diplomdvi (811277), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. .Eδt2 = O(h),3D|A(h, δt )| = O(h3 )E|A(h, δt )| = O(h 2 ),1|A(h, δt )|= O(h 2 ),hПо неравенству ЧебышёваED=⇒=⇒|A(h, δt )|= O(h).h¯!ït )|¯ |A(h, δ )|D |A(h,δ|A(h, δt )| ¯¯t¯h−E¯>ε ≤=⇒P ¯¯¯hhε2для ∀ε > 0 P³|A(h,δt )|h´> ε −→ 0 при h −→ 0.ч.т.д.Лемма 4 Для приращения количества бон в портфеле, воспроизводящем цену опциона, справедливо представление:∆βt∗St=−Bt(Ã!h 2∂ 2 C(t, St )∂ 2 C(t, St )2Sσ+δ+δ+h+ttt∂St22∂St ∂t)|B(h, δt )| p1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2St δt + B(h, δt ), где+−→ 0 при h −→ 0.32 ∂SthДоказательство.∗∆βt∗ = βt+h− βt∗ =(∗C(t + h, St+h ) − γt+hSt+h C(t, St ) − γt∗ St−=Bt+hBt1∂C(t + h, St+h )=e−rh C(t + h, St+h ) − e−rhSt+h − C(t, St )+Bt∂St)∂C(t, St )1St =+∂StBt(Ã!r2 h2 θ2 rhe[C(t, St )+1 − rh +2Ã!∂C(t, St ) ∂C(t, St )δ2 δ3+h+St δt + t + t eθ1 δt +∂t∂St26Ãδt2 δt3 θ1 δt1 ∂ 2 C(t, St ) 2Sδ++ e+tt2 ∂St22612!2  Ã!r2 h2 θ2 rh − 1 − rh +e×2"Ã!∂C(t, St )∂ 2 C(t, St )∂ 2 C(t, St )δt2 δt3 θ1 δt+×+h+Sδ++ ett∂St∂St ∂t∂St226Ã1 ∂ 3 C(t, St ) 2δt2 δt3 θ1 δt+Sδ++ ett2 ∂St326Ãδt2 δt3 θ1 δt× 1 + δt ++ e26!Ãr2 h2 θ2 rhB1 (h, δt ) = 1 − rh +e2Ã!δ2 δ31× δt + t + t eθ1 δt h +2621+6"Ã!2+ B1 (h, δt ) St ×)∂C(t, St )St =−C(t, St ) +∂St! (ÃÃ∂ 2 C(t, St ) ∂ 3 C(t, St )−∂St ∂t∂St2 ∂t!!Ã!Ãδt2 δt3 θ1 δt∂ 3 C(t2 , s2 ) ∂ 4 C(t5 , s5 )2−Sδ++ e+3tt∂St2 ∂t∂St3 ∂t26ÃSt ×∂ 2 C(t, St ) ∂ 3 C(t, St ) 2−h+∂t2∂St ∂t2∂ 3 C(t, s1 ) ∂ 4 C(t, s4 )δt2 δt3 θ1 δt3−Sδ++ ett∂St3∂St426Ã!!Ã!3+!2h+!∂ 3 C(t3 , s3 ) ∂ 4 C(t6 , s6 )δt2 δt3 θ1 δt 2+3−St δt ++ eh+∂St ∂t2∂St2 ∂t226!Ã∂ 3 C(t1 , St ) ∂ 4 C(t4 , St ) 3−+h∂t3∂St ∂t3t1 , .

. . , t6 ∈ [t, t + h],#), гдеs1 , . . . , s6 между St и St+h .(Ã!1∂C(t, St ) ∂C(t, St )δ2 δ3=−rhC(t, St ) + h+St δt + t + t eθ1 δt +Bt∂t∂St26Ãδt2 δt3 θ1 δt1 ∂ 2 C(t, St ) 2Sδ++ e+tt2 ∂St226Ã!!2−Ã∂C(t, St )St ×∂St!δ2 δ3∂C(t, St )∂ 2 C(t, St )× δt + t + t eθ1 δt + rh−hSt ×26∂St∂St ∂tÃ!"Ãδt2 δt3 θ1 δtδt2 δt3 θ1 δt∂ 2 C(t, St ) 2+ e−St δt ++ e× 1 + δt +26∂St22613!+Ã1 ∂ 3 C(t, St ) 3δt2 δt3 θ1 δt+Sδ++ ett2 ∂St326!2  Ã!)23δδttθδ 1 + δt ++ e 1 t + B2 (h, δt ) =2"6Ãr2 h2 θ2 rh∂C(t, St )δ2 δ3eC(t, St ) −St 1 + δt + t + t eθ1 δtB2 (h, δt ) =2∂St26Ãr2 h2 θ2 rh+ −rh +e2!(ÃÃ× δt +δt22+δt3 θ1 δt6!e!2 Ã− h!∂ 2 C(t, St ) ∂ 2 C(t, St )+St ×∂St ∂t∂St2Ã3δt2δt3 θ1 δt1 ∂ C(t, St ) 2St δt ++ e2 ∂St326+Ã×St+δ2 δ3∂C(t, St ) ∂C(t, St )St δt + t + t eθ1 δt +h+∂t∂St261 ∂ 2 C(t, St ) 2δt2 δt3 θ1 δt+Sδ++ ett2 ∂St226Ã!#δt2 δt3 θ1 δt1 + δt ++ e26!2+ B1 (h, δt ) ×!),# "1 ∂C(t, St ) 1 2 2 ∂ 2 C(t, St )∂C(t, St )=−+ rSt+ σ Sth −rC(t, St ) +Bt ∂t∂St2∂St2{z} |по лемме 2h∂ 2 C(t, St ) 1 ∂ 2 C(t, St ) 2 2∂ 2 C(t, St )− σ 2 St2+Sδ−hSt −t t2∂St22 ∂St2∂St ∂t=0Ã3δt2∂ 2 C(t, St ) 2Sδ+−tt∂St22St=−Bt(!Ã)1 ∂ 3 C(t, St ) 3 2−St δt + B(h, δt ) =2 ∂St3!∂ 2 C(t, St )h 2∂ 2 C(t, St )2Sσ+δ+δ+h+ttt∂St22∂St ∂t)1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2St δt + B(h, δt ), где+2 ∂St31B(h, δt ) =Bt(Ã!Ã!δ2 δ3∂C(t, St )∂ 2 C(t, St )rh−hSt δt + t + t eθ1 δt +∂St∂St ∂t26Ãδt2 δt3 θ1 δt∂ 2 C(t, St ) 2  δt3 θ1 δt 1 δ++B2 (h, δt )−Se−+ ett∂St2622614!2− δt2  −Ã!3 Ã!223231 ∂ C(t, St ) 3 δtδt θ1 δtδtδt θ1 δt2−Sδ++e+δ++e−δ.tttt2 ∂St326263Таким же образом, как и в лемме 3, доказывается что|B(h, δt )| p−→ 0 при h −→ 0.hч.т.д.Лемма 5∆Dt = −1 ∂ 2 C(t, St ) St2 2(δ − σ 2 h) + Ct (h),2 ∂St2Bt t|Ct (h)| p−→ 0hгдеприh −→ 0.Доказательство.∆Dt =∆βt −∆βt∗St=−Bt)(µ¶∂ 2 C(t, St )3 2∂ 2 C(t, St )Sδ+δ+h+tt∂St22 t∂St ∂tSt1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2St δt +A(h, δt )++32 ∂StBt(Ã!h 2∂ 2 C(t, St )Stσ + δt + δt2 +2∂St2)∂ 2 C(t, St )1 ∂ 3 C(t, St ) 2 2St δt − B(h, δt ) =+h+∂St ∂t2 ∂St3=−1 ∂ 2 C(t, St ) St2 2(δ − σ 2 h) + Ct (h),2 ∂St2Bt tгде Ct (h) = A(h, δt ) − B(h, δt ),|Ct (h)||A(h, δt )| |B(h, δt )| p≤+−→ 0 приhhhh −→ 0.ч.т.д.Лемма 6E(D(h)) −→ 0,D(D(h)) −→ 0Доказательство.15приh −→ 0.D(h) =ED =TX−ht=0(TX−hTX−h(∆βt − ∆βt∗ ).∆Dt =t=0t=0)1 ∂ 2 C(t, St ) St2 2E −(δ − σ 2 h) + Ct (h) =2 ∂St2Bt tВ силу независимости St и δt имеем:=TX−ht=0)(31T1∂ 2 C(t, St ) St2E(δt2 − σ 2 h) + O(h 2 ) = O(h 2 ).− E2{z} h2∂StBt |a2 h2Обозначим ft (h) = − 21 ∂D2 (h) ="T −hX2 C(t,S )t∂St2St2 2(δBt t− σ 2 h), тогда#2(ft (h) + Ct (h))=t=0+2XTX−h(ft (h) + Ct (h))2 +t=0(ft1 (h) + Ct1 (h)) (ft2 (h) + Ct2 (h)) =t1 <t2=TX−hft2 (h) + 2t=0ft (h)Ct (h) +TX−ht=0X+2TX−hft1 (h)Ct2 (h) + 2t1 <t2Ct2 (h) + 2t=0XCt1 (h)ft2 (h) + 2t1 <t2Xft1 (h)ft2 (h)+t1 <t2XCt1 (h)Ct2 (h).t1 <t2DD = ED2 − (ED)2 = ED2 + O(h).ED2 =TX−ht=0=TX−ht=0+´Ã1  ∂ 2 C(t, St )E4 ∂St2Xt1 <t2!2E(ft1 (h)ft2 (h)) + O(h) =St4 22 2(δ−σh)+ O(h)+Bt2 t()∂ 2 C(t1 , St1 ) ∂ 2 C(t2 , St2 ) St21 St22 2E(δ − σ 2 h) E(δt22 − σ 2 h) =2∂St2∂St2Bt1 Bt2 t1|{z}X 1t1 <t2³E ft2 (h) + 2a2 h2Ã!−h ∂ 2 C(t, S ) 2 S 4 1 TXttE(δt4 −2δt2 σ 2 h+σ 4 h2 )+O(h) = O(h), т.к.=E4∂St2Bt2 t=016E(δt4 − 2δt2 σ 2 h + σ 4 h2 ) = Eδt4 − 2σ 2 hEδt2 + σ 4 h2 == 3σ 4 h2 + 6σ 2 a2 h3 + a4 h4 − 2σ 2 h(σ 2 h + a2 h2 ) + σ 4 h2 == 2σ 4 h2 + 4σ 2 a2 h3 + a4 h4 = O(h2 ).ч.т.д.Доказательство теоремы тривиальным образом вытекает изнеравенства Чебышёва.Литература1.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.2. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1992.3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Т.1. М.:Наука, 1969.4. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.5.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Изд-во ФАЗИС, 1998.17.

Характеристики

Список файлов лекций