L_5_Slozhnoe_dvizhenie_tochki (804011), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Рис. 3

Обозначим и углы, образованные векторами и с направлением вектора , скорость света. В соответствии с теоремой синусов имеем:

, . (27)

Учитывая, что и вследствие малости угла , равенство (27) можно представить в виде: . Последнее равенство свидетельствует о том, что видимое изображение звезды на небесной сфере смещается по отношению к направлению, по которому располагается звезда относительно солнечной системы. Максимальная величина смещения при равна .

Сложение ускорений точки. Для определения ускорения точки в абсолютном движении продифференцируем абсолютную скорость точки (26):

. (28)

Производные и по определению представляют собой абсолютное ускорение движущейся точки

(29)

и ускорение начала подвижной системы координат

. (30)

Производные и вычисляются по правилу дифференцирования переменного вектора (24):

, . (31)

Первое слагаемое во втором равенстве представляет собой относительное ускорение точки

. (32)

Производная от вектора угловой скорости подвижной системы координат в равенстве (28)

(33)

является вектором мгновенного углового ускорения этой системы. Равенство (28) с учетом выражений (29)-(33) принимает вид:

. (34)

Здесь – вращательное ускорение той геометрической точки подвижной системы координат, в которой находится движущаяся точка в данный момент времени. Этот вектор направлен по касательной к окружности с центром на линии действия вектора углового ускорения подвижной системы и плоскостью, перпендикулярной к ней. Величина его равна произведению , –расстояние от точки до линии действия вектора углового ускорения. Вектор – осестремительное ускорение той же точки. Он имеет направление от точки перпендикулярно к мгновенной оси вращения подвижной системы, определяемой вектором . Таким образом, первые три слагаемых в правой части равенства (34) составляют переносное ускорение точки

. (35)

Ускорение

. (36)

называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса. Оно возникает вследствие изменения радиус-вектора точки относительно вращающейся подвижной системы координат. Итак, абсолютное ускорение точки кроме двух основных ускорений, соответствующих переносному движению точки и ее относительному движению, содержит дополнительное слагаемое – ускорение Кориолиса. Оно появляется вследствие того, что относительное ускорение точки не учитывает изменение направления относительной скорости по отношению к основной системе отсчета, вызванного вращением подвижной системы координат, а переносное ускорение не учитывает изменение вектора относительной скорости вследствие перехода материальной точки от одной точки подвижной системы координат к другой в относительном движении.

Итак, кориолисово ускорение точки, поворотное ускорение, добавочное ускорение, является составляющей абсолютного ускорения точки в сложном движении, равной удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки: . Модуль ускорения Кориолиса равна величине .

Рис. 4

Направление ускорения Кориолиса перпендикулярно плоскости векторов и и направлено в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору относительной скорости на наименьший угол виден происходящим в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Для определения направления ускорения Кориолиса можно воспользоваться правилом Н.Е. Жуковского. Для этого следует спроектировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную угловой скорости переносного движения, и повернуть эту проекцию в той же плоскости на прямой угол в направлении переносного вращения.

Из определения (36) следует, что ускорение Кориолиса оказывается равным нулю в тех случаях, когда

1) относительная скорость точки оказывается равной нулю: ,

2) угловая скорость подвижной системы координат оказывается равной нулю: ,

3) векторы и являются коллинеарными: .

Таким образом, равенство (34), записанное в сокращенном виде

, (37)

представляет собой аналитическое выражение теоремы Кориолиса:

Теорема. Ускорение точки в абсолютном движении равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

Остановимся на некоторых частных видах движения точки.

1. Скорость начала подвижной системы координат является постоянной: . В этом случае и

.

1. Подвижная система не участвует во вращательном движении: . Тогда

.

1. Подвижная система координат закреплена в неподвижной системе: . Абсолютное ускорение совпадает с относительным ускорением:

.

1. Точка закреплена в подвижной системе координат: . При этом и

.

1. Точка неподвижна относительно основной системы координат : . Следствием этого является равенство

.

Пример. Пусть точка движется по поверхности Земли вдоль меридиана со скоростью .

Рис. 5

Так как Земля вращается вокруг полярной оси в направлении против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса на плоскость экватора, то вектор угловой скорости вращения Земли направлен вдоль полярной оси к северному полюсу. Ускорение Кориолиса точки направлено по касательной к соответствующей параллели с востока на запад, если точка в северном полушарии движется к северу. Следовательно, точка отклоняется от направления меридиана. На экваторе ускорение Кориолиса равно нулю. В южном полушарии ускорение Кориолиса направлено с запада на восток, если точка движется к северу.

12

Характеристики

Список файлов лекций