Павельева Неопределенный интеграл (819554)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЕ.Б. ПавельеваНЕОПРЕДЕЛЕННЫЕИНТЕГРАЛЫМетодические указания к решению задачпо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»УДК 517.31ББК 22.161.1П12Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ruпо адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book318.htmlФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Высшая математика»Рецензентканд.

физ.-мат. наук, доцент И. Л. ПокровскийРекомендовано Учебно-методической комиссиейНаучно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»МГТУ им. Н.Э. БауманаП12Павельева, Е. Б.Неопределенные интегралы : методические указания крешению задач по курсу «Интегралы и дифференциальныеуравнения» / Е. Б. Павельева. — Москва : Издательство МГТУим. Н. Э. Баумана, 2014. – 91, [1] с.ISBN 978-5-7038-3929-4Рассмотрены основные приемы и методы вычисления неопределенных интегралов. Приведены краткие теоретические сведения, иподробно разобрано около ста примеров различной степени сложности. В конце каждого подраздела даны примеры для самостоятельного решения, а в конце работы — ответы к этим примерам.Для студентов всех специальностей МГТУ им.

Н. Э. Баумана.Может быть полезным при самостоятельном изучении методоввычисления неопределенных интегралов.УДК 517.31ББК 22.161.1ISBN 978-5-7038-3929-4© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014© Оформление. ИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014Глава 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕИ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ1.1. Понятие неопределенного интеграла.

Таблица интегралов.Простейшие правила и приемы интегрированияОпределение 1.1. Функция F ( x) называется первообразнойдля функции f ( x) на интервале  a, b  , если для любого x   a, b выполняется равенство F ( x )  f ( x ).Например, функция F ( x )  4  x 2 является первообразнойxдля функции f ( x )  на интервале  2, 2  , так как4  x2xx   2, 2  ; функция F ( x)  cos x является4  x2  4  x2первообразной для функции f ( x)   sin x на бесконечной прямой ,    , так как  cos x    sin x x   ,    . ФункцияF ( x)  ln x является первообразной для функции f ( x) 1на поx1лупрямой  0,    , так как  ln x  x   0,    ; функцияx1F ( x)  ln( x) является первообразной для функции f ( x)  наx1полупрямой   , 0  , так как  ln   x   x   , 0  ; такимxобразом, функция F ( x )  ln x является первообразной для функ1ции f ( x)  на  , 0    0,    .x3Теорема 1.1.

Если функция F ( x) является первообразной дляфункции f ( x) на  a , b  , то любая первообразная для функцииf ( x) на интервале  a , b  имеет вид F ( x)  C, где C — некотораяпостоянная.Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функцийдля данной функции f ( x) на интервале  a , b  называется неопределенным интегралом от функции f ( x) на интервале  a , b  иобозначается символом f ( x ) dx.Если функция F ( x) — одна из первообразных для функции f ( x) на  a, b  , то  f ( x ) dx  F ( x )  C , где C — любая постоянная.xdx  4  x 2  C на интервале  2, 2  ,4  x2так как функция F ( x )  4  x 2 является первообразной дляxна интервале  2, 2  ;    sin x  dx функции f ( x)  4  x21 cos x  C на бесконечной прямой  ,    ;  dx  ln x  Cxна  , 0    0,    .Например,Теорема 1.2.

Для любой функции, непрерывной на интервале a, b  , на этом интервале существует неопределенный интеграл.Свойства неопределенного интеграла:1)   f ( x )  g ( x )  dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx;2)   A f ( x )  dx  A  f ( x ) dx , A  0 , A — постоянная;3)  f ( x)dx   f ( x); d  f ( x) dx  f ( x) dx;4) F   x  dx  F  x   C ;  dF ( x )  F ( x )  C ,C — любая по-стоянная.Основные неопределенные интегралы приведены в табл. 1.1.4Таблица 1.1№ п/пОсновные неопределенные интегралы1 0 dx  C2 x  dx    1  Cx  1   1 .В частности:при   0  1 dx  x  C ,при   1/2при    231dx  2 x  C ,x11dx    Cx2x1 x dx  ln x  C ,1 x  a dx  ln x  a  C  a4 e dx  e  C ,a a dx  ln a  C , a  0, a  1 sin x dx   cos x  C cos x dx  sin x  Cxxxx567 cos 2 x dx  tg x  C8 sin91121xdx   ctg x  С1 1  cos x x sin x dx  2 ln  1  cos x   C  ln tg 2  C10 cos x dx  2 ln  1  sin x   C  ln tg  2  4   C11 sh x dx  ch x  C ch x dx  sh x  C1213111 ch2x 1  sin x xdx  th x  C5Окончание табл.

1.1№ п/п1415161718Основные неопределенные интегралы1 sh 2 x dx  cth x  C arcsin x  C ,dx 1  x 2    arccos x  C , arcsin x  C ,dxaa  0 a2  x2  x  arccos  C ,adx x 2  a 2  ln x  x 2  a 2  C , a  0dx arctg x  C , x 2  1   arcctg x  C , 1 arctg x  C , adxaa  0 x2  a2   1  arcctg x  C ,a adx1xa x 2  a 2  2a ln x  a  C , a  0dx1xa a 2  x 2  2a ln x  a  C , a  0Для проверки формул, приведенных в табл. 1.1, достаточноубедиться в том, что производные выражений, стоящих в правыхчастях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.ПримерыИспользуя свойства неопределенного интеграла и формулытабл.1.1, найти следующие интегралы.56Пример 1.1.   3  4 3 x  7 1 dx.2xxРазобьем интеграл на сумму и разность интегралов, вынесемза знак интеграла постоянные множители и запишем подынтегральные функции в таком виде, чтобы легко было воспользоваться формулой 2 из табл.

1.1:6 5  x3  43x612 1 dx  5 x 3 dx  4  x 3 dx  6  x 7 dx   1 dx x271 1 2 1x 31x3x 7542 7 5546 x  C   2  33 x4 x  xC.1 13  12x5 2 137Пример 1.2.x 1x  x  2 dx.Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получимx 1x  x  2 dx    x x  3 x  2 dx 3212   x dx  3 x dx  2  1 dx 3 11 1x2x223 2 x  C =  x 2 x  2 x x  2 x  C.3 11 15225x7  2dx.xРазделим почленно числитель на знаменатель:Пример 1.3.57x7  2x51dx   1 dx  2 dx xxx29 1x 1010  x dx  2  2 x  C  4 x  C  10 x19  4 x  C.9 11910dxПример 1.4.

.4  9 x2Чтобы можно было воспользоваться формулой 15 из табл. 1.1,вынесем множитель 9 за знак радикала:910dx4  9x211dx 34  x2 39dx 22  x23113xx arcsin C  arcsin  C.23323 75 3x2  6 dx.Пример 1.5.Чтобы можно было воспользоваться формулой 18 из табл. 1.1,вынесем множитель 3 за скобки.

Тогда5dx5dx5 3x 2  6 dx  3  x 2  2  3 x2  22x 2x 25 15 C  C.lnln3 2 2 x 26 2 x 2Пример 1.6.3  2 x  2  3x 2x dx .Разделим почленно числитель на знаменатель и воспользуемсяформулой 4 из табл. 1.1. Тогда3  2 x  2  3x 3  2 x 2  3x 2 x dx    2 x  2 xx 3  dx 312dxdx  2 x3 3x 3x  2  2   C  3x  C.3x 1 ln 32ln  22 1  2 x 2  x 2 1  x 2  dx.Пример 1.7.Представив числитель в виде 1  x 2   x 2 , разделим почленночислитель на знаменатель:1  2 x 2 1  x 2   x 2dx x 2 1  x 2   x 2 1  x 2  dx 111dx  dx    arctg x  C .22xx1 xПример 1.8.

 ctg 2 x dx.Используя основное тригонометрическое тождество и поделивпочленно числитель на знаменатель, представим ctg 2 x в виде8ctg 2 x cos2 x 1  sin 2 x1 2  1.sin 2 xsin 2 xsin xДалее воспользуемся формулой 8 из табл.1.1. Тогда1 ctg 2 x dx   sin 2 x dx  1dx  ctg x  x  C.Пример 1.9.4 x2 x2  16 dx .Представив числитель в виде 4 x 2  4  x 2  16   64 и разделивпочленно числитель на знаменатель, воспользуемся формулой 18из табл. 1.1:4  x 2  16   644x2 x 2  16 dx    x 2  16  4 x  64Пример 1.10.dx   4dx  64dxx 2  421x4x4ln C  4 x  8ln C.24 x  4x4x 4  x 4  2dx.x3Учитывая, чтоx 4  x 4  2   x 2  x 2  ,2x 4  x 4  2  x 2  x 2 ,получимx 4  x 4  2x 2  x 21dx  dx   dx   x 5 dx 33xxx4x1 ln x  C  ln x  4  C.44xПример 1.11.1  x  a  x  b  dx,a  b.____________Здесь и далее «звездочкой» обозначены примеры повышеннойсложности.9Учитывая, что  x  a    x  b   b  a, представим числитель ввиде11 x  a    x  b.baДалее, разделив почленно числитель на знаменатель, получим11  x  a  x  b  dx  b  a  x  a   x  bdx  x  a  x  b 1 111dx  dx   ln x  b  ln x  a   C .ba xbxa  baПример 1.12*.dx x 4 1  x 2  .Учитывая, что 1  1  x 2   x 2 , и разделив почленно числительна знаменатель, получим1  x 2   x 2dx11 x4 1  x2   x4 1  x2  dx   x4 dx   x2 1  x2  dx 1  x 2   x 21111dx   3   2 dx  dx 3223xx 1  x 3xx1  x2Пример 1.13*.11  arctg x  C.3x3xx  x  1 x  2  dx .Представим числитель x в виде линейной комбинации  x  1и  x  2 : x    x  1    x  2  .

Множители  и  найдем, приравнивая коэффициенты при x и x 0 :x : 1    ; x0 : 0    2 .2121Таким образом,   ,   и x   x  1   x  2  . Далее, раз3333делив почленно числитель на знаменатель, получим1021x  1   x  2 x33  x  1 x  2  dx    x  1 x  2  dx 211 121dx  dx  ln x  2  ln x  1  C .3 x23 x 133Примеры для самостоятельного решения1  x 1.1.  3x x1.4.x2 1 x23dx. 1.2.dx. 1.5.2 x  3 3x2xe3 x  1dx.

1.6.x1edx. 1.3.1 x x dx. 1  x 2 x  x3e2 x  x 2dx. 1.7.x3dx.5x2  4x 1x 11  x dxdx. 1.9. 1.8. . 1.10.  2 x5 dx.sin 2 x cos 2 x10x 1  x 2 21.11.  1  sin 2 x dx. 1.12.cos 2 x cos2 x sin 2 x dx.1.13.dx.1 x  x 11.2. Интегрирование методом подведенияпод знак дифференциалаНапомним, что дифференциал df ( x) дифференцируемой функции f ( x) определяется формулой df ( x )  f ( x ) dx.При сведении заданного интеграла к табличному интегралучасто используются следующие преобразования дифференциалов:1) df ( x )  d  f ( x )  C  C;12) df ( x)  d  C  f ( x)  C  0;C3) f ( x) dx  dF ( x)  d  f ( x ) dx , где F ( x) первообразная дляf ( x) .Например, x2  1xdx  d    d  x 2  ; 2  21xdx  d 2 x  2d x ;111111dx  d  ln x  ; 2 dx  d      d   ; e x dx  d  e x  ;xxx x1dx  d  tg x  ;sin x dx  d   cos x    d  cos x  ;cos2 x1dx  d  arcsin x 1  x2и т.

д.Утверждение (свойство инвариантности формул интегрирования). Если  f (t ) dt  F (t )  C на интервале  a , b  и t  x  —дифференцируемая функция на интервале  ,   , множествозначений которой принадлежит интервалу  a, b  , то f  t  x   t   x  dx  F  t  x    Cна интервале  ,   , т. е. f t  x  d t  x   F t  x   C.Таким образом, формулы интегрирования не меняются, есливместо независимой переменной t подставить дифференцируемуюфункцию t  t ( x).Например, посколькуdt t 2 t C ,тоd 5x2  4 5x2  4  2 5x2  4  C;так как sin t dt   cos t  C ,то sin  4и т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги