lektsia_perekhodnye_protsessy (824035), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 8.4. Включение цепи r, L, C.

Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

(8.4)

Как известно, общий интеграл такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Частное решение выражает установившийся режим, задаваемый источником.

Общее решение определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях. Функции, определяемые общим решением, называются свободными составляющими (токов, напряжений и пр.).

В случае, рассмотренном выше, однородное уравнение имеет вид:

(8.5)

и соответствующее ему характеристическое уравнение

(8.6)

Если корни характеристического уравнения обозначить через и , то общее решение запишется в виде:

(8.7)

где и - постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий (законов коммутации).

Полный переходный ток в цепи равен сумме установившегося и свободного токов:

(8.8)

Аналогично напряжение, заряд, магнитный поток и другие функции на любом участке цепи в переходном режиме состоят из установившейся и свободной составляющих.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков.

8.3. Переходный процесс в цепи r, L

Положим, что в момент цепь, состоящая из сопротивления r и индуктивности L, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС , рис. 8.5.

Рис. 8.5. Включение цепи r, L.

Дифференциальное уравнение для времени записывается в виде

Характеристическое уравнение имеет вид и соответственно корень уравнения Отсюда свободный ток

Переходный ток в цепи определится суммой установившегося и свободного токов:

(8.9)

Установившийся ток может быть найден, если задана ЭДС .

Рассмотрим три случая:

1. включение в цепь r, L постоянной ЭДС Е;

2. короткое замыкание цепи r, L;

3. включение в цепь r, L синусоидальной ЭДС .

1. Включение в цепь r, L постоянной ЭДС.

При включении в цепь r, L постоянной ЭДС Е установившийся ток равен E/r. Поэтому согласно (8.9)

(8.10)

Постоянная интегрирования А находится по начальному условию

Согласно уравнению (8.10) при

откуда . Следовательно,

Здесь - предельное значение, к которому стремится ток по мере неограниченного возрастания t, называемое установившимся током.

На рис. 8.6 показаны кривые установившегося, свободного и переходного токов; на том же рисунке изображена кривая напряжения на индуктивности

Рис. 8.6. Установившийся, свободный и переходный токи

при включение в цепь r, L постоянной ЭДС.

Из курса математического анализа известно, что если , то подкасательная равна В данном случае при любом значении t

(8.11)

Величина носит название постоянной времени. Постоянная времени измеряется в секундах.

Выражение (8.11) показывает, что постоянная времени графически определяется длиной подкасательной к кривой или , при любом значении t.

Нарастание тока происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени и соответственно чем быстрее убывает ЭДС самоиндукции. Для различных моментов времени ток в цепи, выраженный в процентах конечного (установившегося) значения составляет:

t
	63,2	86,5	95,0	98,2	99,3	100

Следовательно, постоянная времени цепи r, L равна промежутку времени, в течение которого свободная составляющая тока убывает в е = 2,718 раза и соответственно ток в этой цепи, включенной на постоянное напряжение, достигает 63,2% своего установившегося значения.

Как видно из рис. 8.6 и приведенной выше таблицы, переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. Практически же можно считать, что он заканчивается спустя .

2. Короткое замыкание цепи r, L.

Положим, что цепь r, L присоединенная к источнику постоянного или переменного напряжения, замыкается при накоротко, рис. 8.7, а. В образовавшемся при этом контуре r, L благодаря наличию магнитного поля индуктивной катушки ток исчезает не мгновенно. По мере того как энергия магнитного поля постепенно рассеивается, превращаясь в сопротивлении r в тепло, ток в контуре приближается к нулю.

Рис. 8.7. Короткое замыкание цепи r, L,

а – расчетная схема; б – кривая тока и напряжения .

Процесс, происходящий в короткозамкнутом контуре r, L, является свободным; установившийся ток в данном случае равен нулю.

Положив в (8.9) получим:

Постоянная интегрирования А находится из начального условия откуда

здесь - значение тока в индуктивности в момент, непосредственно предшествовавший короткому замыканию; оно может быть положительным или отрицательным.

На рис. 8.7, б изображены кривые спада тока в короткозамкнутом контуре и кривая напряжения на индуктивности

в предположении, что

Постоянная времени контура может быть найдена графически как подкасательная к кривой (например, в момент t = 0).

Переходный процесс в короткозамкнутом контуре заканчивается теоретически при За это время в сопротивлении r выделяется в виде тепла энергия, запасенная в магнитном поле катушки до коммутации.

Так же как и в предыдущем случае, переходный процесс в короткозамкнутом контуре можно практически считать законченным спустя .

3. Включение в цепь r, L синусоидальной ЭДС.

При включении в цепь r, L синусоидальной ЭДС установившийся ток будет:

где

На основании (8.9)

где .

Постоянная интегрирования определяется по начальному условию

Следовательно, откуда Поэтому искомый ток будет:

На рис. 8.8 изображены кривые Начальные ординаты одинаковы и противоположны по знаку, поэтому ток в начальный момент равен нулю. Свободный ток убывает по экспоненциальному закону.

Если в момент коммутации (t = 0) ток проходит через нуль, т.е. выполняется условие или , то свободный ток не возникает и в цепи сразу наступает установившийся режим без переходного процесса.

Рис. 8.8. Установившийся, свободный и переходный токи

при включении в цепь r, L синусоидальной ЭДС.

8.4. Переходный процесс в цепи r, С

Положим, что в момент t=0 цепь, состоящая из сопротивления r и емкости С, включенных последовательно, присоединяется к источнику ЭДС , рис. 8.9.

Рис. 8.9. Включение цепи r, С.

На основании второго закона Кирхгофа уравнение для времени записывается в виде:

где - напряжение на емкости.

С учетом того, что получим:

здесь искомой величиной является напряжение па емкости.

Характеристическое уравнение и соответственно корень уравнения Следовательно, свободная слагающая напряжения на емкости

где - постоянная времени контура r, С.

Переходное напряжение на емкости равно сумме принужденного и свободного напряжений:

(8.12)

В свою очередь ток в контуре

(8.13)

Рассмотрим три случая:

1. включение в цепь r, С постоянной ЭДС Е;

2. короткое замыкание цепи r, С;

3. включение в цепь r, С синусоидальной ЭДС
   1. Включение в цепь r, С постоянной ЭДС.

Включим постоянную ЭДС Е в цепь с сопротивлением r и предварительно заряженной емкостью С,

Рис. 8.10. Ток и напряжение при включении в цепь r, С постоянной ЭДС.

Установившееся напряжение на емкости равно ЭДС источника. Поэтому согласно (8.12)

(8.14)

Постоянная интегрирования А, входящая в (8.14), находится по начальному условию:

При имеем откуда . Следовательно,

(8.15)

Согласно (8.13) ток в контуре

(8.16)

Если , то с течением времени напряжение на емкости возрастает, стремясь к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь в пределе к нулю; на рис. 8.10, а изображены кривые нарастания и спада . Если , то кривые и имеют вид, показанный на рис. 8.10, б.

Постоянная времени может быть найдена так же, как раньше, графически как подкасательная к кривой в любой точке (например, при ).

2. Короткое замыкание цепи r, С.

Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных r и С, равносильно принятию в предыдущем случае ЭДС, равной нулю. Предполагается, что емкость С заряжена, т. е. в момент включения на выводах имеется напряжение

Положив в (8.15) и (8.16) ЭДС Е равной нулю, получим:

где

На рис. 8.11 изображены кривые спада и .

Рис. 8.11. Ток и напряжение при коротком замыкании цепи r, С.

В отличие от напряжения на емкости, которое изменяется непрерывно, ток в контуре r, С, пропорциональный скорости изменения , совершает при скачок.

Характеристики

Список файлов лекций