11 (810782), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Действительно, в большомканоническом ансамбле вероятность системе находиться всостоянии с энергией En и числом частиц N n естьn  eEn   N nT6(10.7)Мы видим, что в показателе экспоненты на месте энергиистоят собственные значения En   N n оператора «эффективного» гамильтониана Hˆ   Nˆ . Ясно, что при T  0единственно возможным остается основное состояние (10.6)с наименьшим En   N n .

Можно то же самое сказать иначе.В большом каноническом ансамбле равновесие достигаетсяпри минимуме Ω-потенциала   E  TS   N . Это означает, что при T  0 минимальной должна быть величинаE  N .7. Слабые возбуждения конденсата.Имея ввиду использовать далее большое каноническоераспределение с заданными T , V ,  , перейдём к «эффективному» гамильтониану p2   aˆp aˆp Hˆ   Nˆ   p  2mUaˆ p1 aˆ p2 aˆp1 aˆp2 02V p1 p2 p1 p2(10.8)В основном состоянии идеального бозе-газа при T  0 всечастицы находятся в конденсате N 0  N , состоянии с нулевым импульсом p  0 .

В слабонеидеальном газе даже принулевой температуре часть частиц «выдавливается» из конденсата взаимодействием («истощение» конденсата), но ихчисло мало N  N 0  N . По этому параметру, а не по U 0 ,Боголюбов и устроил свою теорию возмущений. То, чтоaˆ 0aˆ0  N 0 − макроскопическое число  N 0  N  1 означает, что коммутатор aˆ0 aˆ0  aˆ0 aˆ0  1 мал по сравнению с са7мими операторами â0 и â0 . Это значит, что 1 в правой частиможно пренебречь, а операторы считать с-числами.(10.9)a  a  N000Тогда в гамильтониане (10.8) конденсатные операторы нужно заменить на (10.9).

Гамильтониан разложится на слагаемые по степеням малых величин âp и â p с p  0 . При этомглавный вклад дают процессы взаимодействия конденсатныхи надконденсатных частиц, а процессами рассеяния надконденсатных частиц друг на друге можно пренебречь.Реализуем эту программу на деле.

Рассмотрим слабонеидеальный бозе-газ при температуре, значительно меньшейтемпературы бозе-конденсации идеального газа T  TB . Тогда, пренебрегая в (10.8) надконденсатными частицами( N 0  N ), для «эффективного» гамильтониана получаемU NHˆ   Nˆ    N  02V2(10.10)При низкой температуре, когда число возбуждений мало, состояние системы близко к основному, которое в большомканоническом ансамбле определяется вариационным принципом (10.6). Минимизируя (10.10) по N при фиксированном  , получаем для химического потенциалаU0 NV(10.11)Поскольку при нулевой температуре «эффективный» гамильтониан равен Ω-потенциалу системы 0  U 0 N 2 / 2V , сразу получаем давление неидеального бозе-газа при T  0 игидродинамическую скорость звука в нем8c2 P  0  U 0 NV (mN )  V  mV(10.12)Ограничимся далее только членами второго порядкамалости по âp , â p .

Членов первого порядка по âp , â p в(10.8) нет в силу закона сохранения импульса. Получаем«эффективный» гамильтониан, квадратичный по операторамâp , âp NU 0 p 2  N 2U 0 Hˆ   Nˆ   aˆp aˆp 2V2m p0  VNU 02V  aˆ aˆp0 p p(10.13) aˆp aˆp Изложенную процедуру разложения гамильтониана на частипо степеням операторов рождения и уничтожения надконденсатных частиц при желании можно изобразить в виде картинок (диаграмм Фейнмана). Главный член разложения – это«четыреххвостка» взаимодействия между частицами конденсата, то есть рассеяние двух конденсатных частиц друг надруге.

Следующие, квадратичные члены разложения описывают рассеяние конденсатной частицы на надконденсатной,уход двух надконденсатных частиц в конденсат и, обратно,рождение двух надконденсатных частиц при столкновениидвух частиц конденсата.Полученная форма гамильтониана имеет ясный физический смысл. Первое слагаемое в (10.13) представляет собойсобственную энергию частиц конденсата. Второе слагаемое –это сумма одночастичных энергий (кинетических плюс потенциальных) надконденсатных частиц в среднем поле конденсата. Наконец, третье слагаемое представляет собой аномальные члены, связанные с рождением и уничтожением пар9конденсатных частиц.

Эти аномальные члены страшно похожи на недиагональную квадратичную форму, которую так итянет диагонализовать при помощи линейного преобразования. Такое преобразование и придумал Боголюбов.8. Преобразования Боголюбова.«И катали его, щекотали его,Растирали виски винегретом,Тормошили, будили, в себя приводилиПовидлом и добрым советом.»Льюис Кэрролл,«Охота на снарка»,Знаменитые « u  v преобразования» Боголюбова линейны и смешивают операторы частиц, уходящих в конденсат и покидающих егоaˆp  upbˆp  vp bˆpaˆp  up bˆp  vp bˆ†p(10.14)Для того, чтобы новые боголюбовские операторы b̂p , b̂p бы-ли операторами рождения и уничтожения квазичастиц, нужно потребовать, чтобы преобразования (10.14) были каноническими: сохраняли форму коммутационных соотношений[bˆp , bˆp ]  1 и, следовательно, уравнений движения Гейзенберга.

Вместе с требованием диагональности гамильтонианав новых переменных, это однозначно определяет up и vpup2  (1  Ap2 ) 1/2 ,vp2  Ap2 (1  Ap2 ) 1/2 ,p2Ap  ( ( p )  mc 2 ) / mc 2 .2m10(10.15)В новых переменных «эффективный» гамильтониан принимает видN 2U0 1 p2 NU Hˆ  Nˆ     ( p)   0  2V 2 p0 2m V (10.16)  p bˆ bˆp0p pгамильтониана новых, не взаимодействующих квазичастиц.Это коллективные возбуждения слабонеидеального вырожденного бозе-газа со спектром2 p2 (10.17)  p  c p   2m В длинноволновом пределе p  0 квазичастицы представ22ляют собой кванты боголюбовского звука со скоростьюc  NU 0 / mV , а при больших импульсах получается квадратичный спектр свободных частиц.

Таким образом, в области малых импульсов слабое взаимодействие бозонов приводит к кардинальной перестройке спектра элементарных возбуждений. При этом оказывается выполненым условиесверхтекучести.Роль критической скорости играет здесь скорость боголюбовского звука Vc  c . Из приведенного анализа перестройки спектра возбуждений ясно, что явление бозеконденсации играет решающую роль для возникновения явления сверхтекучести.9. Число надконденсатных частиц.Первое слагаемое в (10.16) определяет в главном приближенииэнергиюосновногосостояниясистемы2E0  N U o / 2V , а ее производные – химический потенциал11  NU 0 / V , давление P0  E0 / V и гидродинамическую скорость звукаP0 /   NU 0 / mV .

Как отмечалосьвыше, гидродинамическая скорость звука квантовой жидкости совпадает с фазовой скоростью элементарного возбуждения.Статистическое распределение элементарных возбужденийbˆp bˆpдается формулой бозе-распределения с нуле-вым химическим потенциалом1bˆp bˆp  p eT(10.18)1Распределение же по импульсам настоящих частиц квантовой жидкости aˆp aˆp легко вычисляется из (10.18) при помощи u  v преобразования Боголюбова (10.14). Функцияраспределения надконденсатных частиц по модулю импульсапри T  04 p 2 m 2 c 44 p aˆp aˆp 2(10.19)p2 2  p    p   mc 2 2m имеет характерный максимум при p  mc , а число надконденсатных частиц при нулевой температуре равноN  N0 V4 p3 2   02dpm2c 4p2 2  p    p   mc 2 2m 122 Vm3c 33 2   0Vt 2 dtt4t 42 2 t4t2  t  1 42 (10.20)3 mU 0  2Nm cN3V 3 2 33   3 3Таким образом, даже при нулевой температуре происходит«истощение» конденсата, уменьшение числа его частиц наотносительную величину N 1/2  mU 0 3/2/ 3 2 3 .

Отметим,что именно по этому малому параметру устроена наша теория возмущения, а вычисления ограничиваются первым неисчезающим слагаемым разложения. Неаналитичность этоговыражения по U 0 показывает безнадежность попыток решить задачу в рамках теории возмущений, путем разложенияврядпомалому«газовому»параметру1/31/3 2mN U 0 / V   NU 0 / VTB  1 , характеризующему слабость взаимодействия.10. Плотность нормальной и сверхтекучей компоненты.Глядя на критерий сверхтекучести (10.2), возникаетдурацкий вопрос: а как же обычная вода «из-под крана», ведьдля неё этот критерий тоже выполнен.

Чтобы ответить наэтот вопрос, рассмотрим ту же квантовую жидкость приT  0 . В этом случае жидкость не находится в основном состоянии, и в ней есть некоторое число элементарных возбуждений (фононов или ротонов). В этих условиях критерийостается в силе и новые возбуждения не могут появиться. Нонужно понять, как будут проявляться уже существующие при13T  0 возбуждения, в какой мере они будут делать жидкостьнормальной.Рассмотрим газ квазичастиц, движущийся как целоеотносительно жидкости со скоростью v .

Функция распределения для этого газа получается из распределения Больцмананеподвижного газа путем преобразования Галилея энергииквазичастицы  p   p  pv , где p − её импульс.Тогда функция распределения газа квазичастиц, дви1 p  pv жущегося как целое, есть nB    pv    exp 1 .TОтсюда видно, что критерий сверхтекучести является простоусловием положительности и конечности числа квазичастицдля всех их энергий. Полный импульс единицы объёма газаквазичастицPd 3p 2  3p  nB    pv (10.21)При малых скоростях можно разложить подынтегральное выражение по степеням pv . Член нулевого порядка исчезает при интегрировании по направлениям вектора p , аследующее слагаемое даетP  d 3p 2  3p  pv dnB   dЗдесь у нас получился интеграл вида(10.22) p  pv  f  p  d3p , товдольвектордлиныv12 24 4 p pz f  p  dp  3  4 p f  p  dp . Таким образом, послеусреднения по направлениям p , получаеместьнаправленный14P  v43  2  34 dpp0dnB   d(10.23)Действительно, Подставляя сюда спектр фононов   cp иинтегрируя по частям, получаем выражениеPv4E161dpp 3 nB  p   v фонон3 3c  2   03c 2(10.24)в котором легко узнаём энергию единицы объема фотонногогаза.

С учётом того, что в отличии от черного излучения, вжидкости у звука только одна (продольная) поляризация, получаем Eфонон   2T 4 / 30  c  . Коэффициент перед v в3(10.22) определяет массовую плотность жидкости, переносимой потоком газа квазичастиц. Они сталкиваются со стенками сосуда и обмениваются с ними импульсами, как это происходит в обычной вязкой жидкости. Понятно, что соответствующая часть массы жидкости ведёт себя, как нормальная,вязкая жидкость. Но фишка в, том, что это не вся масса жидкости! Оставшаяся по массе часть ведёт себя как сверхтекучая жидкость:    n   s .

Характеристики

Список файлов лекций