1610915390-52cbd25d82d9110658c00fb8dfb6bccc (824753), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ц,/х — соа(х+ Ц+соа2; 2) !п[х[+3/х+4; 3) х[х[/2+6. 2. Ц хе/3 — хз/3 — хе+С; 2) хе/5 — 2хг/3+х+С; 3) — —, — — +21п[х[+С: 4) — х ~/х — — хе/т+29/к+С; 4 4 2 г 2 хг х 5 3 ) 8 хая/хг + С. 6) 1 прс!8 15 ' иг7 а/7 7) !п + С; 8) — 1п х+1/х' — — + С;! 1 хи/3 — Л 1 Г 8 2а/15 ха/3 ч- и/5 и/7 1/ 7 з 9) 1п(х+ ~/та+ 13) + С; 10) 16х — —, ~/4хл+ †./2хг — — + С; гх х 1Ц асса!п — + 2!п(х+ ъ'4+хг) + С; 12) + С; 5х 1п 5 2х!и 2 6~/3 х — ъгЗ Зт 15) х/2 — (япх)/2+С; 16) — сс8х — х+С; 17) х — !ах+С; 18) х — с1!г х + С. 3.
Ц Неверно; 2) верно; 3) неверно. 5. Указание. См. [1, задачу 13.173), о = 2. [т[ „(1+х)[1+х[ (1 — х)[1 — х[ 3 о'х ) -(2/3)хз + (7/2)тг — 6х + С, если х < 2, '[ (2/3)хг — (7/2)хг + 6х — 20/3 + С, если х > 2, 4) .( ) ,[ — е х + 2 + С, если т < О, [ах+С, если х>О; 5) Р( ) — [ [ с!г т. — 1+ С., если т > О; [ х — хз/3+ С, если [х[ < 1, [ х — х[х[/2+ (1/6) я8пх+ С, если [х[ > 1; ) хч-С, если [х[< 1, '[ (хз + 2я8пт)/3+ С, если [т[ > 1; 8) ([х)/л)([х) — ( — Ц!*! соахх) -!- С.
ах 7. Ц вЂ” е' + С; 2) — — соз(ах + 5) -!- С; а а 41. Общие приемы и методы) интегрирования 3) -',3))е:!)34-'с)4*- 1г 4с: 4) — (5хв + 6х' + 8х + 16) /х — 1 + С; 35 5) — зггГх+1)г — 34бх+1+3!и~1+ ъз х+ Ц+ С 6) 2н))х — 4фх+4!П(1+ 4))х)+С: 7) 1п,, +С; ! Ухт-р1)9 13. Ц вЂ” — е г + С 2) — егг +гх '+ С' 3) х — — !П(1+ ея')+ С' 1 2 1 2 . ! 2 2 3 4) — х — + 2!П(1+ /ег) + С; 5) 2е'г+ С; 6) агся!п — + С; 2 ее 3)СЕ* 7) 2агст8~Ге» вЂ” 1+С = — 2 агсяпе 72+ Сг, 8) — !П(евг + н))еее + 1) + С:, 9) " + С; 2 ' 1п2 19) -,')))4+ее)' — -,','))34.')' ° С; Щ 1.)11 '-,)+С; 12) 2агс!8ее+ С; 13) — (с!) гх — !П(1+ с!) гх)) + С; 14) — 1!) Ях — — !!2 ах + С.
3 14. 1) — 1пвх+ С; 2) !23~ !и !их~ + С; 3 3) 1пх — 1п2. !п ~ 1пх+ 2!П2~+ С; 4) — — !п~ + С; 5) — (!Пх — 2)3/Г+1пх+ С; 4 1 — х ' 3 6) — 1 — 41пх — 1п х — 2 агсяп !и х -)- 2 + С. Л 15. 1) — вш х+ С; 2) — !21(1+ соя т) + С; 3) — яп — + С; 7 1 7 х 4) 1п~ ешти+ С; 5) 1и~тд(х,)2+ п,)4)~+ С; 6) агс!д ~ + С, )х) < †; 7) -2 соя т)х + С; 2и)3 3/3 8) 2~ — яш х — — вш х+ — ~йя!г)) х+ С; 1,11 7 3) 9) — ) 1* — 2сагг 4 й 19) — 'г4 2 . 4 с; 11) — — 1п ~и)2 соя х+ 3))сов 2х~ + С; 12) — агся)и(и'2 вш т) + С; 1 1 иг2 иГ2 13) — С334 49 %4 С; 14) /2% — 14С; 15) 4 4/ссд'х+ С:, 3 13) — 1)24.
' *44 *41)4С; 17) вш 1п х + С; 18) — !г)~ 18 х + С; 19) е я" + 1п ~18 х ~ + С; 1 20) 2аГСГ834)Е3)п — 1+ С = — 2атеяИЕ )3)™4'г -)- СГ. Гл. 1. Неапределенньй интеграл 16. Ц 1п ~ агсвшх~ + С; 2) — агся3пв/г х+ С; 3) — — агссоял 2х+ С; 4) — — 1п агссовх+ С; 5) — агс18 х+ С; 6) — — агссн8 Н х+ С; 3 ... л я 7) 1агс18,/х)е+ С; 8) агс18еее+ С. 17. Ц вЂ” е г1х+ Ц+ С; 2) ' ., + С; 3) хс1гх — в1гх+ С; 2 1а! 1п2 — Ц 1пе 2 4) — *12!ггх-Ц+С: 5) х 1п1х+,/хе+4) —,!хе+4+С 1 6) — ' 1п 1+ — — — 1п ~х+ 1~+ — + С; 2 х 2 2 оп г 1 1 7) — (!их — — ) + С, если о ~ — 1, — 1п х + С, если о = — 1; 2,, о+1 о+1 ' 2 8) ( — ' — х' + Зх+ — ) 1п(х+ Ц вЂ” — + — хи — — х+ С.
гх! 135 хг 2 ! 13 ~3 3 / 9 3 3 18. Ц вЂ” (агс18х — ' „) + С; 2) — (агг!18 — ' + *., ) + С. 19. Ц вЂ”, вш(5х — 7) + — соя(5х — 7) + С; а 25 х х . 1 2) — — — я1п2х — — сов2х+С; 3) х18х+1гг~соях~+С; 4 4 8 т 1 хг х 4) — '182х+ — 1п ~ соя 2х~ — — + С: 5) — хс18 — + С; 2 4 2 2 6) 1п 18 — — соях. 1пт8х+ С. 2 20. Ц хагс58х — — 1п11+ хе) + С; 2 2) — !(г* — г! (г е — 2) — ' — 25* -~ 20 — 3) + а, 5 3) х+(х +1)а 8х +С,1) ' агг,ягп2х+ 2х +1.„/1 4хе+С 7) 11+ х)агс18,/х — г/х+ С; 8) — х — т/1 — хе агссоях+ С: 9) — 13 — хг) — — 11 — х~)Я/е агсвш х + С; 9 3 10) 4г/2+ х — 2~(2 — х агсяш(х/2) + С. 71 х х 3) ( — — — ') сов 2х+ — яш2х+ С; !4 2) 2 4) 1хв — х + 3)яЬх — 12х — Цс1гх+ С; 5) (хл — 10хг + 2Ц я1п х + 4х(хе — 5) сов х 4- С; ( я 4хг 24х 1 соя 5х 1' л 12х 24 ) еш5х 5 125 / 5 1 25 625 / 5 23.
Ц х(1п~ х — 2 1п х + 2) + С; 2) — — х Я/в1 — 1п х 4-3 1пх+ 21 + С; 27 (4 46 Общие приемы и метода интегрирования 3) — — ~1п х+ — 1п т+ — 1пх+ — у! + С; 3 я 3 З1 2х ~ 2 2 4) 4) х !па(х+ Я +ха) — 2Д+:та 1п(х+ Д+ ха) + 2х+ С; 5) т ассяш~ х + 2~(1 — хг атея)п х — 2х + С; 6) асс!8 х — х асс!8 х + — 1п(х + 1) + С. +1..
2 1 я 2 2 24. Ц вЂ” ~/т,~ + а + — 1п ~х + еУх' + а~ + С; 2) ъ'та + ае — — 1п(х + ъ~аа + хг) + С; 8 8 3) а яеп Ьх — 6 соя Ьх „г ) а сов Ь:г -!- 6 яш Ьх а- -1- е" +С; 4 ',; е' +С; а + г Я!па+(!п3)совх г С. Ягп2х Ьсов2т гг С. гу 3+С; 6) 1+ 1пг 3 13нГ2 едпхвЬх — сояхсЬх ) адп2х — соя2х — 2 2 8 а' + 4Ьг — а ' соя 26х — 2аЬ вш 2Ьх 2а(аг + 46г) С. 2 е*+ С; (х — 1) сдпх -!- (х — Ц соя х е'+С; (4 — 10х) в!п2х — 16х+ 3) сов 2х+ 2ог(х — 1) е* -1- С; 50 1адп !их — сов !их)х, (яш 1п х я- соя 1пх)х 16) 13я1п!пх — сов1пх)х С 16я х — ~/1 — х агссоге +! ;) + 25.
1) Уп = — хие'* — —,У„е ! 2) Ун = х 1пи х — и,Ун а о, о4-1 а-!-1 и соя х в!п" х и — 1 я!п х сояи х и — 1 7) у сЬхвЬ х и — 1 у у вЬхсЬ х 'п — 1 у и и (гг — 1)ипи 'х и — 1 26. 1) — (тв + 8х' + 8. 7те + 8 7 6тв + ... + 8! х + 8!)е ' + С; 2) (1и х — 4 1п х + 12 1п х — 24 1п х -1- 24)х -1- С; Гл. Ь Неопределенный интеграл з 3 а 3 3 1 х' 3) (1п' х — — 1п х+ — 1пх — — ) — + С; 4 8 32) 4 4) — (( — хв — 30хв + 405х) н/ха + 9 — 3645 1п(х+ ах~в + 5)) + С; 3 сове х -> 4 сонг х -1- 8 о1 вшх+ С; 15 8 вш'х+10 в1п'х+15 . 5х яп2х+ — + С; 96 16 7) сов .: 3 сов . 3 1 4 вшах 8 в1п'х 8 2 вЬх 5вЬа 5вЬх 5 8), + 4 + + -агс18е*+С. бсЬах 24сЬ4х 16сЬгх 27.
1) — — 1хв + 1)е е + С; 2) 2(~/х — 1)е'/ ' + С; 3) 21хв/в — 5хв + 20хв/в — 60х + 120хг/г — 120)е ' + С; 4) (1и 1п х — 1) 1п т + С; 5) ъ'ха + 1 1п — — 1п + С; е х 6) 2~/х+ Ц1п(хв — Ц вЂ” 4) — 4;/2!п ' + С; 7) 212 — х) сов;/х + 4 н/хс Яп н/х + С; 8) — + — яп(2.„гх) + — сов(2н/х) + С: х н/х 1 2 2 4 9) — ' 15 + сов(2 1п х) + 2 яп12 1п х) ) + С: 10 10) — 1х+ с18х .
1п1е япх)) + С; х — 2 11) в1пх1п11-~-япвх) — 2 япх+ 2агсг8 япх+ С; 12) е*+ С х -> 2 28. Ц вЂ” хаагс18 ха — — 1п11 + хл) + С; 2 4 1 2) — х + — 1п11 + е~') — е, *агс18 ее + С; 2 1 .. х~ 1 3) — — 1я8п х) ъ/хг — 1 + — агссов — + С; 2 2 х 4) 2~/х+ 1агс18 н/х — 2 )гг(~/х+,/х+ 1) + С: 5) х агсяп. — нгх+агс18н/к+С: Ч х-~1 6) — 2я8п11 — х),/и+ 11+ х) агсяп + С. 2 г/х 1 -1- х 29. /гх) = 2 " + С. 30 /г ) — + 1+ С, если * ( О, ) е' + С, если х > О.
31. /)х) = С вЂ” хв/2, дух) = в|ах — х'/2 — С. 3 2 1 ) / ( ) х 1 С ( ) 1: ., 2 + С,, с . и .. > 0 2 ' 1х/2 — хе+С, если х > О; х сове г — + — С, еслих>0, 2) у(х) х сове +С / ) 12 2 — — + 1 — С, если х > 0 12 2 42. Интегрирование рационалиних фрннниа 2 2. Интегрирование рациональных функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Интегрирование элементарных дробей. Каждан рациональная функция на каждом промежутке, принадлежащем се области определения, представима в видо суммы многочлена и элементарных рациональных дробей (сьь ~1, 2 6)) А Мх+Аг з 1х — а)п ' 1хе+рхн 4)н ' р' — 44 < О. Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к разложению рациональной функции на элементарные дроби и к интегрированию элементарных дробей и многочленов. Интегрирование элегнентарных дробей производится следующим образом: 1) / = А 1п ~х — а~ + С; (х — а)" (о — 1Пх — а)н 2 2 (х ж р/2)е ж д — р'/4 ЛХ = — 1п(х +рх+гХ)+ агстй +С; Аг — АХр/2 х -ь р/2 ,( д — ре/4 Мх+ г1 (хе + рх + 4) о М / (2х+р) Ах / Мр~, /' Ах 2,/ (хе+рх+гХ)и 1, 2 /,/ (хг-~-рх+4)н М(х +рх+4)' " / ЛХр'з / гЬ 2 1 — и 1, 2 // Пх 4-р/2)г -~-4 — ре/4)н' Последний интеграл линейной подстановкой Х = х +р/2 приводится к интегралу Х„, для которого в примере 17 из 2 1 получена рекуррентная формула.
Из формул 1) 4) следует, что интеграл от элементарной дроби выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Поэтому неопределенный интеграл от любой рациональной функции на всяком промежутке, принадлежащем ее области определения, является элементарной функцией., представимой в виде алгебраической суммы композиций рациональных функций, логарифмов и арктангенсов. 2. Метод Остроградского. Если знаменатель правильной рациональной дроби Р(х)/Х„г(х) имеет кратные корни, особенно комплекс- Гл. 1. Неелределеиннй интеграл пые, то интегрирование такой дроби обычно связано с громоздкими выкладками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
