1610912307-9f7772a343c0215dd287111d82495c07 (824696)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Числовые рядыОпределение сходящегося ряда. Если последовательность Sn =∞∑дел lim Sn = S, то рядn→∞n∑ak имеет конечный пре-k=1an называется сходящимся, а S – сумма ряда.n=1Определение расходящегося ряда. Ряд∞∑an называется расходящимся, если последова-n=1тельность частичных сумм {Sn } расходится.∞∑Критерий Коши сходимости ряда. Рядan сходится ⇐⇒ последовательность частичныхn=1сумм {Sn } является фундаментальной, т.е. ∀ε > 0 ∃Nε ∀n > Nε ∀p ∈ N : |Sn+p − Sn | = |an+1 +an+2 + .

. . + an+p | < ε. Если выполнено отрицательное условие Коши, т.е. ∃ε > 0 ∀N > 0 ∃n > N∃p : |Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + . . . + an+p | ≥ ε, то ряд расходится.∞∑Необходимый признак сходимости ряда. Если рядan сходится, то lim an = 0. Еслиlim an ̸= 0, то рядn→∞∞∑n→∞n=1an расходится. Легко видеть, что этот признак следует из критерияn=1Коши.Остаток ряда есть rn =∞∑lim rn = 0, то рядn→∞∞∑ak .

Если {rn } – бесконечно малая последовательность, т.е.k=n+1an сходится. Легко видеть, что rn = lim (Sn+p − Sn ).p→∞n=1Числовые ряды c неотрицательными членамиПризнак сравнения. Рядan ≤ bn , где∞∑∞∑an , an ≥ 0, сходится, если ∃n0 ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1bn – сходящийся ряд. Если ряд∞∑an расходится, то и расходится рядbn .n=1n=1n=1∞∑∞∞∑∑bnПризнак сравнения в предельной форме.

Если ∃ lim abnn =an и̸ 0, то рядыn→∞n=1n=1сходятся или расходятся одновременно.∞∑αan сходится. Если an > constЗамечание. Если an < constили∃liman≠0,α>1,торядnnαnαn→∞или ∃ lim an n ̸= 0, α < 1, то рядαn→∞∞∑an расходится.n=1Признак Даламбера. Если для рядаan+1an≤ q, то рядn=1∞∑an ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1∞∑an сходится.

Если ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 :n=1an+1anПризнак Даламбера в предельной форме. Если ∃ lim∞∑Если λ > 1, то рядan+1n→∞ anПризнак Коши. Если для рядаan ≤ q, то ряд∞∑an сходится. Если ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 :n=1Признак Коши в предельной форме. Если ∃ limЕсли λ > 1, то ряд∞∑an расходится.n=1= λ < 1, то ряд∞∑an сходится.n=1an ∃q ∈ (0, 1) ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 выполнено неравенствоn=1∞∑∞∑an расходится.n=1√n≥ 1, то рядn→∞∞∑√n a ≥ 1, то рядan расходится.n√nn=1an = λ < 1, то ряд∞∑an сходится.n=1an расходится.n=1Прореживающий признак Коши. Пусть {an } – невозрастающая последовательность поло∞∑жительных чисел: a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . .

. ≥ 0. Рядan сходится тогда и только тогда, когдаn=1сходится ряд∞∑2k a2k .k=0Интегральный признак Коши. Пусть функция f = f (x) монотонно стремится к нулю∞∫ +∞∑при x → +∞. Тогда рядf (n) сходится ⇐⇒ конечен интеграл A f (x) dx, A > 0. Например∞∑n=11,n lnα nn=21−α1(ln A)α−1α > 1, – сходящийся ряд, т.к.∫ +∞A1dxx lnα x=∫ +∞Ad ln xlnα x=1(ln x)1−α |+∞x=A1−α=< ∞, при A > 1.Абсолютно и условно сходящиеся ряды∞∑Определение абсолютно сходящегося ряда. Рядan сходится абсолютно, если сходитсяn=1∞∑ряд|an |.

К абсолютно сходящимся и абсолютно расходящимся рядам применяются те жеn=1признаки, что и к рядам с неотрицательными членами.∞∞∑∑an схоan сходится условно, если рядОпределение условно сходящегося ряда. Ряддится, а ряд∞∑n=1n=1|an | расходится.n=1Признак Лейбница. Если {an } – монотонно убывающая последовательность, сходящаяся∞∑(−1)n−1 an сходится. Причемк нулю, т.е. 0 ≤ an+1 ≤ an , ∀n ∈ N и lim an = 0, то рядn→∞|S − Sn | ≤ an+1 .Признак Дирихле. Ряд∞∑n=1an bn сходится, если частичные суммы Bn ряда∞∑bn ограничены,n=1n=1т.е. ∃M > 0, ∀n ∈ N : |Bn | < M , а последовательность {an } монотонно стремится к нулю.∞∑an bn сходится, если {an } – монотонная и ограниченная последоваПризнак Абеля. Рядтельность, а ряд∞∑n=1bn сходится.n=1Теорема Римана.

Если рядпереставить члены рядаТеорема. Если ряд∞∑∞∑∞∑an сходится условно, то каким бы не было число A, можно такn=1an , что сумма полученного ряда будет равна A.n=1an сходится абсолютно, то ряды∞∑n=1n=1∞∑(an + bn ) иbn одновременно либоn=1абсолютно сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся.Тригонометрические рядыУтверждение.

Тригонометрические ряды∞∑n=1an sin nα, α ∈ R, и∞∑an cos nα, α ̸= 2πm, m ∈ Z,n=1сходятся, если последовательность {an } монотонно стремится к нулю.Справедливы формулыn∑sin nαsin (n+1)α22,sin kα =αsin2k=1n∑cos (n+1)αsin nα22cos kα =при α ̸= 2πm, m ∈ Z;αsin2k=1sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α−sin2 α = 2 cos2 α−1 = 1−2 sin2 α, sin 3α = 3 sin α−4 sin3 α;cos 3α = 4 cos3 α−3 cos α; sin(α±β) = sin α cos β ±cos α sin β; cos(α±β) = cos α cos β ∓sin α sin β;α±βα∓βα+βα−βsin α ± sin β = 2 sincos; cos α + cos β = 2 coscos;2222β−αα+βcos α − cos β = 2 sinsin.22.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги