11 (816843)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 11Свободные колебания с одной степенью свободы без сопротивления.Рассматривается движение консервативной системы с одной степенью свободы околоустойчивого положения равновесия, где выбрано начало координаты q и нулевой уровеньпотенциальной энергии. После линеаризации (если система не линейна), кинетическая ипотенциальная энергии системы приобретут вид квадратичных форм с постояннымикоэффициентами.Т=0.5а q̇ 2П=0.5cq2a>0 ввиду положительности кинетической энергии, с>0 ввиду устойчивости положенияравновесияУравнение Лагранжа:d  ∂T  ∂T∂П −= −dt  ∂ q˙  ∂ q∂qприводит к дифференциальному уравнению свободных колебаний без сопротивленияq̇˙ +k2q=0a q̇˙ =-cqили(k2=c/a сек-1)Попробуем найти решение уравнения в виде экспоненты.

Подставивq=eλtλtв уравнение, после сокращения на e получим характеристическое уравнение для определениянеизвестного параметра λλ 2+ k2=0Уравнение имеет два мнимых корняλ = ±kiЗначит, уравнение имеет два независимых решения. Общее решение (второй интеграл) уравненияq=C1Coskt+C2Sinktсодержит две произвольные постоянные интегрирования С1 и С2 , которые могут быть найденыиз начальных условий:t=0: q=q0 ; q̇ = q̇ 0Чтобы их использовать, находим закон скорости (первый интеграл уравнения)q̇ =-C1kSinkt+C2kCosktПодставляя начальные условия, находим при t=0q0=C1 q̇ 0=C2k,откуда C1=q0C2= q̇ 0 /kОкончательноq=q0Coskt+( q̇ 0 /k)SinktУбеждаемся, что при устойчивом положении равновесияc >0система совершает периодическое движение c круговой собственной частотой k= c / a сек-1Удобнее представить закон движения в виде одной функции синуса.

Для этого перейдем к новымпостоянным А и α так, чтобы получить синус суммыС1=АSin αC2=ACos αПолучимq=Asin(kt+ α)Здесь А – амплитуда, (kt+α) – фаза, α- начальная фаза колебаний. Через период колебаний Т фазасинуса изменится на 2π радианk(t+T)+α= kt+α+2πследовательно, период колебанийT=2π/k секДиссипативная функция Релея сил вязкого сопротивления.Её связь с полной механической энергией.Практически любая система совершает колебания в некоторой среде. При движениисистемы возникают силы сопротивления среды. Например, силы вязкого сопротивления,пропорциональные первой степени скорости движения точек системы:Fk=-βkvk(k=1,2,...,n)Найдем обобщенную силу сопротивления, учтя тождество Лагранжа:nnк= 1к= 1Qсопр= ∑ Fk • (∂ rk / ∂ q ) =- ∑ β k vk • (∂ vk / ∂ q˙ ) = - ∂ Ф/ ∂ q̇Здесь введена диссипативная функция Релея Ф сил вязкого сопротивления:1 n2Ф= ∑ β k vk2 k=1Видим, что выражение Ф совпадает с выражением кинетической энергии Т, если в последнеммассы точек заменить коэффициентами сопротивления в них.

Чтобы найти Qсопр надо записатьфункцию Релея в обобщенных координатах:Vk=(∂rk/∂q) q̇1  ∂r   2 12Ф=  ∑  k   q˙ = b( q ) q˙2  ∂q  2Система линейна по функции Релея Ф, если b(q)=Const (аналогия с Т). Если нет, тогдарассматриваются малые движения: q<<1 – система линеаризуется: b(q)≈a(0). Значит, как и Т,функцию Релея следует вычислять в положении равновесия системы q=0, что всегда упрощаетвычисления.2Связь функции Релея с полной механической энергией.Рассмотрим систему с одной степенью свободы и вязким сопротивлением.Потенциальная и кинетическая энергии, функция Релея для нелинейной системыП(q) T=0.5a(q) q̇ 2 Ф=0.5b(q) q̇ 2Имеют свойства∂T∂T∂Ф∂П∂Tq˙˙ +q˙q̇ =2Tq̇ =2Фq̇=П̇Ṫ=∂ q˙∂ q˙∂q∂ q˙∂qУмножим уравнение Лагранжа для этой системыd  ∂T  ∂T∂П −= −dt  ∂ q˙  ∂ q∂qна q̇d  ∂T  ∂T∂П −q˙ = −q˙dt  ∂ q˙  ∂ q∂qПо формуле производной от произведения получаем∂Td  ∂T  d  ∂T  ∂Tq˙˙ =2 Ṫ q˙˙ = q˙ q˙  ∂ q˙dt  ∂ q˙  dt  ∂ q˙  ∂ q˙q˙С учетом свойств функций Т, П, Ф получаем∂T∂Tq˙˙ q˙ =- П̇ -2Ф2 Ṫ или∂ q˙∂qd(Т+П)=-2ФЕ˙ = − 2ФdtЭтот результат можно сформулировать так:Полная механическая энергия рассматриваемой системы убывает со скоростью 2ФВлияние сил вязкого сопротивления на движение системы.Дифференциальное уравнение системы с одной степенью свободы и вязкимсопротивлением Получим из уравнения Лагранжаd  ∂T  ∂T∂П ∂Ф −= −−dt  ∂ q˙  ∂ q∂ q ∂ q˙После линеаризации (если требуется) получаем квадратичные формы1 21 21 2П= cq (q) T= aq˙Ф= bq˙222После подстановки в уравнение Лагранжа получаем дифференциальное уравнениеколебаний с сопротивлениемaq˙˙ = − cq − bq˙или2q̇˙ + 2n + k = 0(*)если ввести обозначениякоэффициент сопротивления 2n = b / aи квадрат собственной частоты k 2 = c / aНайдем решение уравнения (*) в виде экспоненты:q = eλ t(**)Подставив решение в уравнение (*), после сокращения на e λ t , получим характеристическоеуравнение рассматриваемого дифференциального уравненияλ 2 + 2nλ + k 2 = 0Если характеристическое уравнение имеет корни, то уравнение (*) имеет решение вида (**)Это уравнение имеет 2 корняλ = −n±n2 − k 2которым соответствуют 2 независимых решения, сколько и должно быть у уравнениявторого порядка.Вид решений зависит от знака подкоренного выражения1.

Случай малого сопротивления n < kВ этом случае корни комплексные и решение имеет вид~~~q = e − nt (C1Cosk t + C2 Sink t )k = k 2 − n2 < kКак всегда, постоянные С1 С2 находятся из начальных условий:q = q0 ;q˙ = q˙ 0t=0:Исследуем это решение, перейдя к новым постоянным интегрированияC1=ASinαC2=ACosαТеперь   k 2 −n 2 kq=Ae −nt sin  k t k=Амплитуда колебаний Ae −nt экспоненциально убывает с течением времени.Система совершает затухающие колебания. Они являются квазипериодическими,т.к только положение равновесия система проходит через равные промежутки времени квазипериодT 1=2T =222k k −n С увеличением сопротивления n квазипериод Т1 увеличивается и стремится к бесконечности приn→kкогда колебания вообще прекращаются.Быстрота затуханий колебаний характеризуется декрементом, равным отношениюсоседних размаховnT 1 = Ak / Ak 1=eИногда используют логарифмический декрементln =nT 1Измерив два соседних размаха и время Т1 можно, вычислить коэффициент сопротивления n.2.

Случай большого сопротивления nkВ этом случае собственные числа уравнения – вещественные числа1,2 =−n±   n 2−k 2 и общее решение приобретает видq=C 1 e  t C 2 e t Таким образом, движение системы является апериодическим, т.е. не колебательным.123. Пограничный случай n=kВ этом случае собственные числа кратны и решение примет видq=e−nt  C 1 tC 2 Движение системы также является апериодическим. Графики движения в случаях 2 и 3аналогичныqqи зависят от начальной скорости q˙0 . Если она напрвлена к положению равновесия, то при22∣q˙0∣q 0 n   n −k  система один раз пройдет положение равновесия q=0 и постепенновернется в него с другой стороны.Как всегда, постоянные интегрирования C 1 и C 2 находятся из начальных условий:t=0: q=q 0, q̇= q˙0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги