Differential Geometry Homework (794242)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Äîìàøíåå çàäàíèå 1Êðèâûå è ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâåÑòóäåíò:Ãðóïïà:Âàðèàíò:Ïðåïîäàâàòåëü:1234567~r = {5u cos v, 4u sin v, u2 };γ : u = v; P1 (0, 0, 0), P2 (−5π, 0, π 2 ). äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:x = 5u cos v;y = 4u sin v;z = u2 .x2y2+= 2z.25/28Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä.1.

Íàéòè îñîáûå òî÷êè ïàðàìåòðèçîâàííîé ïîâåðõíîñòè S : ~r = ~r(u, v), u, v ∈ R.Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ P1 , P2 .Íàéä¼ì îñîáûå òî÷êè ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ßêîáè. Íàéä¼ì ~ru , ~rv .~ru=~rv=∂~r∂u∂~r∂vJ=={5 cos v, 4 sin v, 2u};={−5u sin v, 4u cos v, 0}.5 cos v−5u sin v4 sin v4u cos v12u0T.Òàê êàê sin v è cos v íå ìîãóò îäíîâðìåííî îáðàòèòüñÿ â íîëü, òî ýëåìåíòû âòîðîé ñòðîêè òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû ßêîáè îáðàòÿòñÿ â íîëüòîëüêî ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ u. Çíà÷èò ðàíã ìàòðèöû ßêîáè áóäåò ðàâåíäâóì ïðè u 6= 0. Òîãäà îñîáûå òî÷êè: (0, v), ∀v ∈ R.Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ: D = {u, v|u > 0, v ∈ (0, 2π)}. S = ϕ(D).Íàéä¼ì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ u è v , ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êàì P1 è P2 :0 = 5u1 cos v1 ;0 = 2u1 sin v1 ;0 = u21 .(u1 = 0;v1 = 0.Òàê êàê u = 0, òî òî÷êà P1 îñîáàÿ.−5π = 5u2 cos v2 ;−0 = 4u2 sin v2 ; 2π = u22 .(u2 = π;v2 = π.(u3 = −π;v3 = 0.Ïàðà (u3 , v3 ) íå ðàññìàòðèâàåòñÿ, òàê îíà íå ëåæèò â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïîâåðõíîñòè.

Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ãëàäêîé ïîâåðõíîñòèS : ~r = ~r(u, v) â òî÷êå P (u0 , v0 ) èìååò âèä:~r = ~r(u0 , v0 ) + u~ru (u0 , v0 ) + v~rv (u0 , v0 ),u, v ∈ R.Ïîäñòàâèâ â ýòî óðàâíåíèå âìåñòî u0 , v0 ïàðó u2 , v2 , ïîëó÷èì óðàâíåíèåêàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â òî÷êå P2 :~r = −5π − 5u, −4πv, π 2 + 2πu .2. Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü âèäà ïîâåðõíîñòè îò îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ (u, v). Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé. Ïîñòðîèòü ïîâåðõíîñòü è êîîðäèíàòíóþ ñåòü íà íåé (ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Mathematica).Óðàâíåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé:1. Ïåðâîå ñåìåéñòâî ~r = {5u0 cos v, 4u0 sin v, u20 }, u0 = const, v ∈ (0, 2π) Ýëëèïñû áåç òî÷êè.2. Âòîðîå ñåìåéñòâî ~r = {5u cos v0 , 4u sin v0 , u2 }, v0 = const, u > 0 Âåòâèïàðàáîë.2u ∈ [0, 2], v ∈ [0, 2π] :u ∈ [1, 3], v ∈ [0, 2π] :3u ∈ [0, 3], v ∈ [0, 2π] :π 11π]:u ∈ [0, 3], v ∈ [ ,2 643. Âû÷èñëèòü ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.

Âû÷èñëèòüóãîë ìåæäó êðèâûìè u = v 2 è u = v â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ.Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû âû÷èñëèì:E = (~ru , ~ru ) = 25 cos2 v + 16 sin2 v + 4u2 ;F = (~ru , ~rv ) = −9u cos v sin v;G = (~rv , ~rv ) = 25u2 sin2 v + 16u2 cos2 v.Ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà:I = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 == (25 cos2 v+16 sin2 v+4u2 )du2 −18u cos v sin v dudv+(25u2 sin2 v+16u2 cos2 )dv 2 .Ìàòðèöà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû: E F25 cos2 v + 16 sin2 v + 4u2G==F G−9u cos v sin v−9u cos v sin v.25u2 sin2 v + 16u2 cos2 vÊðèâûå γ1 : u = v 2 è γ2 : u = v ïàðàìåòðèçóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì:(u = t2 ;γ1 :v = t.(u = t;γ2 :v = t.

2tξ1 = γ̇1 =.1 1ξ2 = γ̇2 =.1Òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ êðèâûõ γ1 è γ2 áóäóò òî÷êè t = 0 è t = 1. Íî òàêêàê ïðè t = 0 ïîëó÷èì u = 0, òî áåð¼ì t = 1. Êîñèíóñ óãëà ìåæäó êðèâûìèíà ïîâåðõíîñòè âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå:cos (\γ1 , γ2 )=cos (\γ1 , γ2 )t=1=(\γ1 , γ2 )≈t=1ξ1T Gξ2p.ξ1T Gξ1 ξ2T Gξ2139 + 9 cos 2 − 27 sin 2p.2 3/2 (79 + 9 cos 2 − 12 sin 2) (45 − 9 sin 2)p21.78◦ .54. Âû÷èñëèòü âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðõíîñòè.

Îïðåäåëèòüòèïû òî÷åê ïîâåðõíîñòè.Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû âû÷èñëèì:8u2 cos v− √400u2 +82u4 −18u4 cos 2v~ru × ~rv10u2 sin v√−~n ==2 +82u4 −18u4 cos 2v  .400uk~ru × ~rv k2220u cos v+20u sin v√~ruu=~rvv=~ruv=∂ 2~r∂u2∂ 2~r∂v 2∂ 2~r∂u∂vL = (~ruu , ~n) = √400u2 +82u4 −18u4 cos 2v={0, 0, 2};={−5 sin v, 4 cos v, 0};={−5u cos v, −4u sin v, 0}.400u240u;+ 82u4 − 18u4 cos 2vM = (~ruv , ~n) = 0;N = (~rvv , ~n) = √40u3.400u2 + 82u4 − 18u4 cos 2vÂòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà:II = Ldu2 + 2M dudv + N dv 2 ==√40u40u3du2 + √dv 2 .400u2 + 82u4 − 18u4 cos 2v400u2 + 82u4 − 18u4 cos 2vÌàòðèöà âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:40L M1B=·=√M F0400u2 + 82u4 − 18u4 cos 2v0.u2Òàê êàê √400u2 +82u40> 0, ∀u ∈ R, òî ñëåäîâàòåëüíî det B > 0, ∀u > 0, ∀v ∈ (0, 2π).4 −18u4 cos 2vÀ çíà÷èò âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè ýëëèïòè÷åñêèå.65.

Íàéòè ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû â òî÷êàõ P1 è P2 .Âû÷èñëèòü ñðåäíþþ è ãàóññîâó êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè â ýòèõ òî÷êàõ.P1 îñîáàÿ òî÷êà. P2 (−5π, 0, π 2 ), u = π, v = π.GBdet |B − kG|=P225 + 4π 20√=40400+64π 2= (√P2;!0;2√ 40π400+64π 20P2016π 24040π 2− k(25 + 4π 2 ))( √− k(16π 2 )).400 + 64π 2400 + 64π 2Ãëàâíûå êðèâèçíû â òî÷êå P2 :k1 =105√, k2 = √.(25 + 4π 2 ) 25 + 4π 28 25 + 4π 2B − kG=00=)√− 85(9+4π25+4π 20P2 ,k1P2 ,k2;210π (9+4π )√(25+4π 2 ) 25+4π 22B − kG!0200!.Ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ â òî÷êå P2 :B − kGP2 ,k1ξ1 = 0̄ ⇔00!02210π (9+4π )√(25+4π 2 ) 25+4π 22B − kGP2 ,k2 ξ2 = 0̄ ⇔)√− 85(9+4π25+4π 2000!ξ11ξ12ξ21ξ22==Ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíû â òî÷êå P2 :K=H=k1 k2k1 + k22=254(25+4π 2 )2 ;=5(41+4π 2 )√.16(25+4π 2 ) 25+4π 270000⇒ ξ1 =⇒ ξ2 =1001;.6. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ëèíèé êðèâèçíû, àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé è ãåîäåçè÷åñêèõ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè.

Ïðèâåñòè ïðèìåðû ðåøåíèÿýòèõ óðàâíåíèé.Óðàâíåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé:Lu̇2 + 2M u̇v̇ + N v̇ 2 = 0, ãäåu̇ è v̇ ýòî(ïðîèçâîäíûå ïî t ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé àñèìïòîòè÷åñêèõu = u(t), à L, M, N ýòî ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòûëèíèé γ :v = v(t)âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.Òàê êàê âñå òî÷êè ýëëèïòè÷åñêèå, òî àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé íåòó.7. Âû÷èñëèòü êðèâèçíó êðèâîé γ : u = v â òî÷êàõ P1 è P2 .  îäíîé èçòî÷åê ïîñòðîèòü ðåïåð Ôðåíå.~r = {5t cos t, 4t sin t, t2 };~r˙ = {5 cos t − 5t sin t, 4 sin t + 4t cos t, 2t};~r¨ = {−5t cos t − 10 sin t, 8 cos t − 4t sin t, 2}.Êðèâèçíà:k=k P1=k P2=k~r˙ × ~r¨k;k~r˙ k3√2 1725 ;q22 85+ 466π+25π 45.5(5+4π 2 )3/2Íàéäåì ðåïåð Ôðåíå â òî÷êå P1 = (0, 0, 0) : t = 0:Åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð:Âåêòîð áèíîðìàëè:Âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè:~τ P1~r˙ =k~r˙ k ~r˙ × ~r¨ β~ P1 =k~r˙ × ~r¨k P1~~ν P = β × ~τ P1{1, 0, 0} ;=P11==140, − √ , √;1717410, √ , √.1717~.Ïîðÿäîê â ðåïåðå Ôðåíå: ~τ , ~ν , βÂñå âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåíû â ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé àëãåáðû Wolfram Mathematica.8.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания