Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Ошибки первого типа легко выявляются самим компилятором. Обычно устранение синтаксических ошибок не вызывает особых трудностей. Более сложно выявить ошибки второго и особенно третьего типа. Для обнаружения и устранения ошибок второго и третьего типа обычно применяют специальные способы и средства отладки программ. Выявлению ошибок второго типа часто помогает использование контролирующих режпргимов компиляции с проверкой допустимых значений тех или иных параметров (границ индексов элементов массивов, значений переменных типа диапазона, ситуаций переполнения, ошибок ввода-вывода). Устанавливаются эти режимы с помощью ключей компилятора, задаваемых либо в программе, либо в меню Project/Options/Compiler среды Delphi, либо в меню Options/Compiler Турбо-среды.

4.7.2.Способы и средства отладки

В ходе отладки программа должна быть проверена в двух измерениях: в пространстве и во времени. Первое представляет собой контроль содержимого памяти в конкретные моменты работы программы, отслеживание текущих значений всех или выбранных групп переменных, проверку на соответствие их значений декларированным диапазонам (типам). Второе – это отслеживание хода выполнения алгоритма для проверки правильности заданной последовательности операций и передач управления при различных значениях параметров. Самым распространенным и полезным приемом отладки, позволяющим объединить обе формы контроля, являются отчеты о трассировке. Трассировка программы – это регистрация логического пути выполнения программы – последовательности выполнения ее операторов/блоков с контрольной выдачей информации о результатах каждого шага – обо всех изменениях значений рабочих переменных и параметров связи. Сам принцип трассировки – слишком общий. На практике реализуют трассировку программы в том или ином объеме, используя различные способы и средства отладки.

Самый простой способ отладки – это расстановка в тексте программы отладочных печатей промежуточных результатов вычислений, позволяющих проследить логический и арифметический следы программы, т. е. каким образом она выполнялась и что она вычисляла. Отладочные печати ставятся в узловых/ключевых точках программы, позволяющих контролировать ошибки ввода (эхо-печать введенных данных), результаты вычислительных операций и логику работы программы или отдельных ее частей. Отладочные операторы оформляются в отдельные строки, выделяются особым образом (например, сдвигом влево или вправо) и в зависимости от цели контроля могут содержать вывод значений контролируемых переменных, проверку условий или идентифицирующее сообщение (комментарий) о прохождении заданной точки программы, о начале или завершении работы определенного участка/блока. Средства для отладки могут быть вставлены в программу еще при ее разработке. В ходе отладки количество и место расположения отладочных операторов меняется, но их лучше не удалять, а превращать в комментарии. Такой способ отладки весьма трудоемок и может сам служить источником ошибок.

Процесс отладки значительно облегчается, если использовать для этого системные средства отладки – специальные программы-отладчики, имеющиеся в программном обеспечении компьютера.

Встроенный отладчик среды Delphi или Турбо Паскаля (Debugger) позволяет контролировать ход выполнения программы – выполнять трассировку программы без изменения самой программы с помощью следующих действий:

• выполнения программы построчно/по шагам;

• остановки выполнения программы в заданной точке останова;

• перезапуска программы, не закончив ее выполнение;

• назначения и модификации значений любых переменных и параметров программы, а также получения некоторых дополнительных сведений о программе, например списка активных процедур.

Эти возможности позволяют, отследив выполнение каждого оператора/операции, определить местоположение ошибки и понять ее причину. (Далее рассмотрим все эти управляющие средства.)

Автономный отладчик (Turbo Debugger – файл td.exe) предоставляет большие возможности: позволяет осуществить трассировку программы/блока на уровне ассемблерных и машинных инструкций, просмотреть содержимое/дамп памяти и пр., что требует особого режима компиляции исходного текста. Использование дополнительных возможностей автономного отладчика целесообразно при отладке и тестировании больших по объему и сложных программ и при наличии у программиста достаточно высокого уровня квалификации. (В данном пособии автономные средства отладки не рассматриваются.)

Глава 5.Лекция 5

5.1.Алгоритмы вычисления определенных интегралов.

Основу численных методов вычисления определенных интегралов составляет их геометрический смысл. Определенным интегралом

называют площадь криволинейной трапеции, ограниченную подынтегральной кривой, осью абсцисс и ординатами f(a) и f(b). На рис. 5.1 данная площадь заштрихована.

Рис. 5.1 Геометрический смысл

определенного интеграла

При численном интегрировании подынтегральную функцию заменяют более простой, для которой вычисление указанной площади производится в соответствии с достаточно простыми формулами, и искомый интеграл вычисляют приближенно с определенной точностью.

5.1.1.Метод прямоугольников.

Наиболее простым методом численного интегрирования является метод, основанный на применении формулы прямоугольников. В этом случае подынтегральную функцию/кривую заменяют прямой, а формула для вычисления площади прямоугольника известна. Для повышения точности вычислений участок интегрирования [a, b] разбивается на n равных частей. Далее берутся значения подынтегральной функции в левых (или правых) концах полученных участков. При этом подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] заменяется ступенчатой кривой (см. рис. 5.2), и приближенное значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников

где

y

Аналогичная формула прямоугольников получится и в том случае, если брать для интегральной суммы значения функции f(x) не в левых, а в правых концах участков разбиения:

В результате расчетов по формулам «слева» и «справа» получается приближенное значение интервала (с недостатком или с избытком), которое может отличаться от действительного на некоторую величину, называемую ошибкой ограничения. Эта ошибка определяется величиной остаточного члена ряда Тейлора:

В качестве примера на рис. 5.3 приведена схема алгоритма, реализующего вычисления по формуле прямоугольников «слева». Увеличение числа участков разбиения n приводит к повышению точности вычисления интеграла. Следует обратить внимание также на формирование условия выхода из цикла на рис. 5.3, добавление половины шага h в условие необходимо для избежания возможного сравнения на равенство двух вещественных значений x и b–h.

Определение интеграла по формуле средних

Рис. 5.3 Алгоритм вычисления определенного

интеграла методом прямоугольников

С целью повышения точности вычислений по методу прямоугольников значение подынтегральной функции целесообразно взять не на концах участков, а в их середине. В результате получим формулу средних:

,

где i=1,2,…,n. Остаточный член формулы средних где M = max |f "(v)| v[a,b].

Данный метод вычисления определенного интеграла обеспечивает более высокую точность при равном n по сравнению с формулами прямоугольников. Формулу средних рекомендуется использовать для достаточно гладких функций f(x), не содержащих высокочастотных колебаний на отдельных интервалах интегрирования. На рис. 5.4 показана схема алгоритма вычисления интеграла по формуле средних.

5.1.2.Формулы Ньютона-Котеса

Если подынтегральную функцию заменить каким-либо интерполяционным многочленом, то получим квадратурные формулы вида:

где х_к – выбранные узлы интерполяции; A_k – коэффициенты, которые зависят от выбранных узлов, но не зависят от вида функции f(x); R – остаточный член, определяющий максимальную ошибку при использовании квадратурной формулы; k=0, 1, …, n.

Разбивая отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек

x_k = x₀+kh; k=0, 1, …, n; x₀=a; x_n=b

и вычисляя подынтегральную функцию в полученных узлах

y_k=f(x); k=0, 1, …, n,

получают квадратурные формулы для равноотстоящих узлов. Эти формулы называют формулами Ньютона-Котеса. Наиболее удобны при численном интегрировании интерполяционные многочлены невысоких порядков, при использовании которых получают достаточно простые составные формулы.

(1)Формула трапеций.

Формула трапеций получается в случае использования интерполяционного многочлена 1-го порядка:

Остаточный член имеет вид: Использование формулы трапеций при вычислении определенного интеграла приводит к ошибке где

Для нахождения приближенного значения определенного интеграла по формуле трапеций можно использовать алгоритм, схема которого представлена на рис. 5.5.

Ошибка ограничения для метода трапеций больше, нежели чем для других формул Ньютона-Котеса, но его привлекательность заключается в простой реализации. Кроме того, незначительное усложнение алгоритма позволяет существенно снизить погрешность вычислений, поэтому формула трапеций достаточно часто используется (в сочетании с другими формулами).

Например, в случае аппроксимации подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита получают формулу Эйлера:

Остаточный член этой формулы свидетельствует о том, что небольшая добавка к формуле трапеций существенно повышает ее точность.

Характеристики

Список файлов лекций