Диссертация (792654), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

На основе этого соотношенияБ.М.Нулер развил метод кусочно-однородных решений [93-99].Определению соотношений обобщенной ортогональности в динамическихзадачах теории упругости посвящена статья А.С.Зильберглейта и Б.М.Нулера[65]. Различные виды записи рассматриваемых соотношений можно найти в27работах [71,109].Такое большое внимание соотношению обобщенной ортогональностиуделяется потому, что его применение позволяет легко удовлетворить различнымусловиям на кромках пластинки, ортогональных к начальной линии (напоперечных краях). Это существенно упрощает построение аналитическихрешений ряда задач, недоступных для МНФ.Численная реализация метода не требует больших затрат машинного времении может быть осуществлена на малых ЭВМ, тем более с развитием, особенно впоследние годы, компьютерной алгебры, дающей возможность на основесимвольного представления решать довольно сложные задачи.

Например,использовать МНФ для расчета толстых анизотропных многослойных плит ицилиндрических оболочек в криволинейных координатах. Вообще говоря,использование компьютерной алгебры позволяет переложить всю трудоемкостьгромоздкой вычислительной работы, сопровождающей сложнейшие задачи, на"плечи" электронно-вычислительной машины, что значительно облегчает работу,а потому является очень перспективным в настоящее время направлением.Взаключение сформулируем основные выводы, следующие из анализарассмотренных выше работ, посвященных применению МНФ:- решенияполучаемыепространственныхсиспользованиемидвумерныхМНФ,точнозадачтеорииупругости,удовлетворяютисходнымдифференциальным уравнениям и граничным условиям на большей частиповерхности упругого тела и позволяют приближенно удовлетворить краевымусловиям на сравнительно малых ее участках.

Произвольные постоянные,входящие в (1.2.1), могут быть найдены из граничных условий на поперечныхсторонах пластинки точно, если стороны шарнирно оперты или имеютскользящуюзаделку(ползун)идоказаносоотношениеобобщеннойортогональности для собственных функций;- часть работ может быть выполнена заранее и представлена в виде таблиц,позволяющих при едином подходе рассчитывать пластины с любыми граничнымиусловиями на любые виды нагрузок;28- наосновеМНФнеобходимополучитьсоотношениеобобщеннойортогональности для определения произвольных постоянных в случаях, когда напоперечной стороне пластинки имеется заделка или он свободен от опор;- разработанная методика должна быть опробована на тестовых задачахустойчивости пластин и необходимо провести сравнительный анализ результатоврасчета с результатами, полученными численными методами.Учитывая преимущества метода начальных функций для полученияаналитического решения краевых задач, описываемых дифференциальнымиуравнениями в частных производных, он был выбран в предлагаемой работе, длярешения поставленной задачи.Остановимся теперь на порядке расчета сжато-изогнутых пластинок изадачи устойчивости пластинки методом начальных функций, а также напостроении новых форм общих решений и способов удовлетворения граничнымусловиям при помощи метода однородных решений.29ГЛАВА2.АЛГОРИТМРАСЧЕТАСЖАТО-ИЗОГНУТЫХПЛАСТИНОК И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНКИМЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.2.1.

Построение матрицы начальных функций.Дифференциальное уравнение равновесия сжато-изогнутой тонкой упругойпластинки постоянной толщины , отнесенной к безразмерной системе координатyxl;   ;  1    1;       ;  hhh, при действии распределенной внешнейпоперечной нагрузки q(ξ,η) и продольных сжимающих сил T1 и T2, лежащих в еесерединной плоскости и равномерно распределенных соответственно вдоль осей ξи η (рисунок.2.1.1), имеет следующий вид:(2.1.1)где- безразмерная нагрузка;- цилиндрическая жесткость пластинки;h и l- размеры сторон пластинки.Полноерешениесостоитизоднородногоуравненияобщегоуравнения(2.1.1)решенияичастногоинтеграла.Для построения общего решенияоднородногосимволическийРисунок 2.1.1- Расчетная схема.уравненияиспользуемоператорныйметодА.И.Лурье [86].

Введем следующиеобозначения:- безразмерные сжимающие силы-символ дифференцирования по координате .Тогда однородное уравнение примет вид:(2.1.2)(2.1.3)30.(2.1.4)В соответствии с символическим методом будем рассматривать (2.1.4) какобыкновенноедифференциальноедифференцированияуравнение,формальносчитаясимволнекоторым постоянным числом. Его решение ищем в виде:(2.1.5)Подставим (2.1.5) в (2.1.4) получим:[Поскольку],следует,что(2.1.6)уравнению(2.1.4)соответствуетхарактеристический биквадратный полином:(2.1.7)корни которогогде√√√Следовательно,общийинтеграл(2.1.8)однородногоуравнения(2.1.1)всимволической форме запишется в следующем виде:(2.1.9)гдеCi,,формальнопредставляющиесобойпроизвольныепостоянныеинтегрирования, на самом деле являются произвольными функциями координаты, над которыми необходимо выполнить дифференциальную операцию,предварительно представив тригонометрические функции в виде степенных рядоваргумента.Следуя основной идее метода начальных функций, выразим геометрическиеи силовые характеристики изгибаемой пластинки через начальные функции.Линию =0 (рис.

2.1.1) примем за начальную и условимся считать кромкипластинки, параллельные и перпендикулярные к этой линии соответственнопродольными и поперечными.В технической теории пластинок имеют физический смысл и могут бытьзаданы на начальной линии прогиб W,угол поворота,момент31() и приведенная (по Кирхгофу) перерезывающая сила(). В задачах устойчивости при наличии сжимающейсилы Т2 удобнее в качестве безразмерной величины перерезывающей силы в=0сечении(),рассматриватьобобщеннуюперпендикулярнуюперерезывающеюпервоначальнойсилунедеформированнойсерединной плоскости пластинки. Поэтому в задачах за безразмерные начальныефункции примем следующие величины:(2.1.10)().Используя граничные условия (2.1.10), выразим Сi, через начальныефункции:(2.1.11)Врезультатеподстановкисоотношений(2.1.11)в(2.1.9)ивсоответствующие выражения для угла поворота и внутренних усилий придем кискомым зависимостям метода начальных функций:[[где]][][],(2.1.12)- трансцендентные линейные дифференциальные операторы, зависящие откоординаты , приведены в таблице 2.1.1 на стр.

33 (как в замкнутом виде, так и ввиде степенных рядов по ).Эта матрица справедлива, при расчете сжато-изогнутых пластинок, когда N1и N2 не равны нулю. В случае решения задачи только изгиба (N1=N2=0)32используется матрица, приведенная в таблице 2.1.2 на стр. 34. Она не может бытьполучена из матрицы таб.2.1.1, если положить N1=N2=0, так как корнихарактеристических уравнений для этих задач различны: при изгибе они кратные,а для сжато-изогнутой пластинки они все различные.33Таблица 2.1.1 Матрица дифференциальных операторов для расчета сжато-изгибаемых пластинок.oWo((Mo[)])()√√√√√(√√(√√√))√√((√)(√Qo)√)√()[()))√√√()√()))(√))(√((√√()√))√)(()√√√)(√√(()√√()()()√)(√√√)√)√((()(√√√(](√√√√((√()(√))()…(()√))…34Таблица 2.1.2 Матрица дифференциальных операторов для расчета изгибаемых пластинок при отсутствиисжимающих сил (N1 =N2=0).oWoMoQo[[]]]=[[]][[][][]]35Матрица, состоящая из операторов над начальными функциями ввыражениях (2.1.12), называется матрицей начальных функций.

Она определяетобщий закон линейного преобразования начальных функций к значениямвнутренних усилий и перемещений при произвольной координате .Встатье[1]В.А.Агаревпредлагаетназватьвыражения(2.1.12)каноническими уравнениями метода начальных функций, так как эта формазаписи не зависит от вида дифференциального уравнения и условий задачи,количество же слагаемых определяется порядком исходного уравнения. Дляостальных величин,,, характеризующих напряженно деформированноесостояние пластинки, могут быть записаны выражения аналогичные (2.1.12).Полученное однородное решение точно удовлетворяет бигармоническомууравнению (2.1.1), а форма его записи удобна для учета различных внешнихвоздействий, как силовых, так и кинематических.2.2 Учет внешних воздействий.Общее решение задачи с учетом внешней нагрузки может быть записано ввиде:[][][][],(2.2.1)где последние слагаемые являются частными решениями, учитывающимивнешние воздействия.Метод начальных функций позволяет очень просто получить частныерешения, если в каком либо сечении пластинкифункцийпо координатеприложена внешняя сосредоточенная пона определенную величину, т.е.и распределенная по(рисунок.

2.2.1), либо задан внешний моментповоротазадан разрыв одной изнагрузка, прогиб, то пользуясь принципом наложения, вытекающим изили угол36Рисунок 2.2.1 – Схема загружения.Рисунок - 2.2.2 – Схема загружения.линейности преобразований (2.1.10), следует для сечения с координатойприбавить влияние этого разрыва. Оно будет равно дифференциальной операциисоответствующей функции-оператора над величиной разрыва. Таким образом,запишем функции-операторы для случаев, когда в сечении- сосредоточенная пои распределенная по∑имеется:поперечная нагрузка∑(2.2.2)∑∑где;- сосредоточенный пои распределенный по∑изгибающий момент∑(2.2.3)∑где∑.Так, для случая сосредоточенной пораспределенной по(в сечениипоперечной нагрузке (прирешение W* имеет следующий вид:) и равномерноconst), частное37()(2.2.4)√√√В случае распределенной понагрузки, которую(рис.

2.2.2),можно рассматривать как совокупность сосредоточенных посил, длязагруженного участка получим:для поперечной нагрузки∫∫(2.2.5)∫∫для изгибающего момента m∫∫(2.2.6)∫∫Так, для нагрузки, равномерно распределенной попластинке вдоль оси η, функция-операторимеет следующий вид:∫∫(((2.2.6)))(√)38((√)√)√При одновременном действии распределенной и сосредоточенной по η силыинтегралы в формулах (2.2.5) или (2.2.6) следует понимать в смысли Стильтьеса,т.е. надо присоединить к ним последние члены (суммы) выражений (2.2.2) или(2.2.3), соответственно. После построения матрицы начальных функций задачаможет считаться решенной, если известны все начальные функции, необходимолишьвыполнитьдифференциальныеоперациипредварительно необходимо записать операторынадними.Дляэтогов виде степенных рядов.2.3 Нахождение начальных функций из граничных условий напродольных сторонах пластинки, параллельных начальной линии.Покажем порядок нахождения начальных функций (без ограниченияобщности) на примере пластинки с двумя защемленными противоположнымипродольными и шарнирно опертыми поперечными кромками (рисунок.

2.3.1) поддействием поперечной равномерно - распределенной нагрузки q и сжимающихсил N1 и N2, лежащих в ее срединной плоскости.Две начальные функции, как правило, известны из условий на начальнойлинии η=0, остальные разыскиваются из граничных условий на продольнойстороне параллельной кромке η=1.Из условия симметрии на начальнойлинии следует равенство нулю углаповорота и перерезывающей поперечнойсилы:(2.3.1).Рисунок.

Характеристики

Список файлов диссертации