406 (810751)
Текст из файла
Московский физико-технический институт(государственный университет)Цель работы: изучение зависимости показателя преломлениянеобыкновенной волны от направления в двоякопреломляющем кристалле; определение главных показателей преломления no — обыкновенной и ne — необыкновенной волны в кристалле1 ; наблюдение эффекта полного внутреннего отражения.В работе используются: гелий-неоновый лазер, вращающийся столик с неподвижным лимбом, призма из исландского шпата, поляроид.ДВОЙНОЕ ЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕЛабораторная работа № 406При падении световой волны на границу изотропной среды в этойсреде от границы распространяется одна волна.
Если среда анизотропна, то в ней в общем случае возникают две волны, распространяющиесяот границы в разных направлениях и с разными скоростями. Это явление называется двойным лучепреломлением. Оно было открыто Бартолинусом в 1669 г. в кристаллах исландского шпата, призма из которогоисследуется в нашей работе.Плоские волны в кристаллах. Фундаментальные уравнения Максвелла справедливы без всяких изменений и в кристаллических средах.В отсутствие электрических зарядов и токов они имеют вид~ =rotH~1 ∂D,c ∂t~ =−rotE~1 ∂B.c ∂t(1)Если среды прозрачны и однородны, то в них могут распространятьсяплоские монохроматические волны.
Запишем такую волну в комплексном виде:~ = E~0 ei(ωt−~k~r) ;E~ =H~ =H~0 ei(ωt−~k~r) ;B~ =D~0 ei(ωt−~k~r) .D~0, H~ 0,Здесь ω — круговая частота, ~k — волновой вектор, а амплитуды E~~~D0 постоянны. Вектор B совпадает с H, так как µ = 1. Дифференцируя~~ т.е.
операция дифференцированияпо времени, получаем ∂ D/∂t= iω D,сводится в этом случае к умножению на iω. Аналогично дифференцирование по координатам x, y, z сводится к умножению на −ikx , −iky , −ikz .Заметив это и обозначив координатные орты через ~ex , ~ey , ~ez , получаем ~ex ~ex~ey~ez ~ey~ez ∂∂∂ ~~ =rotHkykz = −i[~kH]∂y∂z = −i kx ∂x Hx Hy Hz Hx Hy Hz МОСКВА 2005~ В результатеи аналогично для rotE.h i~k H~ = − ω D;~c3(1) перейдут вh i ω~k E~ = B.~c~ к фронту волны и скорость расВведем единичный вектор нормали Nω~пространения фронта в направлении этой нормали v. Тогда ~k = Nиvпредыдущие соотношения перейдут вiihh~H~ ; B~ = c N~E~ .~ = −c N(2)Dvv~ H,~ N~ взаимно перпендикулярны. Значит,Отсюда видно, что векторы D,~ и H.~плоские волны в кристалле поперечны в отношении векторов D~Однако в общем случае они не поперечны в отношении вектора E.В изотропной среде связь между век~~αDтором напряжённости электрического поE6z~~ля E и вектором индукции D дается ма~ = εE,~ где ε —териальным уравнением D90◦постоянная, не зависящая от направле~-Nния величина, называемая диэлектричеα6ской проницаемостью.
Для характеристиj+◦90ки оптических свойств анизотропной сре~~SHды требуется девять величин εij , образующих тензор диэлектрической проницаеРис. 1. Расположениемости. Он вводится посредством соотно~ E,~ N~,S~векторов D,шенийв анизотропной средеXεij Ej (i,j = x,y,z).(3)Di =j~ и E~ направления этих векторовБлагодаря тензорной связи между D~ H)~ обладаетв кристаллах, вообще говоря, не совпадают. Плоскость (E,тем свойством, что перпендикуляркнейопределяетнаправлениевектоc h~ ~ i~E H , т.е. направление распространения световыхра Пойнтинга S =4π~ E,~ N~, S~ лежат в одной плоскости, перпендилучей. Четыре вектора D,~ Взаимное расположение этих векторов показанокулярной вектору H.на рис. 1.Оптически одноосные кристаллы.
Всю совокупность возможныхзначений тензора диэлектрической проницаемости можно представитьпри помощи трехосного эллипсоида. Значение диэлектрической проницаемости для любого направления выражается длиной радиуса-вектораэллипсоида, проведенного по этому направлению. Три значения диэлектричеcкой проницаемости εx , εy , εz , соответствующие осям эллипсоида,называются главными значениями диэлектрической проницаемости и√√√соответственно εx , εy , εz — главными показателями преломления.4В системе координат, оси которой совпадают с главными осями эллипсоида, тензор диэлектрической проницаемости приводится к диаго~ иE~ на оси координат связанынальному виду, и проекции векторов Dпростыми соотношениями:Dx = ε x E x , D y = ε y E y , D z = ε z E z .В оптически одноосном кристалле, каковым является исландскийшпат, эллипсоид диэлектрической проницаемости представляет собойэллипсоид вращения. В нем оптическая ось2 совпадает с осью вращения эллипсоида диэлектрических проницаемостей.
Для главных значений диэлектрических проницаемостей приняты обозначения: εz = εk иεx = εy = ε⊥ . В дальнейшем нам потребуется связь между проекциями~ иE~ на оптическую ось кристалла (D~k и E~ k ) и на плоскость,векторов D~~перпендикулярную оси (D⊥ и E⊥ ):~ ⊥ = ε⊥ E~ k = εk E~ k, D~⊥.D(4)Волну, распространяющуюсяZв одноосном кристалле, мож~eDно разделить на две линейно6~Dθполяризованные волны: обыкноM90◦oвенную, вектор электрической~N~ o которой перпен◦индукции D190дикулярен главному сечению,и необыкновенную, с вектором~ e , леYэлектрической индукции D~oD+жащим в главном сечении (рис. 2).XГлавным сечением кристалланазывается плоскость, в которой~ и D~Рис. 2.
Расположение векторов Nлежит оптическая ось кристаллав анизотропной среде:~ =D~o + D~ e; D~o ⊥ D~ e; D~ ⊥N~ );(Dи нормаль к фронту волны.~ и D~ e лежат в плоскости (Z, Y ); D~oNРассмотрим вначале обыкноперпендикулярен плоскости (Z, Y )венную волну, в которой век~ o перпендикулярен главнотор Dму сечению. Тогда Doz = 0, и из условия Dz = εz Ez следует, что Eoz = 0.2 Оптическая ось — определённое направление в кристалле, вдоль которого лучис ортогональной поляризацией распространяются с одной скоростью, как в обычнойизотропной среде.
Величина ε в направлении оптической оси имеет экстремальноезначение, а во всех направлениях, перпендикулярных оси, значения ε для одноосногокристалла одинаковы.5Кроме того, так как Doy = ε⊥ Eoy и Dox = ε⊥ Eox , то можно записать~ o = ε⊥ E~o.D(5)Таким образом, для обыкновенной волны материальное уравнениеимеет такой же вид, как и в изотропной среде. Найдем с помощью этогоуравнения скорость распространения обыкновенной волны и соответствующий показатель преломления. Из (2) имеемDo =ccHo , H o = E ovovoили, учитывая (5),ε⊥ Eo =откудаcvo = √ε⊥ccHo , H o = E o ,vovoи no =√c= ε⊥ .voТаким образом, скорость распространения обыкновенной волны и ее показатель преломления не зависят от направления распространения.~ e , и связь между~ e не параллелен EУ необыкновенной волны вектор Dними сложнее, чем в (5).Для того чтобы найти скорость распространения v и показатель преломления необыкновенной волны n = c/v, достаточно найти связь меж~ e и проекцией на негоду вектором электрической индукции этой волны Dвектора электрического поля волны EeD .
Тогда, подставляя De = εEeDв (2), приходим к соотношениямεEeD =cHe ;vHe =Учитывая (4), находимcEeD ,vформально тождественным с соотношениями для обыкновенной волны.Роль величины ε⊥ теперь играет√ величина ε, а показатель преломлениянеобыкновенной волны равен ε.~e иНайдем связь между De и EeD . Для этого разложим векторы D~Ee на составляющие, параллельные и перпендикулярные оси кристалла:~e = D~ ek + D~ e⊥ .DEeD =или22~e~ eD/εk + De⊥/ε⊥DekEek Dek + Ee⊥ De⊥E==DeDeDe 2Desin θ cos2 θEeD = De=,+εkε⊥εгде θ — угол между оптической осью Z и волновой нормалью N (рис.
2):DekDe⊥, cos θ =.(6)DeDeТаким образом, ε и соответственно скорость распространения и показатель преломления необыкновенной волны зависят от угла между оптической осью кристалла и направлением распространения волны.Выпишем√ выражение для показателя преломления необыкновеннойволны n = ε через главные показатели преломления no ne и угол θ:sin θ =sin2 θ cos2 θ1=+.[n(θ)]2n2en2o(7)При no − ne no и ne (для исландского шпата no = 1,655, ne = 1,485для λ = 0,63 мкм) (7) можно упростить:n(θ) ≈ ne + (no − ne ) cos2 θ.(8)Двойное лучепреломление в призме из исландского шпата.
Рассмотрим, как по преломлению лучей в кристаллической призме можноопределить показатели преломления для обыкновенной и необыкновенной волны. В работе исследуется одна из двух призм, составляющихполяризатор (рис. 3).Входная грань~eEВерхняя грань~eEw A66- eq~~oDo 6E~90◦D7q ~eo/ E^I~eDОснованиеб)a)~ ek + E~ e⊥ .~e = EEРис. 3. а) Исследуемая призма из исландского шпата.Штриховкой указано направление оптической оси кристалла. б) Ход лучей в поляризационной призме67В исследуемой призме ось кристалла лежит в плоскости, параллельной верхней грани призмы, причем она параллельна входной грани приз~ o пермы (длинному катету). При этом в обыкновенной волне вектор Dпендикулярен верхней грани призмы, а в необыкновенной волне век~ e параллелен верхней грани.тор DВолну, падающую на входную граньпризмы, можно представить в виде суммы двух ортогональных линейAно поляризованных волн. Преломлениеэтих двух волн на грани призмы можно рассматривать независимо.
Волна,ψ~ направлен вертив которой вектор DN2кально (перпендикулярно верхней грани и оси кристалла), внутри кристалϕ2θ UN1ла будет распространяться как обыкβ2ϕ1новенная. Для этой волны выполняетβ1swся закон Снеллиуса, а показатель преломления призмы для нее равен no =√~=ε⊥ . Волна, в которой вектор DРис. 4. Ход лучей в призменаправлен горизонтально, в кристаллебудет распространяться как необыкновенная. Для этой волны также будет выполняться закон Снеллиуса, нос тем отличием, что показатель преломления призмы для нее будет зависеть от угла между осью кристалла и волновой нормалью.Значение показателя преломления и угол, под которым преломиласьволна в призме, можно найти, измерив угол падения на входную граньпризмы ϕ1 и угол ϕ2 на выходе призмы (рис.
4). Запишем закон Снеллиуса для одной из волн применительно к первой и второй граням призмы:sin ϕ1.nДля обыкновенной волны n не будет зависеть от угла θ, а для необыкновенной волны зависимость n от θ должна описываться выражением(7).Показатель преломления призмы из изотропного материала удобнонаходить по углу наименьшего отклонения луча от первоначального направления. Угол отклонения луча призмой (ψ на рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
