Voprosy_Dlya_Podgotovki_K_Ekzamenu_Iidu (806177)
Текст из файла
Вопросы для подготовки к экзаменупо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ(в квадратных скобках указаны номера лекций по конспекту проф. Иванкова П.Л.электронный ресурс http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/idu/idu.html)1.
Сформулировать определение первообразной. Сформулировать свойства первообразной инеопределённого интеграла. Сформулировать и доказать теорему об интегрировании по частямдля неопределённого интеграла. [Л. 1,2.]2.Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.Интегрированиепростейших дробей. [Л. 3.]3. Сформулировать свойства определенного интеграла.
Доказать теорему о сохраненииопределенным интегралом знака подынтегральной функции. [Л. 5–6.]4. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценкеопределенного интеграла. [Л. 5–6.]5. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему об оценке модуляопределенного интеграла. [Л. 5–6.]6. Сформулировать свойства определенного интеграла. Доказать теорему о среднем дляопределенного интеграла.
[Л. 5–6.]7. Дать определение интеграла с переменным верхним пределом. Сформулировать идоказать теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом. [Л. 7.]8. Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона —Лейбница. [Л. 5–7.]9. Дать геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Сформулировать идоказать теорему об интегрировании подстановкой для определенного интеграла. [Л.
5–7.]10. Сформулировать свойства определенного интеграла. Интегрирование периодическихфункций. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. [Л. 5–7.]11. Сформулировать свойства определенного интеграла. Сформулировать и доказатьтеорему об интегрировании по частям для определённого интеграла. [Л.
7.]12. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать признак сходимости по неравенству для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]13. Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать предельный признак сравнения для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]14.
Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода. Сформулировать идоказать признак абсолютной сходимости для несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]15.Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода и признакисходимости таких интегралов. Сформулировать и доказать признак абсолютной сходимостидля несобственных интегралов 1-го рода. [Л. 8–10.]16.
Фигура ограничена кривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b). Вывестиформулу для вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.]17. Фигура ограничена лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой r = f (ϕ). Здесь r и ϕ — полярныекоординаты точки, 0 6 α < β 6 2π, где r и ϕ — полярные координаты точки. Вывести формулудля вычисления с помощью определенного интеграла площади этой фигуры. [Л. 11.]18. Тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченнойкривой y = f (x) > 0, прямыми x = a, x = b и y = 0 (a < b).
Вывести формулу для вычисленияс помощью определенного интеграла объема тела вращения. [Л. 12–13.]19. Кривая задана в декартовых координатах уравнением y = f (x), где x и y —декартовые координаты точки, a 6 x 6 b. Вывести формулу для вычисления длины дуги этойкривой. [Л. 12–13.]20. Кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (ϕ) > 0, где r и ϕ —полярные координаты точки, α 6 ϕ 6 β.
Вывести формулу для вычисления длины дуги этойкривой. [Л. 12–13.]21. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Интегрирование линейныхнеоднородных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли (метод “u · v”)и методом Лагранжа (вариации произвольной постоянной).
[Л. 15.]22. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Интегрирование дифференциальных уравнений n-гопорядка, допускающих понижение порядка. [Л. 17.]23. Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения линейногодифференциального уравнения n-го порядка. Доказать свойства частных решений линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
[Л. 18–19.]24. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций. [Л. 18–19.]25. Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частныхрешений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.]26. Сформулировать и доказать теорему о существовании фундаментальной системырешений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
[Л. 18–19.]27.Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейногооднородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 18–19.]28. Вывести формулу Остроградского — Лиувилля для линейного дифференциальногоуравнения 2-го порядка. [Л. 18–19.]29. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка при одном известном частном решении.
[Л. 18–19.]30.Сформулировать и доказать теорему о структуре общего решения линейногонеоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. [Л. 20–21.]31. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корнейхарактеристического уравнения.
[Л. 20–21.]32. Вывести формулу для общего решения линейного однородного дифференциальногоуравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корнейхарактеристического уравнения. [Л. 20–21.]33. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (являющейся квазимногочленом).Сформулировать и доказать теорему о наложении частных решений. [Л.
20–21.]34. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения решениялинейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка и вывод системысоотношений для варьируемых переменных. [Л. 20–21.]При ответе на теоретические вопросы билета формулировки теорем должнысопровождаться определениями используемых в них понятий.
Знание остальныхтеорем, определений и понятий из программы курса может потребоваться приответе на дополнительные вопросы экзаменатора.Задачи для подготовки к экзаменупо курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения»для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТВ экзаменационный билет входят один теоретический вопрос и четыре задачи. Каждая иззадач относится к одной из следующих тем:• неопределенные интегралы;• приложения определенного интеграла;• несобственные интегралы;• дифференциальные уравнения (ОДУ), допускающие понижение порядка;• линейные ОДУ с правой частью специального вида;• линейные ОДУ с правой частью общего вида.При подготовке к экзамену рекомендуется прорешать следующие задачи.Модуль 11.
Неопределенные интегралы.ZZZZ √45 + ln xx2 dx2dx.1.2..1.3.x cos 2x dx.1.4.e2x cos 3x dx.1.1.xx6 − 1ZZZZ4x + 1dx√√tg3 x dx..1.8.1.5.ln x dx.1.6.dx.1.7.2 + 4x − x2x 3x2 − 2x − 1√ZZZ3√dxx−12√√1.9..1.10.(cosx+sinx)dx.1.11.dx.2324 sin x + 3 cos xx−1+ x−1ZZZ 3dxdxx +x+11.12..1.13..1.14.dx.5 − 2 sin x + 5 cos x(x + 1)(x + 2)(x + 3)x(x2 + 1)2. Приложения определенного интеграла.√√2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x + 4, y = − x + 2 и осью Ox.Сделать чертёж.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos3 t, y = a sin3 t.
Сделатьчертёж.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ρ = 2(1 + cos ϕ) и лучами ϕ = 0,πϕ = . Сделать чертёж.32.4. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченнойлиниями y = e−2x − 1, y = e−x + 1 и x = 0. Сделать чертёж.2.5.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченнойx2линиями y =+ 2x + 2 и y = 2. Сделать чертёж.22.6. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой x = at2 ,y = a ln t (a > 0) и осями координат, вокруг оси Ox. Сделать чертёж.2.7. Найти объём тела, образованного вращением кривой r = a sin2 φ вокруг полярной оси.Сделать чертёж.2.8. Найти длину дуги кривой y = x2 от точки (−1, 1) до точки (1, 1). Сделать чертёж.2.9. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой x = 2 cos t,y = 4 sin t. Сделать чертёж.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
