13 (810784)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 12. Теория сверхпроводимости ГинзбургаЛандау.«В действительности всё обстоит нетак,как на самом деле»Станислав Ежи Лец.1. Параметр порядка сверхпроводника. 2. Функционал ГинзбургаЛандау. 3. Уравнения Гинзбурга-Ландау. 4. Длина когерентности илондоновская глубина проникновения. 5. Эффект Мейсснера. 6. Квантование потока. 7. Поверхностная энергия границы раздела. 8. Абрикосовский вихрь.

9. Верхнее и нижнее критические магнитные поля.10. Критерий применимости теории Гинзбурга-Ландау.1. Параметр порядка сверхпроводника..Теория Бардина-Купера-Шриффера удачно описываетспектр возбуждений и термодинамику сверхпроводника, ностановится громоздкой и неудобной при описании его электродинамики. Для этих целей гораздо более адекватной и эвристически ценной оказалась феноменологическая теорияГинзбурга-Ландау, созданная задолго (1950) до теории Бардина-Купера-Шриффера. Эта теория является частным случаем общей теории «среднего» поля и обладает огромнойпредсказательной силой.Теория Гинзбурга-Ландау основываетсяна смелом эвристическом предположении: сверхпроводящий переходописывается параметром порядка, который в данном случаеявляется конденсатной волновой функцией куперовских пар  r  . Также, как и для бозе-конденсата (см. Лекцию 10), онаедина для всех пар сверхпроводника.

Кроме того, она пропорциональна комплексной энергетической щели или «аномальному среднему». Действительно, выше мы видели(11.11), что щель пропорциональна среднему от операторауничтожения куперовской пары  ns . В самом простомслучае изотропного сверхпроводника (кубическая симметриярешётки) удобно выбирать нормировку   r  на плотностьсверхпроводящих электронов ns : r  ns ie2(12.1)Таким образом, параметром порядка является комплексноечисло, то есть он − двухкомпонентен.2.

Функционал Гинзбурга-Ландау.Применим теорию среднего поля к сверхпроводящемупереходу в присутствии магнитного поля. Вблизи температуры перехода  и  малы, и  - потенциал, как обычно,может быть разложен в ряд. Нужно только учесть два обстоятельства. Во-первых, следует учесть кинетическую энергиюсверхпроводящих электронов. Плотность кинетической энергии в квантовой механике может быть представлена как2(i  e / c) / 2m . Во-вторых, в общем случае распределения (r),  (r) по образцу неоднородны, и  - потенциал становится функционалом  s   s [ (r ),  (r )] . Итак,s [(r),  (r)]  n 2b 4 12e(  )2 (12.2)2    2   4m i  c   8 dVЗдесь, как обычно,   a T  Tc  и мы заранее учли, что носителями заряда являются куперовские пары m  2 m ,e  2e .В однородном случае   r   const в отсутствии полявнутри образца    0  функционал (12.2) превращается вобычную функцию.

Минимизация этой функции,потенциала, как и ранее (см. Лекцию 9), даёт02 a T  Tc ,b0,T  Tc-(12.3)T  TcЭто позволяет найти концентрацию сверхпроводящих электронов  02 ns / 2 . Например, при нулевой температуреполучаем оценку ns  2aTc / b . Далее, «выигрыш» в энергиисверхпроводящей фазы в отсутствии внешнего поляn   s    0   V  2 / 2b может быть скомпенсирован«проигрышем» энергии из-за помещения образца во внешнеемагнитное поле  n   s     V c2 / 8 .

Действительно,поскольку в силу эффекта Мейсснера   0 сверхпроводник– идеальный диамагнетик    / 4 , то его дополнительная энергия из-за поля равна  d    2 / 8 . Это0дает величину «термодинамического» критического поля c2 4 2 (Tc  T ) 2b(12.4)И, наконец, выигрыш энергии сверхпроводящей фазы мыможем рассматривать как энергию конденсации куперовскихпар. Поскольку энергия пары 2 , а образуются они из электронов, расположенных в слое толщины  вблизи энергии22Ферми  F , то  / 2b   ns /  F .

Это позволяет при нулевой температуре получить еще одно соотношение между ко222эффициентами a / b  2 0 ns /  F Tc  ns /  F .3. Уравнения Гинзбурга-Ландау.В общем случае распределение   r  и   r  в образце неоднородно и Ω-потенциал становится функционалом.Чтобы найти его минимум нужно проварьировать (12.2) по*  r  ,   r  и   r  . Варьировать по *  r  ,   r можно независимо потому, что у комплексного числа две«степени свободы».

В первом случае получаем S   dV    b    2(12.5)1 2e2e 0ii4m ccДля того, чтобы избавиться от слагаемого типа C , егонужно проинтегрировать по частям и воспользоваться теоремой Гаусса C dV     CdV    CdS(12.6)Тогда, в преобразованном уравнении (12.5) интеграл по объёму дает первое уравнение Гинзбурга-Ландау, а интеграл поповерхности – граничное условие к нему21 2e   b   i      04m c2e i    n  0c2(12.7)(12.8)Граничное условие (12.8) означает, что сверхпроводящий токчерез границу сверхпроводника равен нулю.Действуя аналогично, варьируем (12.2) по  (r ) : 1  2e 2e      i    c 4m  cS   dV 1 2e2e        i        04m c4 cС помощью соотношения(12.9)  ( )    (  )    (  )(12.10)объемный интеграл от последнего слагаемого в (12.9) приводится к виду dV    dV    dS (12.11)Поверхностный интеграл в (12.11) равен нулю, посколькувариация векторного потенциала на границах образца обращается в ноль   S  0 .

Окончательно, из (12.9) получаемвторое уравнение Гинзбурга-Ландау: 4jS ,cie 2e 22jS         2mmc(12.12)4. Длина когерентности и лондоновская глубина проникновения.Раз есть два уравнения, то в них есть два характерныхмасштаба длины, на которых существенно изменяются  и . Это длина когерентности  и лондоновская глубинапроникновения магнитного поля  .24m a T  Tc (12.13)mc 2b8 e2 a T  Tc (12.14)2 2 Видно, что вблизи фазового перехода  ,   Tc  T 1/2этимасштабы неограниченно возрастают.

Тогда, для безразмерного параметра порядка    /  0 , где  0 параметр порядка в глубине образца (12.3), уравнения Гинзбурга-Ландауiможно записать как,    e :22 2(12.15)  i         00 22 2        0  (12.16)2где  0   c / e  2 107 Гс  см 2 квант магнитного потока.25. Эффект Мейсснера.«Возьмём» ротор от обеих частей (12.16). Тогда, с учётом      ,    0 , достаточно глубоко «в теле»сверхпроводника, где 2 1 получаем уравнение Лондонов      0 . Из этого уравнения видно, что внешнееполе экспоненциально затухает вглубь сверхпроводника  0 exp   z /   , на глубину  , что и является основани22ем её наименования.6. Квантование потока.Выражение для сверхпроводящего тока удобно представить в виде2c   0jS    2 4  2(12.17)Рассмотри сверхпроводник с дыркой, топологическинеодносвязный образец, в котором «заморожен» некоторыймагнитный поток.

Этот поток создаётся сверхпроводящимитоками, текущими по внутренней поверхности полости. Чтобы вычислить этот замороженный поток, возьмем контур,охватывающий дырку и проходящий глубоко     в объёме сверхпроводника, где 2 1 и jS  0 . Проинтегрируемпо этому контуру обе части (12.14)02   d l     d l(12.18)Таким образом, магнитный поток в дырке квантован и содержит лишь целое число квантов потока   n 0 (Лондон,1954). Экспериментальное обнаружение квантования магнитного потока (Дивер, Фаирбэнк, 1961) позволило измерить 0 и подтвердить, что переносчики тока имеют заряд 2e .7. Энергия границы раздела между сверхпроводящей инормальной фазами.Выше мы видели, что «термодинамическое» критическое магнитное поле c определяется, коэффициентами разложения  -потенциала, а значит может быть выражено через характерные длины  и  :c 02 2(12.19)Однако, наличие двух характерных длин в задаче показывает, что сверхпроводники бывают разные,       и      рода.

И, в зависимости от рода, они по-разномуреагируют на внешнее магнитное поле. Это происходит потому, что энергия границы раздела (поверхностное натяжение) между сверхпроводящей и нормальной фазами  усверхпроводников  рода положительна   0 , а у сверхпроводников  рода отрицательна   0 . Рассмотрим этоподробнее.Пусть плоская NS граница разделяет фазы так, что далеко слева – нормальная. Поскольку NS граница покоится,фазы находятся в равновесии; это значит, что магнитное поле(  границе) равно термодинамическому критическому полюc .

Посмотрим, как изменяется плотность свободной энергии вглубь сверхпроводника. Благодаря наличию упорядо-ченных сверхпроводящих электронов она падает на c2 / 8на масштабе   . В то же время, мейсснеровские токи создают намагниченность, уничтожающую внутреннее магнитное поле, что приводит к увеличению плотности свободнойэнергии на c2 / 8 на масштабе   . Поскольку поверхностное натяжение  это интеграл от плотности свободнойэнергии по поперечной координате z , то ясно, что c2    , где   1 число порядка единицы, кото8рое необходимо установить точным расчётом (   2) . Таким образом, в сверхпроводниках  рода при определённыхусловиях может быть выгодно возникновение смешанногосостояния.8. Абрикосовский вихрь.Итак, сверхпроводнику с отрицательной поверхностной энергией выгодно в определённом интервале полей перейти в «смешанное» состояние, частично пропуская черезсебя магнитный поток.

Это происходит благодаря возникновению абрикосовских вихрей.Одиночный вихрь представляет собой узкий    нормальный «кор», вокруг которого текут незатухающие токи на масштабе   . Тогда всюду вне «кора» можно считать2  1 и из (12.8) получаем 2   0   2(12.20)или, взяв ещё раз ротор от обеих частей: 2    02(12.21)точке  плоскости, кроме центра вихря  0 ; но в центре находится особая точка. Чтобынайти эту особенность, вычислимВлюбой dS     d l  2 n(12.22)Поскольку самой низкой энергией обладает вихрь с n  1 , тонаше уравнение (12.18) выглядит как 2         0 2  r  e z(12.23)Где e z − единичный орт оси z , а  2  r  − двумерная дельта–функция. Проинтегрируем (12.23) по поверхности, натянутойна круговой контур радиуса r :(12.24)  dS   2    d l  Φ0Если r   , то сверхпроводящими токами js c B и4вторым интегралом можно пренебречь.

Это значит, что полный поток вихря равен Φ 0 . Если   r   , то пренебречьможнопервыминтегралом.Учитывая,чтодля  0, 0,   r  ротор поля вращается по кругу в плоскости( x, y )иравен d  / dr ,из(12.24)получаем01ln  const . В этом приближении поле обра22r0ln . Этощается в ноль при r   , так что   r  22rвыражение справедливо вплоть до «кора» вихря r   , так r что, поле в центре вихря с логарифмической точностью равно  0 0ln229. Верхнее и нижнее критическое магнитное поле.(12.25)Таким образом, у сверхпроводников  рода разрушение сверхпроводимости магнитным полем происходит в дваэтапа. Если внешнее магнитное поле меньше нижнего критического поля c1 , то сверхпроводник ведёт себя так же, как исверхпроводник  рода, обнаруживая идеальный диамагнетизм (полный эффект Мейсснера,    / 4 ).

Вышеc1 становится выгодным проникновение с поверхностивглубь образца вихрей Абрикосова, которые образуют в материале устойчивую треугольную решётку и уменьшаютнамагниченность. При увеличении внешнего поля вихреваярешётка становится всё плотней, и при верхнем критическомполе c 2 «коры» вихрей сливаются. Образец полностью переходит в нормальное состояние.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций