1611141305-7f1143a6985669faf6b24b542f487874 (824998), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òîãäàij = (−1)A−1 = (det A)−1 A∨ . ñàìîì äåëå, ÷òîáû ïðîâåðèòü, ÷òî AA∨ = E det A, âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå AA∨ . Åãî ýëåìåíò â ñòðîêå i è ñòîëáöå k ðàâåíXXaij a∨(−1)k+j aij Mkj (A).jk =16j6n16j6nÒóò ìû âèäèì â òî÷íîñòè ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû ðàñêðûòèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî k -é ñòðîêå, ïðèìåíåííóþ ê ìàòðèöå, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîéñòðîêè k íà êîïèþ ñòðîêè i.
Ïðè i = k ýòî áóäåò ñàìà ìàòðèöà A èâûðàæåíèå ñâîðà÷èâàåòñÿ â det A. Ïðè i 6= k âûðàæåíèå ñâîðà÷èâàåòñÿ â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè i è k ; îíðàâåí íóëþ ïî ñâîéñòâó (D6).Òåïåðü ìû ìîæåì ïîëó÷èòü èçâåñòíîå åù¼ Ëåéáíèöó, õîòÿ ðåäêîýôôåêòèâíîå íà ïðàêòèêå óæå ïðè n > 3, ¾ïðàâèëî Êðàìåðà¿ äëÿðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé è íåâûðîæäåííîéîñíîâíîé ìàòðèöåé.Ñëåäñòâèå. Åñëè det A 6= 0, òî ñèñòåìà AX = B ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèñè, îíà æå â ôîðìåA(1) x1 + .
. . + A(n) xn = Bëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåX = [x̂1 , . . . , x̂n ]> ,x̂j = Dj / det A,a Dj åñòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîé ñòîëáöà A(j) íà ñòîëáåö B.Ãëàâà 6. Îïðåäåëèòåëèâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.67Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó îñíîâíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû íåâûðîæäåíà, åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ äîêàçàíà ðàíåå è åãî ìîæíî íàéòè, âû÷èñëèâ X = A−1 B .
Èñïîëüçóÿ ìàòðèöó A∨ , ïîëó÷àåìXX−1x̂j = (det A)−1a∨(−1)i+j bi Mij (A).ji bi = (det A)16i6n16i6nÐàñêðûâ îïðåäåëèòåëü Dj ïî ñòîëáöó j , ëèöåçðååì ýòó æå ñóììó.Îïðåäåëåíèå.6.4.Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàìÐàíãîì ïî ìèíîðàì ïðîèçâîëüíîé (íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíîé) ìàòðèöû A íàçûâàþò íàèáîëüøèé ïîðÿäîê rkì A å¼ ìèíîðà ñîòëè÷íûì îò íóëÿ çíà÷åíèåì.Ðàíã âñÿêîé ìàòðèöû A ïî ìèíîðàì ñîâïàäàåò ñ å¼ ðàíãîìïî ñòðîêàì/ñòîëáöàì.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ìàòðèöû A âûáåðåìrk A ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ0Òåîðåìà.ñòðîê è ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó A . Èç íå¼ âûáåðåì rk A ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ è ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó A00 . Îíà íåâûðîæäåíàè ÿâëÿåòñÿ ìèíîðîì èñõîäíîé ìàòðèöû. Ïîýòîìó rk A 6 rkì A.Íàéä¼ì â A ìèíîð íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ çíà÷åíèåì.
Åãî ñòðîêè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à òîãäà ñòðîêè ñàìîé ìàòðèöû,åãî ñîäåðæàùèå, òîæå íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó rk A > rkì A.Îïðåäåëåíèå.Îêàéìëÿþùèì ìèíîðîì äàííîãî ìèíîðà M ìàòðèöû Aíàçûâàþò êàæäûé ìèíîð M̃ , âû÷¼ðêèâàíèå èç êîòîðîãî îäíîé êðàéíåéñòðîêè è îäíîãî êðàéíåãî ñòîëáöà äà¼ò M .Òåîðåìà.
Ðàíã A ïî ìèíîðàì ðàâåí òàêîìó ÷èñëó r , ÷òî ó A èìååòñÿ ìèíîð M ïîðÿäêà r ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ çíà÷åíèåì, à çíà÷åíèÿâñåõ ìèíîðîâ A, îêàéìëÿþùèõ M , íóëåâûå.Äîêàçàòåëüñòâî. Óäàëåíî çà íåíàäîáíîñòüþ.Ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû ïîøàãîâûì ïåðåõîäîì îò óæåíàéäåííîãî íåíóëåâîãî ìèíîðà ê îêàéìëÿþùåìó íàçûâàþò ìåòîäîìîêàéìëÿþùèõ ìèíîðîâ. Îí îñîáåííî óäîáåí â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîìèìî ðàíãà íóæíî óçíàòü, êàêèå èìåííî ñòðîêè è/èëè ñòîëáöû ëèíåéíîíåçàâèñèìû.68Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÃëàâà 7. ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÛÅ ÔÎÐÌÛ7.1.Áèëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ýòîé ãëàâå ìû áóäåì èçó÷àòü âûðàæåíèÿf (X, Y ) = X >A Y,q(X) = f (X, X) = X >A Xñî ñòîëáöàìè X = [x1 , .
. . , xn ]> è Y = [y1 , . . . , yn ]> èç Rn â êà÷åñòâåíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ è c n × n ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ A = [aij ].Ðàñêðûâ ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷èìXf (X, Y ) = X >A Y =aij xi yj .16i,j6nÍåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîf (α1 X (1) + α2 X (2) , Y ) = α1 f (X (1) , Y ) + α2 f (X (2) , Y ),f (X, β1 Y (1) + β2 Y (2) ) = β1 f (X, Y (1) ) + β2 f (X, Y (2) ).Òàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíîé, êàê íàïîìèíàåò íàø ïåðâûéÏðèìåð. Ñòàíäàðòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà R3, âû÷èñëÿåìîå ïîêîîðäèíàòàì â ñòàíäàðòíîì ÎÍÁ ïî ïðàâèëóX > Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .Çäåñü ìàòðèöû A ÿâíî íå âèäíî: îíà åäèíè÷íàÿ, à X >E Y = X > Y .Ïðåæäå â ìàòåìàòèêå øèðîêî óïîòðåáëÿëîñü ñëîâî ¾ôîðìà¿; â ýòîéòåìàòèêå îíî âûæèëî è ìû áóäåì íàçûâàòü f (X, Y ) áèëèíåéíîé ôîðìîé,à q(X) êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.Ïðèìåð.
Èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç êâàäðàòè÷íóþ ôîðìóq(X) = x20 − x21 − x22 − x23 .Äëÿ âñÿêîé áèëèíåéíîé ôóíêöèè f (X, Y ) ñòîëáöîâíàéä¼òñÿ òàêàÿ ìàòðèöà A, ÷òî f (X, Y ) = X >A Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæèì ñòîëáöû ïî ñòàíäàðòîìó áàçèñó:Óòâåðæäåíèå.X=X16i6nxi E (i) ,Y =X16j6nyj E (j) .Ãëàâà 7. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.69Ââèäó áèëèíåéíîñòè, êàê è â ñëó÷àå îáû÷íîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, f (X, Y ) âûðàçèòñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû è çíà÷åíèÿ f (E (i) , E (j) ): XXf (X, Y ) = fxi E (i) ,yj E (j)16i6n=X16j6nxi f E (i) ,16i6n=XXyj E (j)16j6nxi yj f (E(i), E (j) ).16i,j6nÈñêîìóþ ìàòðèöó A íóæíî ñîñòàâèòü èç aij = f (E (i) , E (j) ).Îïðåäåëåíèå.
Áèëèíåéíàÿ ôîðìà f íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëèf (X, Y ) = f (Y, X)äëÿ âñåõ ñòîëáöîâ X , Y .Áèëèíåéíàÿ ôîðìà ñèììåòðè÷íà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñèììåòðè÷íà å¼ ìàòðèöà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâëÿÿ ñòîëáöû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà â àðãóÓòâåðæäåíèå.ìåíòû ñèììåòðè÷íîé ôîðìû, ïîëó÷èì ñèììåòðè÷íîñòü å¼ ìàòðèöû.Íàîáîðîò, åñëè A> = A, òîf (X, Y )> = (X >A Y )> = Y >A> X = Y >A X = f (Y, X).Íî f (X, Y ) åñòü íå ÷óâñòâóþùèé òðàíñïîíèðîâàíèÿ ñêàëÿð.Âñÿêàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà çàäà¼òñÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüì¼ì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó> q(X) = X >A X ñ ïðîÓòâåðæäåíèå.èçâîëüíîé ìàòðèöåé è ïðîâåðèì, ÷òî q(X) = X B X ñ ñèììåòðè÷íîéìàòðèöåé B = 12 (A + A> ).Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì è èçó÷åíèå ñèììåòðè÷íûõ áèëèíåéíûõ ôîðì ýòî ïðàêòè÷åñêè îäíî è òî æå.7.2.Êàíîíè÷åñêèé âèä ñèììåòðè÷íîé ôîðìûÑòàíäàðòíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñòîëáöîâ ìîæåò áûòü íåóäîáíûìäëÿ ðàáîòû ñ êîíêðåòíîé áèëèíåéíîé èëè êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé.
Ïðèìåð òåñíî ñâÿçàííîãî ÿâëåíèÿ ìû âèäåëè, çàíèìàÿñü ïðèâåäåíèåì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.70Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèÏðè ñìåíå áàçèñà ìàòðèöà ïåðåõîäà S ñâÿçûâàåò ñòîëáöû ñòàðûõ èíîâûõ êîîðäèíàò ñîîòíîøåíèÿìè X = SX 0 è Y = S Y 0 . Ïîäñòàâëÿÿ ýòèâûðàæåíèÿ â áèëèíåéíóþ ôîðìó îò ñòàðûõ ïåðåìåííûõ, ìû ïîëó÷èìáèëèíåéíóþ ôîðìó îò íîâûõ ïåðåìåííûõ. Ñðàâíèâàÿ çàïèñè â äâóõáàçèñàõ:X >A Y = (SX 0 )>A (S Y ) = (X 0 )> S >A S Y 0 = (X 0 )>A0 Y 0 ,ïðèõîäèì ê çàêîíó èçìåíåíèÿ ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû:A0 = S >A S.Òàêîâ æå çàêîí èçìåíåíèÿ ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.Îïðåäåëåíèå. Òàêóþ ïàðó ìàòðèö A è A0 íàçûâàþò êîíãðóýíòíûìè.Ñëåäñòâèå. Ðàíãè êîíãðóýíòíûõ ìàòðèö ðàâíû.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ìàòðèöà ïåðåõîäà âñåãäà îáðàòèìà è óìíîæåíèå íàíå¼ íå ìåíÿåò ðàíã.Îïðåäåëåíèå. Ïàðó áèëèíåéíûõ ôîðì, ïîëó÷àåìûõ îäíà èç äðóãîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ, íàçûâàþòýêâèâàëåíòíûìè. ïîñëåäóþùåì ïîëåçíî èçìåíèòü òî÷êó çðåíèÿ è ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûå áèëèíåéíûå ôîðìû ðàçíûìèîäíîé è òîé æå ôóíêöèèïàðû âåêòîðîâ, ïîëó÷àþùèìèñÿ ïðè âûáîðå ðàçíûõ áàçèñîâ â Rn .âèäàìèÎïðåäåëåíèå.Åñëè ìàòðèöà A ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôîðìû f âêàêîì-òî áàçèñå B äèàãîíàëüíà, òî B íàçûâàþò êàíîíè÷åñêèì áàçèñîìäëÿ f è ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì áàçèñå f èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä.Íà ïðàêòèêå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïðèâîäÿò ê êàíîíè÷åñêîìó âèäóïîî÷åð¼äíûì èçáàâëåíèåì îò íåäèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ (i 6= j ):XXaij xi xjci x2i .16i,j6n16i6rØàã 1: åñëè êàíîíè÷åñêèé âèä åù¼ íå ïîëó÷åí, íàéòè òàêóþ ïàðóèíäåêñîâ i < j , ÷òî aij 6= 0.Øàã 2: åñëè aii 6= 0, ïðûãíóòü íà øàã 4.Øàã 3: ñäåëàòü çàìåíû xi = x0i + x0j è xj = x0i − x0j , çàòåì ñòåðåòüøòðèõè (÷òîáû øòðèõè íå íàêàïëèâàëèñü).Øàã 4: òåïåðü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà èìååò âèäf = ax2i + 2azxi + g = a(xi + z)2 − az 2 + g,ïðè÷¼ì a 6= 0, à z è g íå çàâèñÿò îò xi ; ïîäñòàâèòü xi = x0i − z ,çàòåì ñòåðåòü øòðèõè è ïîâòîðèòü øàã 1.Ãëàâà 7.
Êâàäðàòè÷íûå ôîðìûâåðñèÿ îò 9 ÿíâàðÿ 2010 ã.71 îñíîâå ìåòîäà âûäåëåíèå ïîëíûõ êâàäðàòîâ íà øàãå 4, à âîçíèêàþùåå ïðåïÿòñòâèå îáõîäèòñÿ íà øàãå 3. ×òîáû â èòîãå ïîëó÷èòü íåòîëüêî êàíîíè÷åñêèé âèä ôîðìû, íî è ñîîòâåòñòâóþùèé åé êàíîíè÷åñêèé áàçèñ, ê ýòîìó ðåöåïòó íóæíî äîáàâèòü åù¼ íåñëîæíîå ñðåäñòâîîòñëåæèâàíèÿ âñåõ ïðîèçâåä¼ííûõ çàìåí.Äëÿ âñÿêîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàéä¼òñÿ êàíîíè÷åñêèé áàçèñ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåòîä âûäåëåíèÿ êâàäðàòîâ.Òåîðåìà (Lagrange).7.3.Âåùåñòâåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìûÑëåäñòâèå. Äëÿ âñÿêîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q ðàíãà r íà ïðîñòðàíñòâå Fn, ãäå F = R èëè C, íàéä¼òñÿ áàçèñ, â êîòîðîìq(x) = c1 x21 + . . . + cr x2r ,ãäå ci ∈ F× = F r {0}. ñëó÷àå F = C êàæäàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèâîäèòñÿ ê ñóììåêâàäðàòîâ, ïîñêîëüêó äîëæíîé çàìåíîé âñå êîíñòàíòû ci óïðÿòûâàþòñÿ âíóòðü xi .
Ñëó÷àé F = R ñëîæíåå: íåëüçÿ èçáàâèòüñÿ îò ìèíóñîâ.Äëÿ âñÿêîé âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q íàéä¼òñÿ áàçèñ, â êîòîðîì îíà ïðèíèìàåò íîðìàëüíûé âèäÑëåäñòâèå.q(x) = x21 + . . . + x2p − x2p+1 − . . . − x2r .×èñëà p è r, îïðåäåëÿþùèå íîðìàëüíûéâèä âåùåñòâåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû q, çàâèñÿò òîëüêî îò q, íîíå îò âûáîðà áàçèñà, ïðèâîäÿùåãî å¼ ê íîðìàëüíîìó âèäó.Îïðåäåëåíèå. Âîçíèêàþùèå èíâàðèàíòû èìåþò îñîáûå íàçâàíèÿ:Òåîðåìà (çàêîí èíåðöèè).rpr−p2p − rÈíäåêñ èíåðöèèÏîëîæèòåëüíûéÎòðèöàòåëüíûé(ðàíã)èíäåêñ èíåðöèèèíäåêñ èíåðöèèÑèãíàòóða×àñòî ñèãíàòóðîé òàêæå íàçûâàþò ïàðó (p, r − p), ÷òî èíôîðìàòèâíåå.Îïðåäåëåíèå.  ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû íàçâàíèÿnâàæíûõ ñïå-öèàëüíûõ òèïîâ âåùåñòâåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì íà R ñ êðàéíèìèçíà÷åíèÿìè èíäåêñîâ.  íîðìàëüíîì âèäå òàêèõ ôîðì àïðèîðíîå ðàçíîîáðàçèå {−1, 0, 1} êîýôôèöèåíòîâ åù¼ áîëåå îãðàíè÷åíî.72Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèèr=np=nr−p=nr−p=0p=0ÍåâûðîæäåííîéÏîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîéÎòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîéÍåîòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåë¼ííîéÍåïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåë¼ííîéx 6= 0 =⇒ q(x) > 0x 6= 0 =⇒ q(x) < 0q(x) > 0q(x) 6 0Äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà èíåðöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
