1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (824998), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Èíâàðèàíòíîñòü ðàíãà óæå ïîëó÷åíà âûøå. Èíâàðèàíòíîñòü ïîëîæèòåëüíîãî èíäåêñà èíåðöèè äîêàæåìîò ïðîòèâíîãî: äîïóñòèì, ÷òî â áàçèñå (v1 , . . . , vn ) ôîðìà èìååò âèäq(x) = x21 + . . . + x2s − x2s+1 − . . . − x2r ,à â áàçèñå (v10 , . . . , vn0 ) îíà æå èìååò âèäq(x) = x21 + . . . + x2t − x2t+1 − . . . − x2r ,ïðè÷¼ì ñóæåíèÿ q íà ëèíåéíûå îáîëî÷êè L = hv1 , . . . , vs i è 0s > t. ÒîãäàL0 = vt+1, .
. . , vn0 ñîîòâåòñòâåííî áóäóò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿè íåïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåë¼ííàÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû.Åñëè åñòü íåíóëåâîé âåêòîð x ∈ L ∩ L0 , òî ïîëó÷àåòñÿ ïðîòèâîðå÷èå:q(x) îäíîâðåìåííî ïîëîæèòåëüíî è íåïîëîæèòåëüíî. Åñëè æå íåíóëåâîãî îáùåãî âåêòîðà íåò, òî ïî îïðåäåëåíèþ íèêàêèå íåòðèâèàëüíûå00ëèíåéíûå êîìáèíàöèè α1 v1 +. . .+αs vs ∈ L è αt+1vt+1+. . .+αn0 vn0 ∈ L00íå ìîãóò áûòü ðàâíû. Òîãäà ìíîæåñòâî {v1 , . . . , vs , vt+1, .
. . , vn0 } èçs + n − t > n âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìî, ÷òî íåâîçìîæíî.Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåë¼ííîñòü êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñóæåíèè íà ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâî q(x) > 0 äëÿ âñåõ x 6= 0. Ïðèìåð. Íåâûðîæäåííîñòü ôîðìû ìîæåò ïîòåðÿòüñÿïðè ñóæåíèè íà22Óòâåðæäåíèå.ïîäïðîñòðàíñòâî. Íàïðèìåð, ñóæåíèåôîðìûx1 − x2 (â ñòàíäàðòíîìáàçèñå ïëîñêîñòè R2 ) íà ïðÿìóþ [1, 1]> òîæäåñòâåííî íóëåâîå.Äëÿ âñÿêîé ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû f ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:(1) àññîöèèðîâàííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà âûðîæäåíà;(2) ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð y 6= 0, ÷òî f (x, y) = 0 äëÿ âñåõâåêòîðîâ x ∈ Rn.Äîêàçàòåëüñòâî. (1 ⇒ 2) Ãîäèòñÿ âåêòîð êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà, ñîîòÓòâåðæäåíèå.âåòñòâóþùèé íóëåâîìó äèàãîíàëüíîìó ýëåìåíòó ìàòðèöû ôîðìû.Ãëàâà 7.
Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.73(2 ⇒ 1) Äîïîëíèâ y ïðîèçâîëüíî äî áàçèñà âñåãî ïðîñòðàíñòâà, ìûïðåäñòàâèì ôîðìó f ìàòðèöåé ñ íóëåâûì ñòîëáöîì.Îïðåäåëèòåëè ëþáûõ äâóõ êîíãðóýíòíûõ ìàòðèö èìåþòîäèíàêîâûå çíàêè.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè A0 = S >A S , òî det A0 = (det S)2 det A.Ñëåäñòâèå. Ìàòðèöà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ôîðìû â ëþáîìáàçèñå èìååò ïîëîæèòåëüíûé îïðåäåëèòåëü.Îïðåäåëåíèå. Ãëàâíûì ìèíîðîì ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ ìèíîð ∆k (A),Ëåììà.ñîñòàâëåííûé èç å¼ ïåðâûõ k ñòðîê è ïåðâûõ k ñòîëáöîâ.Ñëåäñòâèå. Ãëàâíûé ìèíîð ∆k (F ) ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìûâ áàçèñå (v1, . .
. , vn) èäåíòè÷åí ìàòðèöå ñóæåíèÿ ýòîé ôîðìû íàïîäïðîñòðàíñòâî hv1, . . . , vk i.Ñ ïîìîùüþ ãëàâíûõ ìèíîðîâ ∆k (F ) ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ÷àñòî óäà¼òñÿ áûñòðî óçíàòü å¼ ñèãíàòóðó. Óäîáíî íå ðàçëè÷àòü âîáîçíà÷åíèÿõ ìèíîð (ìàòðèöó) è åãî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå, à òàêæå ïîëàãàòü ∆0 = 1 è ∆n = det F , ïðè÷èñëÿÿ èõ òîæå ê ãëàâíûì ìèíîðàì.Åñëè âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàòðèöû âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q èìåþò íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ∆0, . . . , ∆n, òî êîëè÷åñòâà ñîõðàíåíèé è ïåðåìåí çíàêà â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíûïîëîæèòåëüíîìó è îòðèöàòåëüíîìó èíäåêñàì èíåðöèè ôîðìû q.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåìäàæå, ÷òî òàêóþ ôîðìó ìîæíî ïðèâåñòèP2Òåîðåìà.ê íîðìàëüíîìó âèäóck zk , â êîòîðîì çíàêè êîýôôèöèåíòîâ ñîãëàñîâàíû ñ ïåðåìåíàìè çíàêîâ ãëàâíûõ ìèíîðîâ â òîì ñìûñëå, ÷òîsgn ck = sgn(∆k /∆k−1 )äëÿ 1 6 k 6 n.
Îòñþäà óòâåðæäåíèå îá èíäåêñàõ ñëåäóåò ïðîñòûìïîäñ÷¼òîì êîëè÷åñòâ ïëþñîâ è ìèíóñîâ.Âîñïîëüçóåìñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó ïåðåìåííûõ. Ïðèâåä¼ì èñõîäíóþ ôîðìó ê íîðìàëüíîìó âèäó â òðè ýòàïà. Ñíà÷àëà èãíîðèðóåìñëàãàåìûå ñ ïîñëåäíåé ïåðåìåííîé; âñå ïðî÷èå ñîñòàâëÿþò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò n − 1 ïåðåìåííîé ñ òåìè æå ãëàâíûìè ìèíîðàìè, êðîìåîòñóòñòâóþùåãî ∆n . Ïðåäïîëàãàåì ïî èíäóêöèè, ÷òî îíà ïðèâåäåíà êñîãëàñîâàííîìó íîðìàëüíîìó âèäó â ïåðåìåííûõ yk :2a116 a2164 a31a41a12a22a32a42a13a23a33a433a14a24 77a34 5a4423±1 0 0 b146 0 ±1 0 b24 7674 0 0 ±1 b34 5 .b41 b42 b43 b4474Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÒåïåðü çàäà÷à âåñüìà àíàëîãè÷íà òîé, ÷òî ìû ðåøàëè, äâèãàÿ ëèíèèâòîðîãî ïîðÿäêà.
Ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííûì(yk ± bkn yn ïðè k < n,zk =ykïðè k = n,ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèé âèä èñõîäíîé ôîðìû â ïåðåìåííûõ zk :3±1 0 0 b146 0 ±1 0 b24 7764 0 0 ±1 b34 5b41 b42 b43 b4423±1 0 0 06 0 ±1 0 0 7674 0 0 ±1 0 5 .0 0 0 c42Íàêîíåö, çàìåíîé ïîñëåäíåé ïåðåìåííîé ñâåä¼ì cn ê ±1. Ïî ëåììå îñîõðàíåíèè çíàêà, îïðåäåëèòåëü D ïîëó÷åííîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöûèìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ∆n .
Èòàê,sgn ∆n = sgn D = sgn ∆n−1 · sgn cn ,÷òî è òðåáîâàëîñü.Äëÿ âñÿêîé âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèÿ:(1) îíà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ;(2) â ëþáîì áàçèñå âñå å¼ ãëàâíûå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû.Ñëåäñòâèå (êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà).7.4.Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàÏîçíàêîìèìñÿ ñ ïîâåðõíîñòÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà, èëè êâàäðèêàìèäëÿ êðàòêîñòè, àíàëèçèðóÿ ïî î÷åðåäè âñå êëàññû êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé, àíàëîãè÷íûå óðàâíåíèÿì ëèíèé, â çàâèñèìîñòè îò çíàêîâ èõêîýôôèöèåíòîâ. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ î÷åíü ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü ñå÷åíèÿ êâàäðèêè ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì.Êëàññ 3+.
Óðàâíåíèå λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + p = 0 ïîïàäàåò â îäèíèç ÷åòûð¼õ òèïîâ. Ýòî ýëëèïñîèäû è ãèïåðáîëîèäû. Óðàâíåíèåx2a2+y2b2+z2c2=1çàäà¼ò ýëëèïñîèä, ïðè÷¼ì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî a > b > c. Âñå åãî íåïóñòûå è íåîäíîòî÷å÷íûå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ åñòü ýëëèïñû. Ðàçëè÷àþò ÷åòûðå ôîðìû ýëëèïñîèäîâ:• côåðà ïðè a = b = c;• âûòÿíóòûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ ïðè a > b = c;• ñæàòûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ ïðè a = b > c;• òð¼õîñíûé ýëëèïñîèä ïðè a > b > c.Ãëàâà 7. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.75Âûòÿíóòûé è ñæàòûé ýëëèïñîèäû îáðàçîâàíû âðàùåíèåì â ïðîñòðàíñòâå ýëëèïñàx2z2y=0a2 + c2 = 1,âîêðóã åãî áîëüøîé èëè ìàëîé îñè ñîîòâåòñòâåííî.Óðàâíåíèåy2z2x2a2 + b2 + c2 = −1çàäà¼ò ¾ìíèìûé ýëëèïñîèä¿, íî âåùåñòâåííûõ òî÷åê íåò.Óðàâíåíèåy2x2z2a2 + b2 − c2 = −1çàäà¼ò äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä. Åãî ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè z = z0 ïóñòû ïðè |z0 | < c, òàê ÷òî ïîâåðõíîñòü, êàê è ïëîñêàÿ ãèïåðáîëà, ñîñòîèòèç äâóõ ÷àñòåé, íàçûâàåìûõ ïîëîñòÿìè.
Ïðè |z0 | > c â ñå÷åíèÿõ áóäóòýëëèïñû. Âñå ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè x = x0 è y = y0 ÿâëÿþòñÿ ãèïåðáîëàìè. Ïðè a = b äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä âðàùåíèÿ îáðàçîâàíâðàùåíèåì â ïðîñòðàíñòâå ãèïåðáîëûx2a2−z2c2= −1,y=0âîêðóã å¼ äåéñòâèòåëüíîé îñè Oz . Äîïîëíèòåëüíîå ñæàòèå äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà âðàùåíèÿ âäîëü îäíîé îñè äà¼ò äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä ñ a 6= b. Àíàëîãè÷íî è â äðóãèõ ñëó÷àÿõ íèæå.Óðàâíåíèåy2x2z2a2 + b2 − c2 = 1çàäà¼ò îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä. Âñå ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè z = z0ÿâëÿþòñÿ ýëëèïñàìè, à ïëîñêîñòÿìè x = x0 6= ±a è y = y0 6= ±b ãèïåðáîëàìè, íî ïàðîé ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ â îñòàâøèõñÿ îñîáûõ76Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèñëó÷àÿõ. Ïðè a = b îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä âðàùåíèÿ îáðàçîâàíâðàùåíèåì â ïðîñòðàíñòâå ãèïåðáîëûx2a2z2c2−= 1,y=0âîêðóã å¼ ìíèìîé îñè Oz .
Èíòåðåñíî, ÷òî îí òàêæå îáðàçîâàí âðàùåíèåì ëþáîé èç ïàðû ïðÿìûõx2a2−z2c2yb= 0,=1âîêðóã îñè Oz .Îñòàëüíûå âàðèàíòû ðàññòàíîâêè çíàêîâ â óðàâíåíèè ýòîãî êëàññàñâîäÿòñÿ ê óæå ðàññìîòðåííûì óìíîæåíèåì óðàâíåíèÿ íà −1. Òàêèìæå îáðàçîì ïî÷òè âäâîå ñîêðàùàåòñÿ ïåðå÷åíü òèïîâ â äðóãèõ êëàññàõ.Êëàññ 3. Óðàâíåíèå λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 = 0 ïîïàäàåò â îäèí èç äâóõòèïîâ. Ýòî êîíóñû. Óðàâíåíèåx2a2+y2b2+z2c2=0çàäà¼ò ¾ìíèìûé êîíóñ¿ ñ åäèíñòâåííîé âåùåñòâåííîé òî÷êîé âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò, à óðàâíåíèåx2a2+y2b2−z2c2=0çàäà¼ò êîíóñ. Âñå ñå÷åíèÿ êîíóñà ïëîñêîñòÿìè z = z0 ïðè z0 6= 0 ÿâëÿþòñÿ ýëëèïñàìè, à ïëîñêîñòÿìè x = x0 6= 0 è y = y0 6= 0 ãèïåðáîëàìè. Ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè x = 0 è y = 0 äàþò ïî ïàðå ïåðåñåêàþùèõñÿÃëàâà 7. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.77â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðÿìûõ.
Ïðè a = b êîíóñ îáðàçîâàí âðàùåíèåìïðÿìîéxa−zc= 0,y=0âîêðóã îñè Oz . Êîíóñ ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ïðÿìûõ (åãî ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ), ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç åãî âåðøèíó. Ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé êîíóñà è íå ñîäåðæàùàÿ å¼,ïåðåñåêàåò êîíóñ ïî ïàðàáîëå.Ïîëåçíî ðàññìîòðåòü êîíóñ ñîâìåñòíî ñ äâóìÿ ãèïåðáîëîèäàìèx2a2+y2b2−z2c2= ±1.Ýòó ñèòóàöèþ îïèñûâàþò ñëîâàìè: äàííûé êîíóñ ÿâëÿåòñÿ÷åñêèì êîíóñîì îáîèõ äàííûõ ãèïåðáîëîèäîâ.àñèìïòîòè- êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ íàéäèòå ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùóþ ãèïåðáîëîèä ïî ïàðàáîëå.Êëàññ 3−. Óðàâíåíèå λ1 x2 + λ2 y 2 + 2pz = 0 ïîïàäàåò â îäèí èçäâóõ òèïîâ.
Ýòî ïàðàáîëîèäû. Óðàâíåíèåx2a2+y2b2=zçàäà¼ò ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè z = z0 > 0ÿâëÿþòñÿ ýëëèïñàìè, à ïëîñêîñòÿìè x = x0 è y = y0 ïàðàáîëàìè.78Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÏðè a = b ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ îáðàçîâàí âðàùåíèåì ïàðàáîëûx2a2= z,y=0âîêðóã å¼ îñè Oz . Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä òàêæå îáðàçîâàí ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì ýòîé ïàðàáîëû òàê, ÷òî å¼ âåðøèíà äâèæåòñÿâäîëü ïàðàáîëûy2b2= z,x = 0.Óðàâíåíèåx2a2−y2b2=zçàäà¼ò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
