Диссертация (792867), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Удовлетворяяэтим условиям можно найти эффективные модули композита (e=3K и g=2G), атакже их отношение η=g/e.В матрице, согласно формуле (11), деформации в точках с координатой r=c(ρm=ωm) будут равны: () =+2.(4.19)Аналогично, в точках с координатой r=b (ρm=1) имеем: () =+2(4.20).Для наполнителя, согласно формуле (4.13), выражения деформаций примутвид:в точках при r=a и ρn=ωn,+2= 0,(4.21)при r =c (ρn=1) () =+(4.22)2Выполнив подстановку выражений (4.19), (4.21) и (4.22) в условия совместности (4.15) и (4.16), получим систему двух уравнений с неизвестными контактными давлениями p и pc:++22==0+(4.23)2.(4.24)955. Контактные давления.
Выполнив подстановку значений из выражений(4.14) в равенство (4.23), после упрощений найдем: ==1+∙2η1+2η,(4.25)где параметр ηn=gn/en.Из уравнения (4.24), с учетом (4.23) и (4.25), после несложных выкладокнайдем второе отношение давлений:∗ = + ∙1− (1+2η ),(4.26)где: V=(1– w) – относительный объем материала несущей фазы, α=Vm/V – относи∗тельный объем матрицы в объеме V, ηm=gm/em и =1+∙2η1+2η– параметры мат-рицы.Следовательно, зная величины = ⁄ и = ⁄ , легко найдем отношение = и контактные давления = ⁄ = ⁄ .иКонтактное давление p можно выразить непосредственно из условия (4.17).Удовлетворив это условие, согласно второй из формул (4.7), получим равенство,из которого найдем отношение, аналогичное по своей структуре отношению(4.25)==1+∙2η1+2η.(4.27)Выражение обратное формуле (4.27) имеет вид:1= ∙1−2 −,(4.28)отсюда следует, что при условии, что w<k<1 отношение η=g/e будет величиной всегда положительной.6.
Зависимости контактных давлений от упругих параметров материалакомпонентов. Анализ формул (4.25) – (4.27) показывает, что значения отношенийkn, km и k=kmkn зависят не от самих упругих параметров матрицы (em, gm) и наполнителя (en, gn), а только от величины их отношений ηm=gm/em, ηn=gn/en и η=g/e. Но96величина η, в свою очередь, для всех изотропных тел однозначно определяетсявеличиной коэффициента Пуассона согласно формуле:==23=1−21+.(4.29)Обратная зависимость имеет вид:=1−2+.(4.30)Численные значения этих функций представлены в таблице 4.1.Таблица 4.1 – Взаимное соответствие значений функций ν(η) и η(ν)νη010,050,8570,10,7270,150,6090,20,50,250,40,30,3080,350,2220,40,450,143 0,0690,50Такое нелинейно однозначное соответствие функций ν(η) и η(ν) закономерно для всех однородных и изотропных твердых тел, т.
е. как для материалов матрицы и наполнителя, так и для композита в целом. Поэтому анализ формул (4.25)и (4.27) объединим и представим численное исследование только формулы (4.27)(рисунок 4.3).Рисунок 4.3 – Зависимости величины k=q/p от величиныотношения η=g/e для значений: w=0; 0,1; 0,4 и 0,897Анализ рисунка 4.3 показывает, что в элементарной ячейке композита сжидким включением:1) величина давления p изменяется в интервале значенийq<p<3q,(4.31)где q – заданное внешнее давление;2) нижний предел (давление pmin=q) теоретически возможен при значенияхη=0, т. е. когда модуль сдвига отсутствует (g=2G=0). Такой предельный случайтеоретически возможен при условии, что матрица и наполнитель вырождаются вжидкость;3) верхний предел (pmax=3q) теоретически возникает при значениях η=1 иw=0.
Второе условие означает, что шаровое капельное включение вырождено вточку (модель толстостенной сферы с «выколотой» точкой);4) Отношение k=q/p имеет свой интервал значений:w<k<1.При этом, чем больше объем включения w, тем меньше интервал. Аналогичные интервалы для матрицы и наполнителя имеют вид:m<k m <1, n<k n <1.7.
Влияние объемного содержания матрицы на величину контактных давлений. Чтобы выявить зависимость величины контактных давлений p и pc от процентного содержания матрицы в несущей фазе композита проведем численное исследование.Пример 1. В элементарной ячейке композита (рисунок 4.1) с объемной долей включения w = 5 % материал компонентов (матрицы и наполнителя) имеет:равные значения коэффициента Пуассона (νm=νn=0,2) и отношение модулейGm/Gn=0,1. Выявим характер зависимостей давлений p и pc от величины количественного содержания матрицы.Решение. Значению ν=0,2, согласно (4.29), отвечает величина η=0,5. Результаты вычислений, выполненных по формулам (4.25), (4.26), с учетом исходных98данных и отношений pc=q/km, p=pc/kn, представим в виде табличных значений играфиков функций контактных давлений (рисунок 4.4).Рисунок 4.4 – Зависимости величины давлений p и pc(в долях от q) и отношения p/pc от процентногосодержания матрицы в объеме V при значении w=5%Анализ представленных результатов позволяет нам сделать следующие выводы.
Во-первых, функция контактных давлений p(α) имеет экстремум (рисунок4.4). Во-вторых, заданное внешнее давление q и найденное нами контактное давление p полностью обусловливают и определяют напряженное состояние эффективной модели (рисунок 4.1, а и 4.2, а).И в-третьих, можно полагать, что в наиболее напряженных точках эффективной модели композита также должен иметь место экстремум в напряженияхпри вариации количественного параметра матрицы (α=Vm/V).8. Эффективные эквивалентные напряжения.
Для проверки высказанноевыше предположение воспользуемся формулами эффективных напряжений (4.8) вкомпозите: = − ∙где =−, =−.3,3323 = + ∙,99Затем запишем их выражения в опасных точках модели, имеющих координаты ρ=ω: () = − = 3 , () = +Здесь, с учетомk q/ p,2= 1 .выражения (9) примут вид = −−, = 1−;σ1 и σ3 – главные напряжения в опасных точках ячейки композита.И, наконец, запишем выражение для эквивалентных напряжений, соответствующих 3-й теории прочности [77]:31−2экв = 1 − 3 = 31−2экв = , т. е..(4.32)А так как k=q/p, то выражение (32) можно представить и такэкв = ∙ ,(4.33)где3 1/−1= ∙2.(4.34)Здесь: k – отношение, определяемое произведением kmkn, в котором сомножители вычисляются по формулам (4.25) и (4.26).Для иллюстрациихарактера зависимостей величины эквивалентныхнапряжений от величины параметра α рассмотрим еще один численный пример.Пример 2.
Выявим количественное содержание объема матрицы в объеме Vнесущей фазы композита (рисунок 4.1), при котором эффективные эквивалентныенапряжения достигают минимальных значений. Рассмотрим 3 пары материалов(матрицы и наполнителя), в которых: 1) их коэффициенты Пуассона равны (νm=νn=0,2); 2) νm=0,143 и νn=0,25; 3) νm=0,25 и νn=0,143.Решение. Согласно формулам (4.29), (4.30) и табл.
4.1 значениям ν=0,143,0,2 и 0,25 соответствуют величины η=0,625, 0,5 и 0,4. Кроме того, для вычисленийпримем значения w=5 % и отношение модулей сдвига Gm/Gn=0,1. С учетом этихданных, задавшись параметром α, произведем вычисления напряжений по форму-100лам (4.32) – (4.34). Результаты вычислений представим в виде графиков функцииσэкв(α) (рисунок 4.5).Рисунок 4.5 – Графики функции σэкв(α) в опасных точкахэффективной модели для 3-х составов композитаАнализ полученных результатов сводится к выводам.1) Оптимальный количественный состав компонентов (матрицы и наполнителя) чувствителен к величине коэффициента Пуассона материала этих компонентов.
При этом, если, например, этот коэффициент одинаков (νm=νn=0,2), то оптимальным, по критерию прочности, будет их равный количественный состав. Вслучае значений νm=0,143 и νn=0,25 оптимальным будет состав из 30 % матрицы и70 % наполнителя. А если νm=0,25 и νn=0,143, то наоборот, оптимальным будетсостав из 70 % матрицы и 30 % наполнителя.2) Минимальные значения эквивалентных напряжений в трех рассмотренных случаях практически одинаковые, так как их величины находятся в пределахточности вычислений. Поэтому можно предположить, что при прочих равныхусловиях прочность оптимально подобранных составов будет наибольшей и одинаковой (для всех пар коэффициента ν материалов матрицы и наполнителя).1013) В случаях отклонения состава композита от величины оптимального егоколичественного состава внутренние давления в композите увеличиваются, возрастают эквивалентные напряжения и, как следствие, прочность композита снижается.
При этом сферические ячейки композита будут более склонны к появлению микродефектов и к росту их числа.9. Эффективная прочность композита. При заданном давлении q для исследуемой эффективной модели (рисунок 4.1, а) запишем условие прочности (по 3-йтеории прочности) [133] , которое, с учетом выражений (33) и (34), примет следующий вид:экв = ∙ ≤ ,(4.35)где R – расчетное сопротивление композита; φ – значения функция φ(α) длязаданной величины α.Этому условию придадим форму более удобную для анализа прочностиприменительно к заданной расчетной схеме композита (рисунок 4.1 и 4.2) с различным количественным составом его компонентов.
С этой целью, приравняв левую и правую части, получим: ∗ () ∙ () = ,(а)где ∗ () – предельные (разрушающие) давления, предшествующие исчерпанию прочности в опасных точках сферической ячейки (при заданном значенииα). Однако, в случае оптимально подобранного состава, когда α=αо, функция φдостигает минимума [φ(αо)=φо]. При этом величина q*(αо)=qmax=qо, т. е. будетнаибольшей.
Следовательно, при оптимальном составе выражение (а) примет вид:опт ∙ опт = .(б)С учетом выражений (а) и (б) условие (4.35) представим следующим развернутым неравенством:экв = ∗ () ∙ () ≤ опт ∙ опт = .(4.36)Отсюда получим расчетную формулу для вычисления предельных (разрушающих) давлений: ∗ () = оптопт.()(4.37)102Если в качестве предела прочности выбрана эффективная прочность ячейкикомпозита в ее опасных точках, то давление qо можно именовать оптимальнойпрочностью самой ячейки (и композита в целом). В таком случае отношение выражения() = ∗ ()опт=опт().(4.38)можно назвать функцией прочности, зависящей от объемного содержания (α)матрицы в композите. Эта функция дает нам расчетную эффективную прочностьq*(α) (в долях от величины qо).Результаты вычислений, выполненных по формуле (4.38), представлены нарисунке 4.6, на котором изображен вид функций эффективной прочности для трехкомпозиционных материалов, рассмотренных в примере 2.Функции эффективной прочности, s(α)10,95Значения0,90,850,80,750,70,650,60%s1s21020304050607080901000,7783 0,8506 0,9126 0,96 0,9898 1 0,9898 0,96 0,9126 0,8506 0,77750,9256 0,9683 0,9939 1 0,9863 0,9536 0,9042 0,8412 0,768 0,6881 0,60490,6004 0,6846 0,7662 0,841 0,9052 0,9551 0,9875 1 0,9918 0,9635 0,9170,991 0,9643 0,9198 0,8575 0,7775s1п 0,7783 0,8582 0,9203 0,9646 0,9912 1s3Рисунок 4.6 – Графики функций s(α) для композитов, в которых: s1 отвечаетзначения νm =νn=0,2); s2 – значениям νm=0,143 и νn=0,25; s3 – значениям νm=0,25и νn=0,143.
Пунктиром выделена функция s1п – парабола, аппроксимирующая функцию s1.В монографии Бобрышева А. Н., Ерофеева В. Т. и Козомазова В. Н. [36]приведены экспериментально полученные кривые, отражающие зависимостьпрочности при одноосном сжатии полимерных композитов от объемного содержания наполнителя. Куполообразный вид этих кривых аналогичен кривым расчетной эффективной прочности, представленным на рисунке 4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
