1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 75
Текст из файла (страница 75)
1) Эллипс — + = 1; 0'( — 3, — 1), Е~ ) —, — ~, Еэ) — —, 2 173 ' ' 1,~(5 ъ'5 ) 1, э'5 2 1 Х~ /1 21 у'5 ( — (; 2) гипербола — У~ = 1; О'( — 1, 1), Е~ ) —, — — ), Еэ 12/э~5, 1/~о); 3) парабола У~ = Х15; О' (6/25, — 8/25), / 4 31 /3 41 Хэ Уз Е~ ~ — —, — — (, Еэ ~ —, — — ); 4) эллипс — + = 1; 0'( — 1, — 1), 5' 5(' 1,5' 5)' 2 213 Х У~ Е~ ) —, — ), Ез ) — —, — (; 5) гипербола — — — = 1; О' ( — 1, 1, т'2 э 2) ~, э'2 ч'2( 4 4 — 2), Е~ (1/э'2, 1)ч'2), Еэ ( — 1/ч'2, 1/ч'2); 6) парабола Уз = 4~2Х; О' (2, 1), Е~ ) —, — (, Ез ~ — —, — ); 7) эллипс — + У~ = 1; ~.2',2(' ~ .2'.2 )' О' (3, — 2), Е~ ), — ), Еэ ~, ~; 8) гипербола ~,Г3, Гз) ~,ГЗ,Г3 ) / 3 1 Еэ ~, — ~; 10) пара пересекающихся прямых х = — —, ~, ~/34 4~/344,~ 2' Ошееты и указания 391 4х + Зу + 1 = 0; — У~ = 0; 0' — —, —,, Е, Еэ ( — 1/ЯО, 3/ъ~10); 11) пара параллельных прямых 2х+ Зу — 5 = О, 2х+ Зу + 1 = 0; Уэ = 9/13; О' (4/13, 6/13), Е~ (3/~/13, — 2/хУГЗ), Еэ (27у'ГЗЗ, 3/~/ГЗЗ); 12) пара совпавших прямых 15х — 8у + 1 = 0; У~ = 0; 0' ( — 15/289, 8/289), Е~ (8/17, 15~17), Еэ ( — 15/17, 8/17); 13) пара параллельных прямых х + у — 4 = О, т.
+ у — 1 = 0; Уэ = 9/8; 0' (5,14, 5,14); Е~ (1/хУ2, — 1/ч'2), Еэ (1,1х72, 1,1г 2); 14) пара мнимых прямых Х + 4У~ = О, пересекающихся в вещественной точке О' (1, 2); Е~ (1/хУ2, 1/х72), Еэ ( — 1/ъ~2, 1/х72); 15) пара мнимых параллельных прямых (х — у + 4)э = — 6; 16) мнимый эллипс Х У~ 5/3 3/27 + = — 1; 17) пара пересекающихся прямых Зт — 5у — 13 = О, 5х + Зу + 1 = 0; Хз — Уэ = 0; 0' (1, — 2), Е~ (1/~/Г77, 4,1ъ~Г7), Еэ ( — 4/Л7, 1/Л7).
9.5. Длины полуосей равны г'2 и 1, эксцентриситет равен 1/~2, центром является точка (1, -1), уравнение большой оси Зх + 4у + 1 = О, уравнение малой оси 4х — Зу — 7 = О. Фокусу Е~ (1/5, — 2/5) соответствует директриса 4х — Зу+ 3 = О, фокусу гэ (9/5, — 8/5) соответствует директриса 4х — Зу — 17 = О. 9.6. Длины обеих полуосей равны у'2, эксцентриситет равен хГ2, центром является точка (1, 1), уравнение действительной оси 4т.
+ Зу — 7 = О, уравнение мнимой оси Зх — 4у + 1 = О. Фокусу Г~ ( — 1/5, 13/5) соответствует директриса Зх — 4у + 6 = О, фокусу гэ (11/5, -3/5) соответствует директриса Зх — 4у — 4 = О. Уравнения асимптот х + 7у = 8 и 7х — у = 6. 9.7. Парабола; р = у'2/8, вершина О' ( — 1/16, — 3/16), фокус г' ( — 1/8, — 1/8), ось 4х + 4у + 1 = О, директриса 4х — 4у = 1.
9.9. 2) Лгг-~~бЛы ~/Ь75Лэ, 3) лУ вЂ” Ь7бЛы ~/ — Х~ДЛэ, 4) Э/ — ХДР. 9.10. 1) Гипербола 200/147 200/63 ' 1/3 2/9 Уз = О, 16 у'5Х. 9.13. 1) Гипербола; 2) эллипс; 3) гипербола; 4) пара параллельных прямых 4х + Зу = О, 4х + Зу + 1 = 0; 5) эллипс; 6) парабола; 7) гипербола; 8) мнимый эллипс; 9) пара пересекающихся прямых х — Зу + 4 = О, 2х+ у + 1 = 0; 10) пара параллельных прямых х + 5у — 1 = О, х + 5у + 3 = 0; 11) пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (1, 1); 12) пара мнимых параллельных прямых; 13) пара совпавших прямых х — 4у+ 3 = О.
9.14. 1) 11хэ — 20ху + 11уз — Зх — Зу — 8 = 0 (эллипс); 2) х~ — 4ху+ у~ -' Зт+ Зу — 4 = 0 (гипербола); 3) х~ — 2ху+ у -- 1 = 0 (пара параллельных прямых х — у э- 1 = О, х — у — 1 = 0); 4) Зх — 10ху + Зу + бх + бу — 9 = 0 (пара пересекающихся прямых Зх — у — 3 = О, Зу — х — 3 = 0); 5) четыре точки из пяти лежат на 392 Ответы и указав л одной прямой х — у + 1 = О,и данные 5 точек не определяют однозначно кривую второго порядка; 6) х — 2ху + у — 2х — 2у + 1 = О (парабола). 9.15. 1) Эллипс при )Л! < 2, гипербола при (Л( > 2, пара параллельных прямых при Л = 42; 2) мнимый эллипс при Л < 41/8, эллипс прн 5 < Л < 41/8 и при Л < — 5, пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке, при Л = 41/8, парабола при Л = 5, гипербола при — 5 < Л < 5, пара параллельных прямых при Л = — 5; 3) эллипс при Л > 2; гипербола при Л < 2, Л ~ О, пара совпавших прямых при Л = 2; пара пересекающихся прямых прн Л = 0; 4) эллипс при Л > 1/2; гипербола при Л < 1/2, Л ~ 1/3; парабола при Л = 1/2; пара пересекающихся прямых при Л = 1/3.
9.16. Если гЛ = ~ 1 В т'. -О, то данные уравнения А, В, г г задают: 1) параболу; 2) эллипс; 3) гиперболу; 4) гиперболу; 5) пару пересекающихся прямых. Если гЛ = О, то уравнения Ц вЂ” 4) могут задавать пару параллельных прямых, пару мнимых параллельных прямых; уравнение 5) может задавать пару параллельных прямых, пару совпавпеих прямых.
В случае Ь = О при некоторых значениях коэффициентов уравнения 1) — 5) могут вообще не задавать кривую второго порядка. 9.17. 1) Агх+ Вгу+ Сг = ~(Агх+ Вгу+ Сг); 2) Агх 4. Вгу + Сг = О, Агх + Вгу + Сг = О. 9.19. 1) (8, 3), х'г — 8х'у'+ 17у'г — 1 = О; 2) (1, — 6), 5х"" + х'у' = 0; 3) ( — 9/8, — 5/8), 8х'г -- 24х'у' + 16у'г -- 1, 5 = О. 9.22.
2) У к а з а н и е: если А и В два центра симметрии, то точка, симметричная А относительно В, также является центром симметрии. 3) у — зш х = О. 10.3. 1) При Л > О эллипсоид, при Л = О точка, при Л < О пустое множество; 2) при Л > О эллипсоид, при Л = О эллиптический цилиндр, при Л < О однополостный гиперболоид; 3) прн Л > О эллипсоид, при Л = О прямая, при Л < О двуполостный гиперболоид; 4) при Л > О однополостный гиперболоид, при Л = О конус, при Л < О двуполостный гиперболоид; 5) При Л ) О двуполостный гиперболоид, при Л = О конус, при Л < О однополостный гиперболоид; 6) при Л > 0 эллипсоид, при Л = О пара параллельных плоскостей, при Л < 0 двуполостный гиперболоид; 7) при Л > О эллипсоид, при Л = О плоскость, прн Л < О однополостный гиперболоид; 8) при Л у'. -0 эллиптический параболоид, при Л = О прямая; 9) при Л ) 0 эллиптический параболоид, прн Л = О параболический цилиндр, при Л < 0 гиперболический параболоид; 10) при Л ~ О эллиптический параболоид, при Л = 0 плоскость; 11) при Л > О эллиптический параболоид, при Л = О плоскость, при Л < О гиперболический параболоид; 12) при Л ) 0 эллиптический параболоид, при Л = О нара параллельных плоскостей, при Л < О гиперболический параболоид; 13) при Л ) 0 эллиптический цилиндр, при Л = О прямая, при Л < 0 пустое множество; 14) при Л ~ О гиперболический цилиндр, при Л = 0 пара пересекающихся плоскостей.
10.5. 1) хг + уг + гг — 2х — 2у — 2г = 0; Ответы и указан л 393 2) хг + уг + гг — 2х — 4у — бг + 13 = О 10 6 1) С (2, 2, 2), Л = 2тУЗ; 2) С( — 1, — 2, — 3), В = 5/ъ'2. 10.7. 1) Эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси у'6, и 3, й2, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, - = — 1; 2) эллипсоид; центр С ( — 1, — 1, — 1), полуоси 2, у'6, 2у'3, плоскости симметрии х = — 1, у = — 1, - = — 1. Эллипсоиды подобны. 10.8.
1) Двуплостный гиперболоид; центр симметрии С (--3, 1, 1), вершины А ( — 5, 1, 1), В ( — 1, 1, 1), ось симметрии у = г = 1, плоскости симметрии х = --3, у = 1, г = 1; 2) двуполостный гиперболоид; центр симметрии С ( — 1, О, — 1), вершины А ( — 1, О, — 1 — игЗ), В ( — 1, О, -1+ эг33), ось симметрии х = — 1, у = О, плоскости симметрии х = — 1, у = О, г = — 1.
10.9. 1) Однополостный гиперболоид; 2) конус; 3) двуполостный гиперболоид; 4) эллиптический параболоид; 5) гиперболический параболоид; 6) эллиптический цилиндр. 10.10. 1) Координатные плоскости Охг и Оугц 2), 3) гииерболический цилиндр с образующими, параллельными оси Ог и направляющей -- данной гиперболой на плоскости Оху; 4) гиперболический параболоид; плоскости симметрии х = ~д.
10.11. Цилиндр радиуса 1/2 с осью х = — 1,12, г = О. 10.12. 1) Параболоид вращения вокруг отрицательной части оси Оу, вершина С(О, 1/2, О); 2) конус с вершиной в начале координат, ось вращения — прямая х = у, г = О. 10.13. Однополостный гиперболоид. Центр начало координат.
Ось вращения х = О, у + г = О. Плоскость горловой окружности у = г; ее уравнение хг+ 2уг — 1 = О, у = г; радиус 1. 10.14. 1) (О, О, О) и (2, 2, 8); 2) точек пересечения нет; 3) (3, 1, 10). 10.16. Пнс. 10.17. Ниже. 10.26. [[г — гв, а)[ = В[а[. 10.27. [г — го[ = Л. 10.28. [(г — гв,а)~= [г — ге[[а[[сова[. 10.29. [г — гг + [г — гг[ = 2а. 10.30. 1) хг+ у — г' = 0: 2) х = уз+ гг. 10.31. 1) Двуплостный гиперболоид хг — уг — хг = 2; 2) однополостный гиперболоид тг уг + гг 2 10.32. 'Хор (хг + уг + гг + 3)г = 16(хг + гг) 10.33.
хг(уг + гг) = 1 и уг(хг -~- гг) = 1. 10.34. Ц х = ~ соя В, у = 1яшВ, г = г(1) (1 > О, О < В < 2я); 2) х = р(й) соя В, д = уг(1) гип В, г = Х(~) (О < В < 2я). 10.37. хг + уг + гг — ху — хг — де + Зх — Зг = О. 10.38. г;г + уг + яг — хд — хг — уг + Зх — Зг + 2 = О 10.39. гу + + хг + уг = О. 10.40. Однополостный гиперболоид хг + уг — 2гг + + 4г — 4 = О. У к а з а н и е; см.
задачу 10.34, 2). 10.41. Конус хг + уг — (х — 1)г = О. У к а з а н и е; прямая пересекает ось Ож 10.42. Конус ху+ хе+ уг = О. Указ а ни е: см. задачу 10.28. 10.43. ху+ хе+ ух — 2х — 2д — 2г+ 3 = О. 10.44. х = и+ 2сояи, у = = и + 2 ягп и, г = 4 + и — 2 соя и — 2 ягп и. Указание: см. задачу 10.35. 10.45. Пилиндр (2х — у — г)г т (2у — х — г)г = 9. 10.49. Окружность х = 2соя1, у = 2яш1, г = 2. 10.52. Эллипс хг+ 2уг+ 2х +4у — 2 = О.
10 54. х = -1+ 2сояг, у = — 1+ 2ягп1, г = 3 — 2соя1 — 2яшй Указание: исключив г из данных уравнений, получим уравнение проекции эллипса на плоскость Оху — уравнение окружности (х + 1)г + (у ~- 1)г = 4. За параметр Оп»пети и указа»«ил принимаем угловой параметр окружности. 10.55.
По гиперболе. У к а з а н и е: найти уравнение проекции линии пересечения на плоскость Оху. 10.56. Центр С(10/3, — 14/3, 5/3), радиус Л = 3. 10.57. х = и( — 1+ 2сози), у = и( — 1+ 2з2пи), 2 = щЗ вЂ” 2сови— — 2ып и). У к а з а н и е: использовать задачу 10 54 10 58.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
