1611143570-7556762e01438bc28ccbe371333ad107 (825033), страница 3
Текст из файла (страница 3)
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ12В соответствии с определением скорость всегда направленапо касательной к траектории (см. рис. 1.1б).Зная закон изменения скорости материальной точки υ(t ) ,и радиус-вектор r0 ≡ r (t0 ) в начальный момент времени t0, можнонайти закон движения:tr (t ) = r0 + ∫ r (t )dt .(1.9)t0Путь s(t), пройденный материальной точкой вдоль траектории(длина траектории) за время t, равенts (t ) = ∫ υ (t )dt ,(1.10)0при этом модуль скорости υ (t ) в любой момент времени равенd s(t )υ ( t ) ≡ υ( t ) == s&(t ) .(1.11)dtУскорение материальной точки a относительно даннойсистемы отсчета – физическая величина, равная производной скорости материальной точки по времени (при постоянных ортах системы координат):a(t ) = {a x (t ), a y (t ), a z (t )}≡ υ&(t ) = {υ& x (t ),υ& y (t ),υ& z (t )},(1.12)где ax, ay, az – проекции ускорения a на соответствующие оси системы координат. Ускорение a можно представить в виде суммысоставляющих ускорения вдоль осей системы координат:(1.13)a(t ) = υ&x (t ) i + υ& y (t ) j + υ&z (t ) k = a x (t ) i + a y (t ) j + a z (t ) k .При этом модуль ускорения a равенa(t ) = a x2 + a 2y + a z2 .(1.14)Зная закон изменения ускорения материальной точки a (t ) , атакже скорость υ0 ≡ υ(t0 ) и радиус-вектор r0 ≡ r (t0 ) в начальныймомент времени t0, можно найти закон изменения скорости и закондвижения:tυ(t ) = υ0 + ∫ a (t ) d t ,t0(1.15)Глава 1.
Кинематика материальной точки и простейших систем13⎛ t ''⎞r (t ) = r0 + υ0 (t − t0 ) + ∫ ⎜ ∫ a (t ' ) d t ' ⎟ d t ' ' .(1.16)⎜⎟t0 ⎝ t0⎠Начальные условия для материальной точки – значения радиус-вектора и скорости в начальный момент времени t0 относительно заданной системы отсчета:⎧r (t0 ) = r0 ,(1.17)⎨⎩υ(t0 ) = υ0 .Тангенциальное ускорение aτ – составляющая ускоренияa вдоль направления скорости τ (см. рис. 1.2):υ(t ) d rτ (t ) ≡=, τ (t ) = 1 , aτ (t ) = aτ (t )τ (t ) ,(1.18)υ (t ) d sd υ (t )aτ (t ) == υ& (t ) ,(1.19)dtгде aτ (t ) – проекция ускорения a на направление скорости τ .tSr (t )n(t )Ma n (t )aτ (t )a (t )τ (t )Рис.
1.2. Ускорение материальной точки a и ее тангенциальная aτ инормальная an составляющиеДвижение материальной точки при aτ (t ) > 0 – ускоренное,при aτ (t ) < 0 – замедленное, при aτ (t ) = 0 – равномерное, а приaτ (t ) = const ≠ 0 – равнопеременное.Нормальное ускорение an – составляющая ускорения a ,перпендикулярная направлению скорости (рис. 1.2):an (t ) = an (t )n(t ) , n(t ) ⊥ τ (t ) , n(t ) = 1 ,(1.20)где an (t ) – проекция ускорения a на направление n , перпендикулярное скорости и направленное к центру кривизны траектории.Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизнытраектории – центру окружности максимального радиуса (радиуса14МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧкривизны траектории), касательной к траектории в данной точке,при этомυ 2 (t )≥ 0,(1.21)an (t ) =ρ(t )dsгде ρ(t ) ≡– радиус кривизны траектории в данной точке, аdαdα – угол между скоростями в моменты времени t и t + dt.Ускорение a можно представить в виде суммы нормальногоan и тангенциального aτ ускорений:a (t ) = an (t ) +aτ (t ) .(1.22)При этом модуль ускорения a равенa(t ) = an2 (t ) + aτ2 (t ) .(1.23)В соответствии с (1.21) и (1.22) ускорение всегда отклоненоот направления скорости в сторону центра кривизны траектории вданной точке, то есть внутрь траектории (см. рис. 1.2).В частном случае движенияYυ(t )материальной точки по окружности,т.е.
движения в плоскости по траекdϕRториис постоянным радиусом криϕ(t)визны – ρ (t ) = R (рис. 1.3), можноZXввести угловую скорость ω (t ) иугловое ускорение β (t ) :υ (t )dϕ ( t )Рис. 1.3. Кинематические характеω (t ) ≡≡ ϕ& (t ) =,ристикиматериальнойdtR(1.24)точки при ее движении поa(t)υ(t)τокружностиβ (t ) ≡ ω& (t ) ==.RRПри этом:υ 2 (t )an (t ) == ω 2 (t ) R,(1.25)R&aτ (t ) = ω (t ) R.Механическая система – совокупность материальных тел.Система материальных точек – совокупность тел, каждоеиз которых можно считать материальной точкой.
Далее будем счи-Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем15тать, что всякую рассматриваемую нами механическую системуможно рассматривать как систему материальных точек.Абсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точкамикоторого не меняются в условиях данной задачи.Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.Принцип суперпозиции движений – в случае поступательного движения системы отсчета S′ относительно системы S(рис. 1.4) радиус-вектор (скорость, ускорение) произвольной материальной точки относительно системы S равен сумме радиусвекторов (скоростей, ускорений) начала отсчета O' системы S' и тойже материальной точки относительно системы S':r (t ) = rO′ (t ) + r ′(t ),(1.26)υ(t ) = υO ′ (t ) + υ′(t ),a (t ) = aO′ (t ) + a′(t ).Здесь υO′ и a O′ – переносные скорость и ускорение соответственно.S'SMr (t )r ′(t )rO' (t )O'OРис.
1.4. Положение материальной точки M относительно двухпоступательно движущихся систем отсчета S и S′Уравнения кинематической связи – уравнения, связывающие кинематические характеристики различных тел системы:f r (r1 , r2 ,..., rN ) = 0,f υ (υ1 , υ2 ,..., υN ) = 0,f a (a1 , a2 ,..., a N ) = 0.(1.27)МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ16Существуют два способа нахождения уравнений кинематической связи.Способ 1. Принцип независимых перемещений. Перемещение какого-либо тела в системе связанных тел складывается изтак называемых «независимых» перемещений, каждое из которыхобусловлено (вызвано) перемещением соответствующего другоготела системы при покоящихся остальных телах:Δri = ∑ Δrik .(1.28)k ≠iСпособ 2. Записать величины постоянных кинематическиххарактеристик элементов связей (нитей, штанг, блоков, поверхностей и т.д.) через координаты тел системы, используя свойства этихэлементов (нерастяжимость, неподвижность, недеформированность), и продифференцировать эти величины по времени.1.2. Основные типы задач и методы их решения1.2.1. Классификация задач кинематикиОсновной задачей кинематики является определение кинематических характеристик тел, движущихся относительно даннойсистемы отсчета.Большинство задач кинематики можно условно отнести кследующим типам задач или их комбинациям:1) кинематика материальной точки,2) принцип суперпозиции движений,3) уравнения кинематической связи,4) кинематика простейших механических систем.Как правило, один из типов задач имеет основное, другие –подчиненное по отношению к условию задачи значение.1.2.2.
Общая схема решения задач кинематикиI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем173. Изобразить и обозначить кинематические характеристикител.4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1.
Записать в проекциях на оси координат:а) законы движения,б) законы изменения скорости,в) законы изменения ускорения.2. Записать начальные условия.3. Записать уравнения кинематических связей.4. Использовать результаты ранее решенных задач и особыеусловия задачи (например, заданные соотношения междухарактеристиками системы).III. Получить искомый результат в аналитическом и численном видах.1. Решить систему полученных уравнений.2.
Провести анализ решения (проверить размерность и лишние корни, рассмотреть характерные случаи, установитьобласть применимости).3. Получить численный результат.Примечания.В случае решения задач на кинематику материальной точки впп. I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках материальной точки, а п.
II.3 надо опустить.В случае решения задач на кинематику простейших механических систем в пп. I.3 – II.2 речь идет о кинематических характеристиках тел рассматриваемой системы.Пункты II.1 – II.3 (в том числе II.2.a – II.2.в) можно выполнять в той или иной последовательности в зависимости от типа задачи.1.3.
Примеры решения задачЗадача 1.1(Кинематика материальной точки)Скорость материальной точки зависит от ее положения в декартовой системе координат следующим образом: υ = ci + bxj , гдеМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ18c и b – положительные постоянные величины. В начальный моментвремени радиус-вектор материальной точки равен нулю: r (0) = 0 .Определить:а) законы движения r (t ) , изменения скорости υ(t ) и ускорения a (t ) , тангенциальную aτ (t ) и нормальную an (t ) проекции ускорения;б) уравнение траектории y(x) материальной точки;в) радиус кривизны траектории ρ (t ) ;г) угол ϕ (t ) между скоростью υ(t ) и ускорением a (t ) .РешениеСледуем общей схеме решения задач кинематики материальной точки и простейших систем.I. По условию задачи движение происходит в плоскости XY,образованной координатными осями, направления которых заданыортами i и j .II.
Запишем начальные условия и закон изменения скороститела в проекциях на оси выбранной системы координат:⎧ x(0) = 0, y (0) = 0,(1.29)⎨⎩υ x (0) = c, υ y (0) = b ⋅ 0 = 0,dx⎧⎪⎪υ x (t ) = d t = c,(1.30)⎨⎪ υ (t ) = d y = bx(t ).⎪⎩ ydtIII. Записанные дифференциальные уравнения относительнокоординат материальной точки (1.29) с учетом начальных условий(1.29) позволяют найти закон движения материальной точки в проекциях на оси координат и зависимость от времени радиус-вектораr (t ) :⎧ x(t ) = ct ,⎪⎨cbt 2()=,yt⎪2⎩r (t ) = cti +cbt 2j.2(1.31)(1.32)Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем19Используя найденную зависимость x(t) (1.31), определим закон изменения скорости υ(t ) = ci + bx(t ) j и закон изменения ускорения a (t ) :υ(t ) = ci + cbtj ,(1.33)dυa (t ) == cbj .(1.34)dtУравнение траектории находится из закона движения материальной точки путем исключения из (1.31) времени t:cb x 2 b 2y ( x) = ⋅ 2 =x .(1.35)2 c2cОстальные искомые величины определяются в соответствиис формулами, приведенными в п.
1 данной Главы.Модуль скорости (1.7) равен:υ (t ) = υ x2 + υ y2 = c 2 + c 2b 2t 2 .(1.36)Проекции ускорения aτ (t ) и an (t ) (1.19, 1.23) получим в виде:⎧dυc 2b 2tcb 2t,()===at⎪ τdt1 + b 2t 2c 2 + c 2b 2t 2⎪⎨c 2b 4t 2cb⎪222 2()ataacb=−=−=.τ2 2⎪ n1+ b t1 + b 2t 2⎩Радиус кривизны траектории (1.21) равен:υ2(c)()3/ 2+ c 2b 2t 2 1 + b 2t 2 c= 1 + b 2t 2.(1.38)ancbbУгол ϕ (t ) между скоростью υ(t ) и ускорением a (t ) определяется соотношением:ρ (t ) ==2(1.37)an1 + b 2t 21cbcb=⋅= 2 = .(1.39)222aτcb tcb t bt1+ b tЗаметим, что материальная точка движется по параболической траектории (1.35) с постоянным ускорением, направленнымвдоль оси Y (1.34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
