10 (810781)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 9. Флуктуации.«В нормальный закон распределения ошибок верят все: правда, физики считают его математической теоремой, в то время как математики убеждены, что это твердо установленныйэкспериментальный факт»А. Пуанкаре.1. Термодинамические флуктуации. 2. Теория флуктуацийГиббса. 3. Теория флуктуаций Эйнштейна. 4.

Флуктуации параметра порядка. Корреляционный радиус. 5. Критерий Гинзбурга Леванюка. 6. Флуктуационная поправка к теплоёмкости.1. Термодинамические флуктуации.Равновесные термодинамические величины – это средние соответствующих динамических величин. Многочастичность системы приводит к флуктуациям динамических величин, то есть их отклонению от средних.Из «закона больших чисел» следует, что асимптотикаравновесных флуктуаций есть  N 1/ 2 .

Такие (малые) флуктуации называются термодинамическими, только их мы ибудем рассматривать в дальнейшем. Для оценки величиныфлуктуаций возможны два подхода. Статистический подход(Гиббса) основан на вычислении среднеквадратичных отклонений при помощи функций распределения различных ансамблей. Квазитермодинамический подход (Эйнштейна) использует принцип Больцмана для вероятности отклонения отмаксимума энтропии. При этом необходимо ясно понимать,что если для средних величин все ансамбли дают одинаковыерезультаты, то величины флуктуаций могут отличаться дляразличных ансамблей. Это связано с тем, что в каждом ансамбле фиксируются свои конкретные термодинамические1параметры.

Термодинамическая эквивалентность всех ансамблей относится к средним, но не к флуктуациям.2. Теория флуктуаций Гиббса.Каждый ансамбль соответствует фиксации конкретныхтермодинамических средних. Поэтому в данном ансамблеэти величины не флуктуируют, флуктуации испытываюттермодинамически сопряжённые им величины. В микроканоническом ансамбле ( E,V , N ) не флуктуирует ничего, поскольку его распределение  -образное. А вот остальные ансамбли позволяют вычислить все возможные флуктуации.Запишем средние E , N и V в каноническом (T ,V , N ) ,большом каноническом (T ,V ,  ) и ансамбле Богуславского(T , P, N ) ,соответственно:E   En  eF  EnT;(9.1)nN   N eN  N   EnN T;(9.2)nV   dV   V e PV   En (V  )T.(9.3)nДифференцируя эти выражения по T ,  и P соответственно, получаем:E 2  T 2  CV ; N N 2  T  ;  T V V 2  T  . P T2(9.4)(9.5)(9.6)Таким же образом получаются и перекрёстные флукту-Eполучаем:V P E  P  T 2  , T Vации (корреляторы).

Например, из(9.7)а если вычислить E , как среднее по ансамблю Богуславского, а потом продифференцировать по P , то получится N E  N  T 2  . T  P(9.8)3. Теория флуктуаций Эйнштейна.В отличии от подхода Гиббса, эта квазитермодинамическая теория является феноменологической. Квазитермодинамической она является потому, что процесс развития флуктуации полагается квазиравновесным.

Здесь работает тот жесамый старый приём, который уже дважды приводил нас куспеху: идея рассматривать систему, как часть большоготермостата. Система, хотя она и является малой частью термостата, является макроскопической; хотя и не находится вравновесии с термостатом, имеет определенные значениясвоих термодинамических величин. Для справедливости такого подхода необходимо, чтобы характерное время обменаэнергией и частицами между системой и термостатом  1 было велико по сравнению со временем собственной релаксации системы  2 .

Кроме того, поскольку мы рассматриваемтолько термодинамические флуктуации, нужно исключитьквантовые флуктуации средних. Соотношение неопределённостей требует для этого, чтобы неопределённость энергиисистемы ~  21 была мала по сравнению с T или, что то, жесамое, неопределённость энтропии была много меньше единицы  S 1 . Теперь мы можем считать, что наша система в3процессе флуктуации совершает переход из равновесного внеравновесное состояние. Это новое состояние, на самом деле является равновесным, просто с большим числом дополнительных внутренних параметров  n и сопряжённых имфиктивных сил n . Энтропия нового неравновесного состояния принимается равной равновесной энтропии во вспомогательном поле с потенциальной энергией n n , соответ-nствующей вкладу этих фиктивных сил во все термодинамические потенциалы. Новые параметры  n являются средними неких динамических величин Λ n по новому равновесному состоянию, которые-то как раз и флуктуируют.Теперь применим всю эту запутанную философию наделе.

Вероятность флуктуации любого из упомянутых вышепараметров Λ есть w( Λ )  e S П , где изменение энтропииполной системы мы уже вычисляли не раз:S П  E  PV  N  T S.T(9.9)Мы ожидаем, что изменение энтропии полной системыквадратично по отклонениям термодинамических величин,поскольку энтропия полной системы в равновесии достигаетмаксимума. Действительно, это так. Как мы видим, в (9.9) изE вычтена линейная по отклонениям S , V , N часть.Оставшуюся квадратичную форму можно представить в видеS П  ВэтомможноT S  PV  N.2Tубедитьсяследующим(9.10)образом:1f   ( x)2  ... . Если ввести переменную21y  f  , то f  y  x  x  y  ... .. У нас f – это E , а x2f  f   x 4- это (S ,V , N ) , причём f  – это (T ,  P,  ) .

Итак, вероятность флуктуации:weT S PV N2T(9.11).Ещё раз подчеркнём физический смысл этого результата.При флуктуации системы происходит неравновесное изменение S по E,V , N ... . Но есть другие внутренние параметры системы Λ n , которые также флуктуируют. Так что всёвместе в системе во время флуктуации происходит «квазиравновесно». Кроме того, важно подчеркнуть, что при флуктуации в системе какого-нибудь параметра Λ n вероятностьотклоненияw( Λn )  eТT(9.12),определяется изменением того термодинамического потенциала, который соответствует заданным условиям (ансамблю) F (T ,V , N , Λn ) (T , P, N , Λ )n.Т = (T,V,,Λ)n...(9.13)Это ещё раз подчёркивает, что вопросы устойчивости, максимальности энтропии и флуктуаций тесно связаны. Теперьвычислим конкретные среднеквадратичные отклонения икорреляторы.1) Рассмотрим систему в термостате с постояннымчислом частиц и с переменным объёмом V : P T  0 , N  0 , P   V , V T , N5(9.14) V V 2  T  , P T , N(9.15) V  является сжимаемостью. P T , Nгде производная 2) Рассмотрим систему в термостате с переменнымчислом частиц N и постоянным объемом:  T  0 , V  0 ,    N , N T ,V(9.16) N N 2  T  .  T ,V(9.17)3) Рассмотрим ещё формально, в духе замечания о замене переменных, флуктирующую температуру T : у системы заданы объем и число частиц V  0 , N  0 , но возможен обмен энергией с термостатом S S   T , T V , N(9.18)T 2  T 2  CV1 .(9.19)Перекрёстные флуктуации (корреляторы) получаются,если брать не по одной, а по две независимых переменных.И последнее замечание: в квазитермодинамическомподходе Эйнштейна выбор независимых переменных, описывающих состояние системы, произволен.

А в методе ансамблей Гиббса – нет. Поэтому в некоторых случаях предсказания этих двух теорий для корреляторов расходятся.Например, из принципа Больцмана следует, чтоV P  T , а по теории ансамблей V P  0 .4. Флуктуации параметра порядка. Корреляционныйрадиус.6Напомним основную идею теории «среднего поля»Ландау, сформулированную ранее (Лекция 8) для ферромагнетика. Разложение термодинамического потенциала по параметру порядка  можно производить и для F (T ,V , ) , идля (T , P, ) и т.д., но удобнее всего иметь дело с  потенциалом. Пусть вещество находится в объёме V и может обмениваться частицами с термостатом. Тогда, в самомобщем виде, разложение Ландау есть(T ,  , )  0 (T ,  )  Vat 2 Vb 4  Vh  ,2(9.20)здесь  0 (T ,  ) – часть  -потенциала, не связанная с переходом;  – параметр порядка; h – внешнее поле; a, b  0 –константы; t  T  Tc – температура.Равновесное (спонтанное) значение однородного параметра порядка определяется минимумом потенциала /   0 ,  at  b 2   0 ,(9.21) 0, t  0 симметричнаяфаза  a t, t  0, несимметричнаяфаза b(9.22)что даёт20Вприсутствииполявместо(9.21)имеем  h  2at  2b 3 ; и для восприимчивости    полу h h 0чаем:  2   2at   6b   1, h  h 7(9.23)1.2at  6b02(9.24)Это значит, что в точке перехода восприимчивость имеетособенность (закон Кюри - Вейсса): 1 2at , 1, 4a tt 0.t0(9.25)Теперь всё готово для того, чтобы рассмотреть флуктуации параметра порядка.

В соответствии с принципом Больцмана, вероятность флуктуации равна: (T ,V ,  , )T(9.26).w( )  eДля отклонения     0 с учётом максимальности потенциала получаем:1   2   const   2   2  ... ,2   0  22V  2at  6b02  V   2.2(9.27)(9.28)Для вероятности флуктуации и флуктуации параметра порядка получаем:V  22  Tcw( )  e,TT 2  c ~ c ,VaV t(9.29)(9.30)т.е., казалось бы, флуктуации параметра порядка вблизи Tcрасходится. Рассмотрим этот вопрос подробнее.8При T  Tc среднеквадратичное отклонение  2 растёт  t 1 . Казалось бы, рост флуктуаций должен ограничиться высшей степенью потенциала   4 .

На самом деле, болеесильное ограничение связано с тем, что вблизи T  Tc флуктуации становятся сильно пространственно неоднородными.В точке перехода T  Tc обращаются в нуль вторая итретья производные  . Возникают большие флуктуации,причем важно, что в реальных системах эти флуктуации ещёи различны в различных точках пространства. Сильная неоднородность системы приводит к необходимости ввести в  потенциал градиентные члены. Главными будут слагаемыепорядка  ( ) 2 , а  -потенциал превращается в функционал:(T ,  , )   0 (T ,  ) .(9.31)b2   at 2   4  c     h   dV2При приближении к точке перехода T  Tc слевафлуктуации велики, «дальний порядок» в системе исчезает ипространство разбивается на области неоднородности параметра порядка. Качественно представляется правдоподобным, что пространственный масштаб Rc неоднородностипараметра порядка (корреляционная длина), т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций