить ракету в сторону, противоположную орбитальной скоростиЗемли со скоростью 30 км/с.

Вдобавок к этому, нужно выйти за пределы тяготения Земли. Необходимая для всего этого скоростьv = (30)2 + (11,2)2 = 32 км/с.(72.25)Это вдвое больше, чем третья космическая скорость (72.12), необходимая для покидания Солнечной системы.192§ 73. Средние потенциальные и кинетические энергии,теорема о вириалеНачнем с движении по круговой орбите в полеa(73.1)U (r ) = - n .rВ природе чаще всего встречаются силы с n = 1 (электрическое и гравитационное взаимодействия), однако бывают и другие. Например,между нейтральными молекулами существуют силы Ван-дер-ваальса(диполь-дипольные взаимодействия) с n = 6 . Кинетическая энергияпри движении по окружности находится из уравнения движенияmv 2na= n +1 .(73.2)rrОтсюда находим соотношения между кинетической, потенциальной иполной энергиямиmv 2nanK == n = - U,222r(73.3)n -2(2 - n )E = K +U =K =U.n2dp¶UdU r==, что даетdtdrdr rНапример, для гравитационного поля, n = 1 ,K =-U,2E = -K =U.2(73.4)для поля гармонического осциллятора (U = kr 2 ), n = -2 ,K = U,E = 2K = 2U .(73.5)Пример.

Характеристики

Список файлов книги