Диссертация (792654), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для полученных значений критической нагрузки нижеприведены формы потери устойчивости (рисунок.3.1.2).=0.5=1.063=2.0=1.5Рисунок 3.1.2 – Формы потери устойчивости.Из полученных результатов следует, что форма прогибов при потереустойчивости пластинки с соотношением сторон 0.5 и 1.0 образует однуполуволну синусоиды в поперечном и продольном направлении.Изменение числаполуволн синусоиды, в направлении оси ξ, происходит при соотношении сторон=1.5 и=2.0. Число полуволн синусоиды в направлении осиостаетсянеизменным и пластина будет терять устойчивость с образованием одной волны.Втаблице3.1.2приведенызначениякритическойнагрузкидляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярных направлениях силами N1=N2=N.Таблица № 3.1.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических24.67409.86967.12806.1685сил N1 и N2.Нетрудно видеть, что величина критической нагрузки для квадратнойпластинки при сжатии в одном направлении в два раза больше, чем приодинаковом сжатии в двух направлениях.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок.3.1.3).64=1.0=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.1.3 – Формы потери устойчивости.Формапрогибовприпотереустойчивостипластинкипривсехсоотношениях сторон образует одну полуволну в поперечном и продольномнаправлении.3.1.2 Пластинка, шарнирно опертая по трем сторонам, одна сторонасвободна.В качестве второго примера рассмотрим пластинку, в которой одна сторонасвободна, а три остальные оперты шарнирно (рисунок 3.2.1).Из условия на начальной линии приизвестны две начальные функцииРаскрывая граничные условия на краю(3.2.1)получим систему двух однородных65Рисунок 3.2.1 – Расчетная схема.уравнений с постоянными коэффициентами относительно двух неизвестных начальныхфункцийи:{(3.2.2)Решение системы уравнений (3.2.2) и дальнейший ход расчета аналогиченпорядку расчета в рассмотренном примере 3.1.1.Характеристическое уравнение для нахождения показателя степени rnразрешающей функцииможет быть записано в виде:(3.2.3)(где)Саи(3.2.4),- определяются по формулам (3.1.7).Подставив начальные функцииив (2.1.10) получим общее решениезадачи:∑(3.2.5)(где)Произвольные постоянные Аn и Вn определяются из граничных условий напоперечных сторонах пластинки аналогично примеру 3.1.1.

Поскольку граничныеусловия совпадают, то Bn=0 и, а прогиб пластины описываетсяследующим выражением:∑где()(3.2.5)- определяются согласно (3.1.13).ДлянахождениякритическихсилN1иN2необходиморешить66характеристическое уравнение (3.2.3) относительно неизвестных сил, подставив внего последовательно корни, аналогично примеру 3.1.1.В таблице № 3.2.1 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.2.1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической21.49486.91664.23283.2971силы N1.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.2.2).=0.5=1.0=1.5=2.0Рисунок 3.2.2 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.2.2 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1=0).67Таблица № 3.2.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической45.599711.67485.08842.5204силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.2.3).λ=1.0=0.5λ=2.0=1.5Рисунок 3.2.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.2.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярном направлении силами N1=N2=N.Таблица № 3.2.3 - Результаты расчета.Соотношение сторон .Значение критическихсил N1 и N2.=0.519.5909=1.05.2069=1.52.4733=2.01.467968Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.2.4).=1.0=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.2.4 – Формы потери устойчивости.В продольном направлении пластина всегда теряет устойчивость по однойполуволне синусоиды, как это показано на рисунках.

В поперечном направленииформа потери устойчивости соответствует четверти полуволны.3.1.3 Пластинка, шарнирно опертая по двум сторонам, одна сторонасвободна и одна сторона жестко защемлена.Изусловияна(рисунок. 3.3.1) приначальнойлинииизвестны двеначальные функцииРаскрывая граничные условия на краю(3.3.1)получим систему однородных уравненийбесконечноРисунок 3.3.1 – Расчетная схема.высокогопорядкас69постоянными коэффициентами относительно двух неизвестных начальныхфункцийи:{(3.3.2)Решая которую, аналогично первому примеру, опуская промежуточныевыкладки, получим характеристическое уравнение для нахождения показателястепенив функции:[(3.3.3)(где С и)], определяются по формулам (3.2.4), а- определяются поформулам (3.1.7), и общее решение задачи, точно удовлетворяющее граничнымусловиям на продольных сторонах пластинки:∑[(())Произвольные постоянные(3.3.4)]иопределяются из граничных условий напоперечных краях пластинки, поскольку они, такие же, как и в примере (3.1.1), rnимеет тоже значение т.е..Таким образом, прогиб пластины описывается следующим выражением:∑[()(3.3.5)70(где)]- определяются согласно (3.1.13), а С иДлянахождениякритическихсилN1и, по (3.2.4).N2необходиморешитьхарактеристическое уравнение (3.3.3) относительно неизвестных сил, подставив внего последовательно корни, аналогично примерам 3.1.1 и 3.1.2.В таблице № 3.3.1 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.3.

1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической22.29648.38056.60846.8406силы N1.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.3.2).=0.5=1.0=2.0=1.5Рисунок 3.3.2 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.3.2 приведены значения критической нагрузки для71прямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1 = 0).Таблица № 3.3.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической48.126712.51685.62273.4100силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.3.3).=0.5=1.5=1.0=2.0Рисунок 3.3.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.3.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярном направлении силами N1=N2=N.Таблица № 3.3.3 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических20.29165.89783.27892.3749сил N1 и N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формы72потери устойчивости (рисунок 3.3.4).=1.0=0.5=1.5=2.0Рисунок 3.3.4 – Формы потери устойчивости.3.1.4 Пластинка, шарнирно опертая по двум сторонам и по двум жесткозащемлена.Рассмотрим пластинку, у которой, двепродольные стороны жестко заделаны, адве другие опираются шарнирно.Из условия на начальной линии приизвестны две начальные функцииРаскрывая граничные условия на краюРисунок 3.4.1 – Расчетная схема..(3.4.1)Получим систему однородных уравнений бесконечно высокого порядка спостоянными коэффициентами относительно двух неизвестных начальныхфункцийи:73{(3.4.2)Решая систему (3.4.2), аналогично тому, как это делалось в предыдущихпримерах, получим характеристическое уравнение:(3.4.3)(где())- определяются по формулам (3.1.7), а общее решение задачи:∑(3.4.4)[(())]Произвольные постоянные Аn и Вn определяются из граничных условий напоперечных сторонах пластинки аналогично примеру 3.1.1.

Поскольку граничныеусловия совпадают, то Bn=0 и, а прогиб пластины описываетсяследующим выражением:∑[()(3.4.5)(Длянахождения)]критическихсилN1иN2необходиморешитьхарактеристическое уравнение (3.4.3) относительно неизвестных сил подставив внего последовательно корни, аналогично примерам 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3.В таблице № 3.4.1 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;742.0, сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.4.1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической37.954937.95496 35.11571 34.40348силы N1.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.4.2).=1.0=0.5=2.0=1.5Рисунок 3.4.2 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.4.2 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой в одном направлении силой N2 (N1 = 0).Таблица № 3.4.2 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической95.678933.276324.855522.4378силы N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.4.3).75=1.0=0.5=1.5=2.0Рисунок 3.4.3 – Формы потери устойчивости.В таблице № 3.4.3 приведены значения критической нагрузки дляпрямоугольной пластинки с различными соотношениями сторон =0.5; 1.0; 1.5;2.0, сжатой во взаимно перпендикулярном направлении силами N1=N2=N.Таблица № 3.4.3 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критических29.234818.899818.592218.8748сил N1и N2.Для полученных значений критических нагрузок ниже приведены формыпотери устойчивости (рисунок 3.4.4).=1.0=0.576=2.0=1.5Рисунок 3.4.4 – Формы потери устойчивости.Формапотериустойчивостиоткритическогосжимающегоусилияреализуется с образованием одной полуволны в каждом направлении.3.1.5 Пластинка, шарнирно опертая по двум сторонам и две сторонысвободны.Рассмотрим пластинку, у которой, двепродольные сторонысвободны от опор, а дведругие свободно опираются (рисунок 3.5.1).Из условия на начальной линии приизвестны две начальные функцииРаскрывая граничные условия на краюРисунок 3.5.1 – Расчетная схема.;.(3.5.1)получим систему однородных уравнений бесконечно высокого порядка спостоянными коэффициентами относительно двух неизвестных начальных функцийи{(3.5.2)Решая систему, аналогично тому, как это делалось в предыдущих примерах,получаем характеристическое уравнение:((где С и())(3.5.3)), определяются по формулам (3.2.4), аформулам (3.1.7).- определяются по77Общее решение задачи в этом случае имеет вид:∑(3.5.4)[()()]Произвольные постоянные Аn и Вn определяются из граничных условий напоперечных сторонах пластинки аналогично примеру 3.1.1.

Характеристики

Список файлов диссертации