Диссертация (792654), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Граничные условия в этом случае запишутся ввиде:(2.4.22)(2.4.23)Используем метод сил, врежем на краю ξ=0 шарнир и приложимнеизвестный момент, который представим в виде разложения вряд по некоторой полной системе функций с неизвестными коэффициентаминапример, тригонометрический. При этом желательно, чтобы эти функцииудовлетворяли граничным условиям на продольных краях пластинки η=0 и η=1.Этим требованиям удовлетворяют собственные функции,поэтому зададим:∑где(2.4.24)– неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.Для основной системы с шарнирно опертым краем ξ=0, загруженныммоментом Х(η), коэффициент Вn решения (2.3.53) определяется формулой (2.4.21),в которой нужно положить Z(η)=0:{ ∫∫(2.4.25)∫}Решение (2.3.53) с коэффициентом (2.4.25) точно удовлетворяет граничному54условию (2.4.22).
Неизвестные коэффициентыв разложении (2.4.24), котороевходит в (2.4.25), могут быть найдены из граничного условия (2.4.23) – равенствонулю угла поворота на краю ξ=0. Для этого можно использовать методортогонализации функцииили∫илик полной системе функций, например, тех же:∫∑(2.4.26)Ограничиваясь конечным числом членов ряда разложения в (2.4.24) исоответствующим количеством «m» в (2.4.26), получаем систему алгебраическихуравнений для нахождения неизвестных коэффициентовв разложении (2.4.24),а следовательно, и приближенного значения Вn по формуле (2.4.25) в решениизадачи (2.3.53).Если поперечный край пластинки (например при ξ=0) свободен, тограничные условия запишутся:(2.4.27)(2.4.28)Используем метод перемещений – закрепим этот край шарнирной опорой изададим неизвестное перемещение W(ξ=0)=hZ(η), которое представим в видеразложения по функциямс неизвестными коэффициентами Dк.∑(2.4.29)Тогда коэффициенты Вn в решении (2.3.53) вычисляются по формуле (2.4.21),в которой нужно положить Х(η)=0.
Неизвестные коэффициентыв разложении(2.4.29) могут быть найдены из граничного условия (2.4.28) с использованиемметода ортогонализации∫(2.4.30)аналогично тому, как было показано в предыдущем рассмотренном случае.55Рассмотрим теперь, каким образом можно решать задачу устойчивостипластинки при отсутствии поперечной нагрузки.2.5 Решение задачи устойчивости пластинки методом начальныхфункций (нахождение критических нагрузок и форм потери устойчивостисжатых пластинок).Покажем порядок нахождения критических нагрузок и форм потериустойчивости на примере пластинки находящейся под действием равномерно распределенных сжимающих нагрузок N1 и N2, лежащих в ее срединнойплоскости.Решение однородного уравнения изгиба сжатой пластинки имеет вид (2.3.53),в котором=0:∑(2.5.1)Это решение описывает изогнутую форму равновесия пластинки после потериустойчивостиподдействиемсжимающихсилN1иN2,входящихвхарактеристическое уравнение (2.3.11), которое получается из удовлетворенияграничным условиям на продольных сторонах пластинки.Для определения произвольных постоянныхи, входящих в решение(2.5.1), как было показано в предыдущем параграфе, используются однородныеграничные условия на поперечных сторонах пластинки.
При этом, задачарешается точно, если эти края шарнирно оперты или на них задан ползун.Так, при шарнирном опирании краев ξ=0 и ξ= из граничных условий имеем:при ξ=0∑∑(2.5.2)(2.5.3)уравнения должны удовлетворяться для всех значений , следовательно, Вn=0.При ξ= :56∑(2.5.4)∑(2.5.5)Так как Аn не равен 0, то граничные условия (2.5.4) и (2.5.5) будутудовлетворены еслизначенийN1иN2=0, отсюда следует, что для нахождения критическихнеобходиморешитьхарактеристическоеуравнениеотносительно неизвестных сил, подставив вместо rn корни уравненият.е.,.
Так как, необходимо определить наименьшее значениепродольных сил, то естественным будет положить n=1, однако значение «n»определяет форму потери устойчивости (количество полуволн) в продольномнаправлении, поэтому минимальную критическую силу для прямоугольных(вытянутых) пластинок необходимо искать для значений n=1, 2, 3 и т.д. взависимости от соотношения сторон.Таким образом, решая совместно характеристическое уравнение и s, находим искомое значение критической нагрузки Nкр..Если поперечные края пластинки ξ=0 и ξ= защемлены или свободны отсвязей, то граничные условия на этих краях могут быть удовлетворены приближеннос использованием соотношения обобщенной ортогональности, как это было показанопри решении задачи для сжато-изогнутой пластинки.Так, используя метод сил для защемленного края или метод перемещений длясвободного края, на основании формулы (2.4.26) в первом случае или (2.4.30) вовтором случае, получаем систему однородных уравнений относительно неизвестныхкоэффициентов Ck или Dk разложений (2.4.24) или (2.4.29).
Ограничиваясь конечнымчислом членов разложений и приравнивая нулю определитель из коэффициентовэтой системы, получаем второе уравнение, необходимое для определениякритического параметра сжимающей нагрузки N. Решая совместно это уравнение схарактеристическим, определяющим показатель rn однородного решения, находимприближенное значение Nкр..57Сформулируем основные выводы:- построена матрица начальных функций для расчета сжато-изогнутыхпластинок;- показан алгоритм получения решения методом начальных функций задачиизгиба сжатых пластинок: отыскание начальных функций из граничных условийна двух продольных сторонах пластинки, учет внешней нагрузки.
Это решениеточно удовлетворяет дифференциальному уравнению сжато-изогнутой пластинки,принятым условиям на продольных краях и содержит 4n произвольныхпостоянных, которые могут быть определены из граничных условий напоперечных сторонах пластинки;- получено новое соотношение обобщенной ортогональности функцийоднородного решения позволяющего точно или приближенно удовлетворитьграничным условиям на поперечных сторонах и найти произвольные постоянныерешения задач устойчивости и изгиба сжатых пластинок.- операторная форма записи решений удобна для учета различных внешнихвоздействий, в том числе и разрывных;- часть работ может быть выполнена заранее и представлена в виде таблиц,позволяющих при едином подходе рассчитывать пластины с любыми граничнымиусловиями на любые виды нагрузок.В следующих главах, на основании этой методики были рассмотрены тестовыепримеры решения задачи изгиба и устойчивости сжатой прямоугольной пластинки сразличными условиями закрепления её краёв, при разных соотношениях сторонсжимающих сил N1 и N2.и58ГЛАВА 3.
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ НАПРИМЕРЕРАСЧЕТАИЗОГНУТЫХПРЯМОУГОЛЬНЫХПЛАСТИНОКССЖАТЫХРАЗЛИЧНЫМИИСЖАТО-УСЛОВИЯМИОПИРАНИЯ ПО КОНТУРУ И РАЗЛИЧНЫМИ ЗАГРУЖЕНИЯМИ.3.1 Примеры расчета на устойчивость сжатой в срединной плоскостипластинки.Для оценки эффективности предлагаемой методики расчета на устойчивостьпрямоугольных пластинок с различными условиями опирания и загружениясначала рассмотрим ряд примеров, для которых имеются числовые результаты,полученные другими методами.
Следует отметить, что результаты, при этом,полностью совпадают.В начале рассмотрены пять примеров (3.1.1-3.1.5) расчета пластинки сразличными условиями опирания по контуру, для которых граничные условияточно удовлетворяются с помощью соотношения обобщенной ортогональности, ирешение получается точно.
На рисунках приняты следующие обозначения:- свободный от закрепления край пластины;- шарнирное опирание;- жёсткое защемление.3.1.1 Пластинка, шарнирно опертая по контуру.В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную шарнирно опертуюпо контуру пластинку (рисунок.3.1.1).Расчетпроизводим,следуяалгоритму, рассмотренному во второйглаве. Из условия на начальной линииприизвестны две начальныефункции.Раскрывая граничные условия наРисунок 3.1.1 – Расчетная схема.краюполучимсистему однородных уравнений бесконечно высокого порядка с постоянными59коэффициентами относительно двух неизвестных начальных функцийигдеиндекс 1 вверху операторов означает, что в операторы матрицы вместопеременной η необходимо подставить ее значение, равное единице.:(3.1.1){Поскольку в соответствии с таблицей 2.1.1 операторы имеют вид:где√()()()()√√Подставив их в (3.1.1), получим:()()(3.1.2)()(){Для решения однородной системы (3.1.2) введем одну новую неизвестнуюразрешающую функцию V(ξ) по формулам:()(3.1.3)()Тогда, после подстановки (3.1.3) в однородную систему (3.1.2), первоеуравнение удовлетворится тождественно, а второе примет вид:60([)()()()((3.1.4))]Таким образом, однородная система сводится к одному линейномудифференциальномууравнению(трансцендентному),сбесконечнопостояннымиразрешающей функциивысокогокоэффициентами,порядкаотносительно, которое можно назвать разрешающем уравнением.Ищем решение разрешающего уравнения в виде:Для нахождения неизвестного показателя степени rn(3.1.5)необходимо решитьхарактеристическое уравнение:()()(3.1.6)которое получается заменой в дифференциальном операторе уравнения (3.1.4)символа дифференцирования√на rn., где√√Подставивначальныефункции(3.1.3)(3.1.7)в(2.1.10)ивыполнивдифференциальные операции, получим общее решение задачи:∑(3.1.8)(гдеЭторешениеточно)удовлетворяетдифференциальномууравнению,граничным условиям на продольных сторонах пластинки и содержат 2nпроизвольных постоянных Аn и Вn которые определяются из граничных условийна поперечных сторонах пластинки.61Раскрывая граничные условия на поперечном крае при ξ=0, W = 0; Мx= 0,получим уравнения, содержащее только функцииот аргумента :∑(3.1.9)∑[]Так как эти уравнения должны удовлетворяться для всех значенийкоэффициентытодолжны равняться нулю.
Отсюда следует, что Bn=0.Из граничного условия при ξ= , W = 0; Мx= 0,∑(3.1.10)∑[Следует, что]. Так как при(W=0), получаем уравнение для нахождениянет потери устойчивости.(3.1.11)Отсюда.Таким образом, прогиб пластины описывается следующим выражением:∑√(()√)((3.1.12))(3.1.13)√Сомножитель()обеспечивает удовлетворение граничных условий нашарнирно опертых краях пластинки при, а параметр «n» определяетформу потери устойчивости (количество полуволн) в продольном направлении.Выражение()характеризует62распределение прогибов в поперечном направлении.
Это решение точносовпадает с решением в тригонометрических рядах.Определим величину критической силы N1 и N2 для чего подставим вхарактеристическое уравнение (3.1.6) найденное значениеи решимтрансцендентное уравнение относительно неизвестных сил.Так как, необходимо определить наименьшее значение продольных сил, токажется естественным, что «n» должно принимать наименьшее из возможныхзначений т.е. единицу. Однако значение «n» определяет форму потериустойчивости (количество полуволн) в продольном направлении и как показаливычисления, представленные ниже, минимальную критическую силу дляпрямоугольных (вытянутых) пластинок необходимо искать для значений n=1, 2, 3и т.д. в зависимости от соотношения сторон.Втаблице3.1.1приведенавеличинакритическойпрямоугольной пластинки с различными соотношениями стороннагрузкидля=0.5; 1.0;1.5; 2.0 сжатой в одном направлении силой N1 (N2=0).Таблица № 3.1.1 - Результаты расчета.Соотношение сторон .=0.5=1.0=1.5=2.0Значение критической 30.842519.739221.418419.7392силы N1.Возможные формы потери устойчивости возникают при наименьшемзначении нагрузки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
