goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Дирак, К).Швингер, Ф. Дайсон и Р.Фейнман. Квантовая электродинамика сейчас прекрасно развита и служит образцом для построения других физических теорий, о которых мы расскажем ниже. С помощью квантовой электродинамики были рассчитаны многие электромагнитные явления, в частности, было уточнено значение ЗАключеиив 475 магнитного момента электрона. Измеренное на опыте значение, равное (1,001159652209х 0,31 10 'о)7!и, находится в прекрасном согласии с расчетным значением. которое было вычислено теоретически приблизительно с той же точностью.
Скажем несколько слов о физике макроскопических квантовых систем. Читатели уже познакомились с оптическими квантовыми генераторами и с основными представлениями физики твердого тела. Оба этих раздела современной физики исследуют свойства макроскопических систем, которые могут быть поняты только с помощью квантовых представлений.
Два других важных явления остались вне рамок пашей книги. Мы имеем в виду сверхтекучесть и сверхпроводимость. Как мы уже отмечали, оба эти явления связаны с бозе-конденсацией. Такая конденсация возможна только у частиц, подчиняющихся статистике Бозе— Эйнштейна, а значит обладающих целыми значениями спина. Все частицы бозе-конденсата обладают одной и той же волновой функцией, соответствующей нижнему, невозбужденному состоянию. Сверхтекучесть гелия (при температурах ниже 2,17 К) была открыта П.Л. Капицей в 1938 году. Первую теорию этого явления дал Л. Д. Ландау.
В соответствии с теорией было обнаружено, что сверхтекучестью обладает 4Не, имеющий нулевое значение спина, и не обладает зНе, спин атомов которого равен 1/2. Впоследствии было обнаружено, что при еще более низких температурах (ниже 2,6 10 з К) и высоких давлениях сверхтекучестью обладает и зНе.
Исследование этого вопроса показало, что в этих условиях атомы зНе объединяются в пары, обладающие нулевым спином. Сверхпроводимостью называется обращение в нуль электрического сопротивления некоторых веществ. Она была открыта в 19П году Х. Каммерлинг-Оннесом. Механизм сверхпроводимости связан с бозекондесацией электронов, переносящих электрический ток.
Ясно, что такая конденсация невозможна для отдельных электронов и может происходить только у электронных пар, обладающих целым (нулевым) спином. Долгое время механизм, связывающий электроны в пары не был ясеп. В !967 году Л. Купер, Д.
Шриффер и Д. Бардин показали, что такая связь возникает из-за взаимодействия электронов с фононами— квантами колебаний плотности кристаллической решетки. Более полную теорию сверхпроводимости создал Н. Н. Боголюбов. Прямые опыты подтвердили, что заряд переносчиков электрического поля при сверхпроводимости, действительно, равен 2е.
До 80-х годов были известны только ве!цества, переходящие в сверхпроводящее состояние при очень низких температурах — не выше 20 К. Получать и поддерживать такие температуры трудно и дорого, поэтому техническое применение свехпроводящих материалов оказывалось 476 ЗАключвпня невыгодным. В !987 г. было обнаружено, что некоторые керамики (из них наиболее известно керамическое оксидное образование Еанз8го аСцО) сохраняют сверхпроводимость до температур порядка 90 — !00 К, превышающих температуру кипения жидкого азота, равную?7,8 К. Не видно теоретических оснований, которые запрещали бы существование сверхпроводимости при еще более высоких температурах, вплоть до комнатных.
Если окажется, что при комнатных или даже при азотных температурах снерхпроводимость может быть получена у каких-либо стабильных материалов, обладающих приемлемыми технологическими свойствами, то следует ожидать революционных изменений в технике. В этой книге мы дали краткую и по необходимости неполную картину современной квантовой физики. Главное, на что нам еще раз хотелось бы обратить внимание, заключается в универсальности того нового понимания устройства нашего мира, которое принесла с собой квантовая механика. Основные ее идеи: волновая природа частиц, вероятностное описание их состояний (описание с помощью гнфункций и операторов), принцип неопределенности, идеи квантовой статистики — оказались применимы не только к электронам (как вначале казалось), но и к атомным ядрам, к элементарным частицам, к макроскопическим системам, ко всему окружающему миру.
Дальнейшее развитие теории привело к углублению, а не к замене этих представлений. Путь к изучению современной физики в этой книге только начат. Мы желаем читателям успехов па этом плодотворном, но нелегком пути. ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Среднее значение проекции импульса Выведем формулу (2.13). Согласно (2.12) среднее значение проекции импульса равно (р.) = ~ с;„р.,с, (1) где С вЂ” коэффициент разложения Ц-функции по волнам де Бройля. Заменим С и С;„с помощью формулы (2.10): А (р,„) = ~ / ф (х) ехр(1 — х) дхх , 2Л,~, х р ~ Е(х ) екр( - з — х ) с(х = ттйЛ Л/ — — ) ф" (х)р, зй(х') акр[1 — '"(х — х')~ г(х'Йх. — л — А Как нетрудно проверить непосредственным вычислением, это выражение может быть записано в виде А А (р ) = / Е (х)( — (Ь вЂ” ) 2 — / 4;(х ) сир[1 — (х — х )~ т)х т(х.
(2) Вычислим сумму, входящую в (2), обозначив ее через У(х): У(х) = ~ —, Ц~(х )ехр[1 — (х — х )1 Йх = 2Л,/ Ь вЂ” л л !!п1 ~~ — 1 Е(х ) акр!з — (х-- х )~ с(х. и- 2Лу ' [ й — -л ПРИЛОЖЕНИЯ Заменим р с помощью (2.9) и внесем знак суммы под интеграл (с конечной суммой это всегда можно сделать, а с бесконечной суммой — не всегда) л М В(х) = !пп —, / 4~(х ) ~ ехр~ ' (х — х )~ Вх. (3) — л — ы Вычислим сумму, вкодяпгую в (3), введя для краткости обозначение о = г(х — х )гГА (4) ехр~ (х — х)~ = ~~ е"" =е ' "+е * "Ч-...—,е" А !змею, — ма(1+ а, 2 а + ям~ ) — мае — 1 е' — 1 з!п((Ф Ч- 1/2)а~ в(п((йг+ 1Г2)( г(А)(х — х')~ (5) ып(а/2) вш[(я/2А)(х — х')] Нас интересуют очень большие — в пределе бесконечно большие — значения ДГ.
Во всей области изменения х', кроме ближайшей окрестности х, выражение (5) быстро осциллирует, и интеграл в выражении (3) обращается в нуль всюду, кроме окрестности точки х. При очень малых х — х', когда дг(я,!А)(х — ту) С< 1, синусы в числителе и знаменателе могут быть заменены своими аргументами и выражение (5) приобретает впд (Ут' —,. 112) (я!А) (х — х') =- 2г"т'+ 1. (я/2А) (х — х') Это выражение при больших !У очень велико. Такнм образом, при больших !У в интеграле (3) становится все более существенной окрестность точки х и все менее существенной вся остальная область изменения х'. Нас интересуют предельно большие значения Я. В интеграле (3) ф(х') может быть поэтому заменена на ть(х): л У(х) = 11пг — гэ(х) ~ ~ ~еяр(~~™(х — х')~ Йх' = = — гг гг л = ~(х) !пп — ~ / екр~ " (х — х )~ г(х .
(6) гч= — гг ПРиложеыия Рассмотрим интегралы, которые суммируются в выражении (6), При т тс О 2~ екр( (х — т )1 Йх .= ехр( ' х)), ехр( — 'х)) — А = ехр( птх) . (ехр( — тгтп) — ехр(-,гапЦ) = О. А г — тпгп Пригн=О А А техр['~"~(х — х )1 дх = / с(х = 2А. Имеем поэтому (7) У(х) = 11тп — ф(х) 2А = ф(х). и- 2А В этом выражении предельный переход Ж -ч оо оказался ненужным.
Мы использовали переход к пределу в неявном виде при замене 2р(х ) на 1а(х). Эта замена при любом конечном йй является приблизительно правильной, а при Я - ж оказывается точной. Подставляя (7) в (2), найдем окончательно (р~) = / ф*(х)( — 1н — 1 Ях) дх, что и требовалось доказать. дт дх 11. Радиальная часть оператора Лапласа Покажем, что оператор Лапласа в сферических коордннатак для случая, когда функция зависит только от г, выражается формулой (4.3). В декартовых координатах оператор Лапласа имеет следующий вид: д д д Ь = — + — ч- —.
д 2 д 2 д 2 Перейдем от производных по х, у, 2 к производным по г. Учтем, что г =х -Ру -'-2. 2 2 2 2 Дифференцируя это равенство, получаем дг(дх — х/г, дг(ду —... у(г, дг(дз.—.. 2,1г. Заменим первые производные по х, у, . производной по г: д дгд хс( д Ус( д зс( дх дх дг Рй ' ду " сТг' дз г дг' ПРиложеыия 480 Найдем вторые производные д д Гхасы 1д хй г( хдг И~ ()хз Дх(,г гй ) "Ь гз г(х сЬ г дх г(гз г ) г,(з — — — — — — — (10) Аналогично да 1 г( Р г1 У г)~ 0рз " г( гз г(г (10') ог 1 ) зз,) а г(з Чзз г й;т и гз с(гз' (1О") Суммируя ПО), (10') и (10") с учетом (9), находим 02 02 92 8 ( 1 ( (2 (3 (П) дх' дц' дз' й " йг и" йд " й. Таким образом, мы получили выражение (4.3): Р 2г( г,'ь = — + — —.
1,2 гй' 111. Уравнения движения связанных маятников Производные (д(ГГдх)о, ..., (д~н/др~)о берутся в точке хо, уо и являются чис- лами. Покажем, что в формулах (12.2) догюлнительные члены ох и ор должны иметь одинаковые коэффициенты о. Будем характеризовать отклонение первого маятника координатой х, а отклонение второго маятника — координатой р. Силы, действующие на маятники, описываются потенциальной энергией, зависящей, вообще говоря, от координат обоих маятников, так что потенциальная энергия системы П .= П(х, р). Разложим П в ряд по х и и. Для малых колебаний достаточно ограничиться членами до второго порядка включительно: 481 ПРнложеыия Сила, действующая на каждый из маятников, равна взятой с обратным знаком производной потенциальной энергии по соответствующей координате: (13) Примем за точку разложения положение равновесия маятников. В точке ло —— = уо = О силы должны обратиться в нуль.
Имеем поэтому (14) (д(т~дл)о = (д(7/ду)о = О Уравнения движения маятников получим, подставляя (13) во второй закон Ньютона. С учетом (14) получим (для)о (длду)о ' (15) При «выключении» связи между маятниками силы, зависящие от координаты «другого» маятника, обращаются в нуль и вторые члены в правых частях уравнений (15) исчезают. Видно поэтому, что у одинаковых маятников не только и»» = =та, но и (д (7/дл )о = (д (7/ду )о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
