Шестаков В.С. Расчет на ЭВМ нефтегазового оборудования. Учебное пособие для МНГ-2015 (811778), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Иллюстрация методаслучайного поиска0.95292990.9944459Иллюстрация метода показана на рис. 5.11. Алгоритм,реализующий данный метод,включает следующие этапы:1) задаются интервалы изменения всех переменных[X1min,X1max]..[Xnmin,Xnmax], требуемая вероятность достижения оптимального решения Ро,количество интервалов К, накоторое делится каждая переменная проектирования;2) определяется доля и шагизменения каждой переменной:f = 1/К,dx1=(X1max-X1min)/К, ... ,dxn=(Xnmax-Xnmin)/К;3) определяется требуемое число вычислений функции M для достижения заданной вероятностиM = ln(1-Po) / ln(1-f);4) подпрограммой случайных чисел задаются поочередно случайныечисла Si в интервале 0..1;5) вычисляются значения переменных проектированияxi=Ximin + Si (Ximax-Ximin);6) этапы 4, 5 повторяются для всех переменных;7) после вычисления всех переменных вычисляется целеваяфункция200y = f (x1,x2,...,xn);8) этапы 4...7 повторяют M раз;9) полученные результаты сравнивают между собой и определяютобласть переменных проектирования, при которой целевая функцияимеет "наилучшее" значение.Этот алгоритм в виде блок-схемы приведен на рис.
5.12.N - число переменных,f – доля изменения переменных,Ро - вероятность,[Xmin(i),Xmax(i)]-интервализменения I-й переменнойНачалоN, f, Po,[Xmin(i),Xmax(i)]Nn=ln(1-Po)ln(1-f)Требуемое число вычислений длядостижения заданной вероятностиДля запоминания «наилучшего решения»Yo=1010I=1,NnВыводFo,XoiI=1,NЗадание случайногочисла Sxi=Ximin+( Ximax -Ximin)·SiРасчет функцииy=f(xi)Нетy<YoКонецДаYо= yI=1,NXоi= xiЗапоминаниенаилучшегозначения функции и переменныхРис. 5.12. Блок схема алгоритма метода случайного поискаДостоинством метода является то, что после проведения оптимизации будет определен глобальный оптимум при любой целевойфункции.К недостаткам метода можно отнести значительный рост требуемого числа вычислений для достижения высокой точности и вероятности.201Для исключения этого недостатка можно рекомендовать использование метода случайного поиска совместно с другим, более точным,например, с методом покоординатного спуска.
Вначале проводитсяоптимизация с использованием метода случайного поиска, а затемнайденные оптимальные значения переменных оптимизации используются в качестве начальных значений для метода покоординатногоспуска. В методе покоординатного спуска осуществляется поиск более точного решения. В программе для ЭВМ это может быть организовано последовательным вызовом соответствующих подпрограмм.ПримерпрограммыдлявычисленияфункцииY=10+(x1-5)2+(x2-3)2 будет иметь вид:Option ExplicitDim A0, A1, A2, IvSub Оптимизация_сл()Dim Xmin(10), Xmax(10), dx(10), Xo(10), Yo, NN, P, Fi,Call Ввод (A0, A1, A2, Fi, P, Xmin, Xmax)Iv = 16'Первая строка в табл. промежуточных расчетовCall Опт_случайного_поиска (2, Fi, Р, Xmin, Xmax, Xo, Yo, NN)Worksheets("Сл_поиск").Range("C13") = Xo(1)Worksheets("Сл_поиск").Range("F13") = Xo(2)Worksheets("Сл_поиск").Range("G13") = YoWorksheets("Сл_поиск").Range("G14") = NNEnd SubSub Ввод(A0, A1, A2, Fi, P, Xmin, Xmax)With Worksheets("Сл_поиск")A0 = .Range("G4"): A1 = .Range("G5"): A2 = .Range("G6")Fi = .Range("G7"): P = .Range("G8")Xmin(1) = .Range("F10"): Xmin(2) = .Range("G10")Xmax(1) = .Range("F11"): Xmax(2) = .Range("G11")End WithEnd SubFunction Fy(X)Dim YY = A0 + (X(1) - A1) ^ 2 + (X(2) - A2) ^ 2Worksheets("Сл_поиск").Cells(Iv, 1) = X(1)Worksheets("Сл_поиск").Cells(Iv, 2) = X(2)Worksheets("Сл_поиск").Cells(Iv, 3) = YIv = Iv + 1Fy = YEnd FunctionSub Опт_случайного_поиска(N, Fi, P, Xmin, Xmax, Xo, Yo, NN)'Входные данные: N - количество переменных проектирования;202'P - заданная вероятность получения оптимального решения;'Fi - заданная доля изменения переменных;' Xmin - Xmax массивы с мин.
и макс. допустимыми значениями переменных;'Выходные данные: Хо - массив с оптимальными значениями переменных;'Yо - наилучшее значение функции после оптимизации;'NN - число вычислений целевой функции'Целевая функция Function FY(x), Х - массив со значениями переменных.Dim X(10), Ks, K, i, YNN = Int(Log(1 - P) / Log(1 - Fi)) 'Требуемое число вычисл. функцииYo = 10 ^ 10For K = 1 To NN' Цикл организации NN раз вычислений функцииFor i = 1 To N' Цикл изменения всех переменныхKs = Rnd()' Функция выдачи случайного числа от 0 до 1X(i) = Xmin(i) + (Xmax(i) - Xmin(i)) * KsNext iY = Fy(X)' Вызов подпрограммы расчета функцииIf Y < Yo Then' Запоминание "лучшего" решенияYo = YFor i = 1 To NXo(i) = X(i)Next iEnd IfNext KEnd Sub5.4.
Пример оптимизации цилиндрической емкостиТакую задачу решают при проектировании резервуаров для хранения нефти и газа. Это наша первая задача оптимизации. Рассмотримее подробнее. Вообще-то для такой задачи не требуется примененияпоисковых методов оптимизации, так как целевая функция будет состоять из одного выражения, для определения оптимального решенияможет быть взята производная и приравнена нулю. Но для учебныхцелей задача представляет определенный интерес, так как имеет оченьпростую целевую функцию, позволяет легко организовать изучениеалгоритмов методов поисковой одномерной оптимизации и сравнитьрешения, полученные различными методами.
Все этапы в примеревыполнены в соответствии с рекомендациями по решению оптимизационных задач.ЗаданиеСпроектировать цилиндрическую емкость для хранения жидкости объемом Vo. Днище, крышка и боковые поверхности емкости из203готовляются из стальных листов одинаковой толщины. Ограниченийна изменение линейных размеров емкости нет.Анализ задачиВид емкости показан на рис.
5.13, а эскизы элементов, из которыхизготовляется емкость – на рис. 5.14.DDDHHDРис. 5.13.ЦилиндрическаяемкостьРис. 5.14. Элементы для изготовленияемкостиВ емкости можно изменять размеры диаметра и высоты, но приодновременном их изменении, согласно формуле, V=D2/4 H, будетизменяться объем, поэтому будет нарушаться условие задачи. Из этого рассуждения делаем вывод, что менять по алгоритму метода оптимизации можно только одну из указанных переменных, а другую необходимо вычислять через объем. Если будем менять диаметр, то длярасчета высоту получим формулу H = 4 Vо/D2.Изменение диаметра и высоты может повлечь изменение площади металла, расходуемого на изготовление емкости и, следовательно,массы и цены.
Кроме того, будет меняться длина сварного шва, ностоимость шва по сравнению со стоимостью металла очень мала, поэтому изменение цены, вызванное изменением длины шва, можно исключить при оптимизации.Выбор критерия оптимальностиДля устройств, которые не участвуют в производстве какой-либопродукции, в качестве критерия оптимальности чаще всего используется стоимость изделия. Для сравнительно простых изделий можносчитать, что стоимость пропорциональна массе:Ц = М Се ,где Ц - цена объекта, руб.;М - масса объекта, кг;Се- стоимость единицы массы изделия, руб./кг.204Масса емкости без рабочей жидкостиМ = g S Т,где g - плотность материала, кг/м3;S - площадь поверхности, м2;Т - толщина листов, м.Подставив значение массыЦ = Се g Т S.Анализ полученного выражения показывает, что переменной длярассматриваемой задачи будет только площадь поверхности S, a Ce, g,T - величины для данной задачи постоянные.
Как известно, вид графика функции не меняется, если все точки его умножить на постоянныйкоэффициент, т. е. оптимальные значения переменных, обеспечивающих минимум площади поверхности, будут обеспечивать и минимумстоимости емкости. Исходя из отмеченного, можно исключить из рассмотрения постоянные коэффициенты и принять в качестве критерияоптимальности площадь поверхности емкости.Переменные оптимизацииПри проведении анализа доказано, что независимой переменной,оптимальное значение которой и требуется определить, является диаметр D.Ограничения задачиОбычно ограничения задачи определяются из задания на проектирование объекта, а также исходя из особенностей объекта.Возможности физической реализации переменных определяютследующие ограничения:D > 0; H > 0.При выборе ограничений необходимо помнить также суть поисковых методов оптимизации - по определенному алгоритму изменяются переменные и вычисляется целевая функция.
В данном случае, вусловии задачи нет ограничений на изменение переменных, но необходимым ограничением в данной задаче будет требование изготовитьемкость заданного объема Vo. Если не использовать данное ограничение и оставить при решении обе переменных проектирования D и Н,то в результате решения не будет обеспечен заданный объем.205Ограничение по объему может быть использовано для понижениячисла переменных:Vo = D2 H / 4,откуда может быть выражена одна из переменных, например, НH = 4 Vo /( D2).Таким образом, в задаче остается только одна независимая переменная D. При использовании поисковых методов оптимизации алгоритмы требуют задания интервала изменения переменной[Dmin, Dmax].Для задания нижней границы интервала может быть использовано приведенное выше неравенство (D > 0).
Верхняя граница можетбыть определена, например, следующим образом. Принимается D = H(такое равенство можно использовать исходя из анализа используемых в промышленности емкостей, у них действительно диаметр примерно равен высоте), тогда из выражения объема может быть определено условное базовое значение диаметра.Dб = (4 Vo / )0.333.Это вспомогательное значение может быть использовано для определения границ изменения переменной (например, границы могут бытьопределены, как в 2...3 раза большие и меньшие полученного базовогозначения)Dmin = 0.3 Dб, Dmax = 3 Dб .Составление целевой функцииСогласно определению, целевая функция это выражение критерия оптимальности, в которое входят переменные проектирования.Для данной задачи целевая функция будет включять выражениядля расчета площади поверхности и высоты емкости:S = 2 ( D2/4) + D H;Н = 4 Vo/( D2).Эти два выражения и представляют собой целевую функцию.Сводить их в одно не следует из-за возможности появления ошибок.Кроме того, высоту все равно придется определять, чтобы получитьразмеры заготовок для изготовления емкости.206Выбор метода оптимизацииВ данной задаче одна независимая переменная D, поэтому дляоптимизации может быть использованы приведенные выше методыодномерной поисковой оптимизации: прямого перебора, дихотомии,золотого сечения.
Задача является учебной. На ней можно провестисравнение методов между собой по эффективности поиска оптимального решения, изучение алгоритмов методов оптимизации, поэтомуможно использовать все методы.Проверка правильности полученного решенияПосле получения оптимального решения необходимо выполнитьоценку его правильности. Такая проверка может быть организованаразличным способом. Для данной задачи может быть определено оптимальное решение через производную.После подстановки Н выражение S будет иметь видS πD 2 / 2 4Vo / D .Приравняем производную функции нулюD 4VoD20 ,откуда оптимальное значениеDo 4Vo0.333π .Разработка программного обеспеченияКак рассмотрено выше, алгоритмы методов оптимизации оформляются соответствующими подпрограммами, из которых осуществляется вызов подпрограммы расчета функции. При наличии подпрограмм алгоритмов методов оптимизации, составление программногообеспечения для конкретной задачи значительно упрощается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
