Диссертация (792654), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Авторы различно подходят как к построению основных соотношенийметода, так и к ходу расчета, получая тем не менее, аналогичные результаты.Эти различия характеризуют две основные схемы решения задач теорииупругости МНФ. Так, для построения общего решения задачи о равновесиитолстой плиты А.И.Лурье использует символический метод, получая выражения,записанные в замкнутой трансцендентной форме. При определении начальныхфункций автор использует трансцендентные операции и трансцендентныедифференциальные уравнения, получая решения, точно удовлетворяющиеисходным уравнениям равновесия и граничным условиям на торцевыхповерхностях плиты.
При этом рассматриваются некоторые частные, хотя идостаточно широкие, классы нагрузок.16В.З.Власов, раскладывая искомые функции в степенные ряды по одномунаправлению, строит матрицу прямого преобразования начальных функций вискомые. При этом операторы матрицы начальных функций определяются в видебесконечных операционных рядов. Формальное суммирование этих рядов даеттрансцендентную форму записи операторов, но автор пользуется усеченнымисуммами и приходит в результате не к трансцендентным, а к полигармоническимдифференциальнымуравнениямотносительноразрешающейфункции.Получаемое при этом приближенное решение задачи, позволяет автору неограничивать общности нагрузок.
Оба подхода имеют свои достоинства взависимости от характера решаемых задач.Говоря о развитии и совершенствовании получения основных соотношенийметода, нельзя не обратить внимание на работы А.С.Малиева. В 1951 годуА.С.Малиевпредложил(функциональныхметодпредставлениях[90]основанныйвекторананапряженийобщихирешенияхперемещений)Б.Г.Галеркина, П.Ф.Папковича и В.Черрути. Входящие в общее решениегармонические и бигармонические функции записаны так, что на плоскости Z=0функцииобщегорешенияоказываютсязаданнымисамойфункциейинеобходимым количеством ее производных по Z.
Приравнивая начальныефункции: перемещения и напряжения Uo, Vo, Wo, σo, τoyz, τozx, соответствующимфункциям общего решения, А.С.Малиев получает дифференциальную связь и,таким образом, представление искомых характеристик НДС в произвольной точкетела через начальные функции. В статье [90] метод использован дляпространственных статических задач теории упругости изотропного тела впрямоугольной декартовой системе координат.Основополагающе работы А.И.Лурье были продолжены в трудах советскихученых: В.А.Агарева [1-4], В.Г.Бабаджаняна [8-9], М.Г.Ванюшенкова [16-18],В.В.Власова [23-32], А.Н.Волкова [35-39], И.И.Воровича [40-44], Ф.А.Гохбаума[49, 50], Е.М.Круга [73, 74], Н.Н.Леонтьева [76], С.Г.Лехницкого [77-79],У.К.Нигула [91,92], Б.М.Нулера [93-99], Я.С.Подстригача и В.А.Столярова[108,133,134],В.К.Прокопова[110-115,54,55],В.Д.Райзера[119-123],17И.Г.Терегулова [131], Н.А.Устинова [139, 140], и др.Библиографию по вопросам применения метода начальных функций взадачах теории упругости также можно найти в работах [4, 17, 18, 32,60, 110], гдемногиеизотмеченныхвышеработподробнорассмотрены,атакжесформулированы задачи дальнейших исследований.Кратко остановимся лишь на некоторых работах.В работах Ф.А.Гохбаума [49, 50] получены зависимости МНФ для решенияпространственных задач теории упругости в цилиндрической системе координат,решенрядпрактическиважныхзадач.Отличительнойособенностьюисследований Ф.А.Гохбаума является использование общих решений теорииупругостидляполученияосновныхсоотношенийметодавзамкнутомсимволическом виде.
Автору удалось получить операторы-функции черезкомбинации функций Бесселя символического аргумента. В работе [49]полученные числовые соотношения использованы для расчета цилиндрическихархитравов железобетонных станин прессов, исследуются основные свойстваоператоров - функций. В работе [50] изложен метод "моментов", позволяющийприближенно удовлетворять условиям сопряжения для круглых плит. Сущностьпредставленного метода заключается в том, что вместо контактных напряжений иперемещенийприрасчетесопряжениярассматриваютсячисловыепоследовательности моментов этих функций.Особое значение имеют работы В.А.Агарева. В монографии [1] даетсяобоснование математического формализма метода, рассмотрены некоторыеплоские задачи теории упругости изотропного тела, изгиба пластин, представленаобщая теория операторов МНФ.Большое количество работ по расчету пластин с помощью МНФопубликовано М.Г.Ванюшенковым. В статье [17] решена задача об изгибепластины постоянной толщины, в работе [18] излагается расчет равнобокойтрапециевидной пластины, жестко защемленной по контуру, под действиемгидростатической нагрузки.
Проведено сравнение результатов расчета пластин,опертых по параллельным контурам на промежуточные опоры, с данными,18полученными методом электрического моделирования, при этом отмеченорасхождение результатов в зоне скошенных краев. В статье [16] приведенысоотношения МНФ для задачи изгиба пластины, лежащей на упругом основании.Решение строится в одинарных тригонометрических рядах. В статье [20]построены зависимости метода для расчета пластин, опертых по параллельнымсторонамконура на промежуточные опоры.Исследования В.Д.Райзера [119-123] посвящены вопросам применения МНФдля расчета пространственных конструкций типа ортотропных и изотропныхтонких оболочек, а также пологих оболочек, где на основании разработанногоавтором метода решения системы линейных дифференциальных уравнений спеременными коэффициентами построены зависимости метода для исследованиятонких упругих оболочек.В статьях [35-39] А.Н.Волков рассматривает применение МНФ дляпостроения теории толстых оболочек.
Используя подход В.З.Власова кинтегрированию уравнений смешанного метода для получения соотношенийМНФ в ортогональной системе криволинейных координат, автор получилрекуррентные формулы для вычислений компонентов матрицы - оператора.В работах Я.С.Подстригача и В.А.Столярова [108,129] разработан матричнооперационный метод решения систем дифференциальных уравнений в частныхпроизводных, с помощью которого получены разрешающие системы уравненийдля пространственных краевых задач теории упругости изотропного тела вразличных ортогональных системах координат.
Статья [129] посвящена решениюзадачи для бесконечного плоского слоя постоянной толщины, в работе [130]матрично - операционный метод применен для получения замкнутого видаоператоровМНФвосесимметричнойзадачетеорииупругостидляцилиндрического слоя.В последние годы интерес к исследованию вопросов расчета пластин сиспользованием основных приемов МНФ подтверждается наличием статей,посвященных этому вопросу.Так, в статье [146] Г.Н.Ширунова методом начальных функций решена19пространственная задача теории упругости сжатия изотропного слоя нормальнойнагрузкой, равномерно распределенной на ограниченной области границы.Данный слой, разделенный на отдельные подслои, имеющие разные упругиехарактеристики, служит моделью многослойного основания.
Выделенный избесконечного слоя параллелепипед, размеры которого много больше размераобласти локальной нагрузки, рассматривается как упругое полупространство.С помощью специально разработанной программы на основе комплексасимвольных вычислений Maple получено численно-аналитическое решение, вкотором искомые функции перемещений представлены рядами Фурье. Проблемавычислительной неустойчивости счета, присущая МНФ при высоких номерахгармоник, решается использованием в представлении вещественных чиселмантиссы достаточной длины. Проведено сравнение полученных результатов срешениями классической теории упругости для упругого полупространства,заложенными в нормативные документы по проектированию основанийфундаментов, а также с решениями, получаемыми с помощью метода конечныхэлементов.
В работе А.В.Матросова [87] представлен алгоритм построенияосновных соотношений метода начальных функций (МНФ) для плоской задачитеории упругости анизотропного тела в ортогональной прямоугольной системекоординат в матрично-операторной форме, используя общее решение уравненийтеории упругости в перемещениях через две произвольные функции. Доказанарегулярность операторов МНФ для случая произвольной анизотропии. Показанасходимость получаемых в решении МНФ степенных рядов в случае заданияначальных функций через тригонометрические синусы и косинусы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
