Moukalled F., Mangani L., Darwish M. The finite volume method in computational fluid dynamics. An advanced introduction with OpenFOAM and Matlab (811443), страница 3
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. . . . . . . . . . . .8.6.2Minimum Correction Approach . . . . . . . . . . . .8.6.3Orthogonal Correction Approach . . . . . . . . . . .8.6.4Over-Relaxed Approach . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.5Treatment of the Cross-Diffusion Term . . . . . .8.6.6Gradient Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.7Algebraic Equation for Non-orthogonal Meshes8.6.8Boundary Conditions for Non-orthogonal Grids.8.7Skewness . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8Anisotropic Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.9Under-Relaxation of the Iterative Solution Process . . . . .8.10 Computational Pointers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.10.1uFVM . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.10.2OpenFOAM® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.11 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................211211216216217217218220222223224239241241242243243244244245252254255256258258260265265270Part II8.........................................................................................................DiscretizationxivContents..................................................................27327327528528929029029529829830210 Solving the System of Algebraic Equations.
. . . . . . . . . . . .10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 Direct or Gauss Elimination Method . . . . . . . . . . . . .10.2.1Gauss Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2.2Forward Elimination . . . . . . . . . .
. . . . . . .10.2.3Forward Elimination Algorithm . . . . . . . . . .10.2.4Backward Substitution . . . . . . . . . . . . . . . .10.2.5Back Substitution Algorithm . . . . . . . . . . . .10.2.6LU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2.7The Decomposition Step . . .
. . . . . . . . . . .10.2.8LU Decomposition Algorithm . . . . . . . . . . .10.2.9The Substitution Step. . . . . . . . . . . . . . . . .10.2.10 LU Decomposition and Gauss Elimination . .10.2.11 LU Decomposition Algorithm by GaussElimination. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .10.2.12 Direct Methods for Banded Sparse Matrices .10.2.13 TriDiagonal Matrix Algorithm (TDMA) . . . .10.2.14 PentaDiagonal Matrix Algorithm (PDMA) . .10.3 Iterative Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .10.3.1Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3.2Gauss-Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3.3Preconditioning and Iterative Methods . . . . .10.3.4Matrix Decomposition Techniques. . . . . . . .10.3.5Incomplete LU (ILU) Decomposition . . . . . .10.3.6Incomplete LU Factorizationwith no Fill-in ILU(0) .
. . . . . . . . . . . . . . .10.3.7ILU(0) Factorization Algorithm . . . . . . . . . .10.3.8ILU Factorization Preconditioners . . . . . . . .10.3.9Algorithm for the Calculation of Din the DILU Method . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3.10 Forward and Backward Solution Algorithmwith the DILU Method . . . . . .
. . . . . . . . ..................................................................303303305305306307307308308310311312312..................................................313315316317319323325327329329...............330331331.....332.....3339Gradient Computation . . . . . . . .
. . . . . . . . .9.1Computing Gradients in Cartesian Grids9.2Green-Gauss Gradient . . . . . . . . . . . . .9.3Least-Square Gradient . . . . . . . . . . . . .9.4Interpolating Gradients to Faces . . . . . .9.5Computational Pointers . . . . . . . . . . . .9.5.1uFVM . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5.2OpenFOAM® . . . . .
. . . . . . .9.6Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.7Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................Contentsxv10.3.11Gradient Methods for Solving AlgebraicSystems . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3.12 The Method of Steepest Descent . . . . . . . . .10.3.13 The Conjugate Gradient Method . . . . . . . . .10.3.14 The Bi-conjugate Gradient Method (BiCG)and Preconditioned BICG . . . . . . . . . . . . . .10.4 The Multigrid Approach. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4.1Element Agglomeration/Coarsening . . . . . . .10.4.2The Restriction Step and Coarse LevelCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.4.3The Prolongation Step and Fine Grid LevelCorrections . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .10.4.4Traversal Strategies and Algebraic MultigridCycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5 Computational Pointers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.5.1uFVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .10.5.2OpenFOAM® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.6 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................333335337...............340343345.....346.....349...................................34935035035135835836211 Discretization of the Convection Term . .
. . . . . . . . . . . . . . . .11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Steady One Dimensional Convection and Diffusion . . . . .11.2.1Analytical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.2Numerical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.3A Preliminary Derivation: The CentralDifference (CD) Scheme . . .
. . . . . . . . . . . . .11.2.4The Upwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2.5The Downwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3 Truncation Error: Numerical Diffusion and Anti-Diffusion11.3.1The Upwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3.2The Downwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3.3The Central Difference (CD) Scheme. .
. . . . . .11.4 Numerical Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5 Higher Order Upwind Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.1Second Order Upwind Scheme . . . . . . . . . . . .11.5.2The Interpolation Profile. . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.3The Discretized Equation . . . .
. . . . . . . . . . . .11.5.4Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.5Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.6The QUICK Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.7The Interpolation Profile. . . . . .
. . . . . . . . . . .11.5.8Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................365365366366368...................................................369375379380381382383385388389390390391392392393394xviContents11.5.911.5.1011.5.1111.5.1211.5.1311.5.1411.5.1511.5.16Stability Analysis . . . . .
. . . . . . . . .The FROMM Scheme . . . . . . . . . . .The Interpolation Profile. . . . . . . . . .The Discretized Equation . . . . . . . . .Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . .Stability Analysis . . . . . . . . . . . .
. .Comparison of the Various Schemes .Functional Relationships for Uniformand Non-uniform Grids . . . . . . . . . .11.6 Steady Two Dimensional Advection . . . . . . . .11.6.1Error Sources . . . . . . . . . . . . . . . . .11.7 High Order Schemes on Unstructured Grids . . .11.7.1Reformulating HO Schemes in Termsof Gradients . . . . .
. . . . . . . . . . . . .11.8 The Deferred Correction Approach . . . . . . . . .11.9 Computational Pointers . . . . . . . . . . . . . . . . .11.9.1uFVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.9.2OpenFOAM® . . . . . . . . . . . . . . . . .11.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.11 Exercises . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 High Resolution Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1 The Normalized Variable Formulation (NVF) . .12.2 The Convection Boundedness Criterion (CBC) .12.3 High Resolution (HR) Schemes. .
. . . . . . . . . .12.4 The TVD Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.5 The NVF-TVD Relation. . . . . . . . . . . . . . . . .12.6 HR Schemes in Unstructured Grid Systems . . .12.7 Deferred Correction for HR Schemes. . . . . . . .12.7.1The Difficulty with the Direct Useof Nodal Values . . . . . . . . .
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