Диссертация (792636), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Для правого и нижнего жестко заделанных краевпрямоугольной плиты эти уравнения записывается в «зеркальном отображении».Уравнение (2.3.8) преобразуем следующим образом:wij = ( −  2 ) ( wi−1, j + wi+1, j ) + 2h 0 ij( ) −−   0 mi(−1,) j + 0 mi(+1,) j  + 2 (1 +  ) 0 mi(, j) +(2.4.16)2+2 ( 2 −  ) wi, j +1 + 2wi, j +1 − h pij  / 2  + 2 −  ( 2 +  )  .Это уравнение для точки ij левого свободного от закреплений края ортотропнойплиты. Для правого края оно записывается в «зеркальном отображении».Для точки ij верхнего свободного края плиты из (2.3.10) следует:  2    2  0 ( )wij = 1 −w+2(2−)w+ i , j −11 − wi , j +1 + 2h  ij −i +1, j    + 0 mi(, j)+1 + 2 1 +  0 mi(, j) +  +2 wi+1, j −h 2 pij  / 2 1 + 2 −   2 +   . −( m( )0i , j −1)(2.4.17)Для точки ij нижнего свободного края уравнения (2.4.17) записывается в«зеркальном отображении».46Как отмечено выше, в этих формулах: 0 ( ) , 0 ( ) , 0 m( ) , 0 m( ) - заданные на свободныхкраях плиты значения обобщенных поперечных сил и изгибающих моментов, вчастности, равные нулю.Прогиб в точке ij верхнего и нижнего свободных краев плиты определяются по(2.4.1).

Запишем это уравнение с учетом (2.4.13) в следующем виде (при q( ) = 0 ):()wij = 0, 25 wi , j −1 + wi , j +1 + 0,5wij −−0,1( wi, j −1 + wi, j +1 ) − wij .(2.4.18)Уравнение для определения wij на левом и правом свободных от закрепленийкраях плиты следует из (2.4.18) с заменой  , i, j соответственно на  , j, i .Если плита шарнирно оперта по всему контуру, поскольку на краях в этом случаеw = w = w = 0 ,при составлении системы алгебраических уравнений следуетпользоваться лишь уравнениями (2.4.11), (2.4.12), (2.4.13), указывая ЭВМпоследовательный переход от одной расчетной точки и другой. Итерационныйпроцессе продолжается до исчерпания наперед заданной точности.При прочих краевых условиях в итерационный процессе вовлекаются записанныедля краевых точек уравнения (2.4.15), (2.4.18). Использование того или другогоуравнения из них зависит от заданных условий на краях плиты.Безразмерные изгибающие моменты m( ) , m( ) с учетом вычисленных значенийm( ) , m( )и заданных  ,  подсчитываем по формулам (2.2.16).Для определения крутящих моментов по найденным значениям w предварительнонаходим w , w .

Для краевых точек при  = 0 используем формулу:wij =1(−3wij + 4wi , j +1 − wi , j + 2 ).2h(2.4.19)47Для точек правого края (2.4.19) записывается в «зеркальном отображении». Приэтом w меняет знак.К регулярным точкам сетки применяется формула центральных разностей:wij =1(− wi , j −1 + wi , j +1 ).2h(2.4.20)Для определения wij формулы (2.4.19), (2.4.20) записываются с заменой  , i, jсоответственно на  , j, i .Тогда wij =1(− wi−1, j + wi+1, j ).2hФормула wij =1(− wi, j −1 + wi, j +1 ).2h(2.4.21)(2.4.22)может быть использована для предварительных вычислений. После определенияwij безразмерный крутящий момент mij можно найти по формуле (2.2.17).Поскольку значения w , w , w необходимы проектировщику в крайне редкихслучаях, вычисление этих величин можно не включать в программу, а определитьих лишь в представляющих интерес узлах сетки по найденным на ЭВМ значениямw.Величину q( ) в точке ij верхнего края плиты в общем случае можно вычислитьпосле определения w , w по формуле [117]:qij( ) = −1 1 +   1 wi , j −1 +wij −wi , j +1 −2hh2h− wi+1, j −h−2hwi, j −1 + +hwij −2hwi, j +1 −48−hwi+1, j +hpij .2(2.4.23)При учете (2.3.11) из (2.4.23) как частный случай следует формула для qij( ) ,справедливая для верхнего свободного от закреплений края плиты:qij( ) = −11 1(  − 1) wi1 +  −  (1 + )  wij +(  − 1) wi, j −1 +, j +1 −2h h 2h − wi+1, j −h−+hwi+1, j +hpij +21   0 ( )   mi , j −1 + 2 1 +  0 mij( ) + 0 mi(, j)+1  .2h  (2.4.24)Формулу для q( ) в точке ij левого края плиты получим из (2.4.23) при  = 1 изамене  , , j, i соответственно на  ,  , i, j .Для нижнего и правого краев этиформулы записываются в «зеркальном отображении»; при этом q( ) , q( ) меняютзнак на обратный.2.5.Решение тестовых задач по разработанной методике.В качестве первой тестовой задачи рассмотрим расчет квадратной шарнирноопертой по контуру изотропной плиты, загруженной в пределах своей четвертиравномерно распределенной безразмерной нагрузкой p = 1 (рис.

2.3).49Рис. 2.3Для перехода к расчету изотропной плиты достаточно в уравнениях пункта2.4 положить  =  = 1 поскольку при этих значениях  ,  из (2.2.1) как частныйслучай следует разрешающее дифференциальное уравнение изотропной плиты,записанное в безразмерном виде. В частности, из (2.4.8) и (2.4.9) получимсоответственно:wi−1, j −1 + 2wi−1, j + wi−1, j +1 ++4wi, j −1 − 40wi, j + 4wi, j +1 ++ wi+1, j −1 + 2wi+1, j + wi+1, j +1 ++ wi−1, j −1 + 4wi−1, j + wi−1, j +1 ++6wi, j −1 +6wi , j +1 +50+ wi+1, j −1 + 4wi+1, j + wi+1, j +1 +(h+ 2)+2 wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j +I − IIqi(,j)−1 − 4 I − II qi(,j)−1/2 − 5  I − II qij( ) +III − IVqij( )  − 4 III − IV qi(,j)+1/2 +III − IVqi(,j)+1 +h I − III ( )))I − IIIII − IVqi −1, j − 4 I − III qi(−1/2,qij( ) − II − IV qij( ) − 4 II − IV qi(+1/2,qi(+1,) j =j −j +23= h 2 ( I pij + II pij + III pij + IV pij );2+(2.5.1)wi−1, j −1 + 6wi−1, j + wi−1, j +1 ++4wi, j −1 +4wi, j +1 ++ wi+1, j −1 + 6wi+1, j + wi+1, j +1 ++ wi−1, j −1 + 4wi −1, j + wi −1, j +1 −+2wi, j −1 − 40wij + 2wi , j +1 ++ wi+1, j −1 + 4 wi+1, j + wi +1, j +1 −()−2 wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j −h+  I − II qi(, j)−1 − 4 I − II qi(, j)−1/2 − I − II qij( ) − III − IV qij( ) − 4 III − IV qi(, j)+1/2 + III − IV qi(, j)+1  +2h I − III ( )))II − IV I − III qij( ) + II − IV qij( )  − 4 II − IV qi(+1/2,+qi −1, j − 4 I − III qi(−1/2,qi(+1,) j =j −5j +23= h 2 ( I pij + II pij + III pij + IV pij ).2(2.5.2)Далее запишем (2.5.1), (2.5.2) для точки 11 показанной на рис.

2.3 сетки с12шагом h = . При этом учтем, что во всех краевых точках, включая угловые,w = w11 = w11= 0;−40w11 =IIp11 =IIIp11 =IVp11 = 0 ; I p11 = 1 ; q ( ) = q ( ) = 0;3 13 11 ; −40 w11=1.2222 22Из решения этих уравнений следует:51w11= w11=−3.4.80Для определения w11 записываем для т.11 уравнение (2.4.10) с учетомкраевых условий и найденных значений w11 , w11 при q ( ) = q ( ) = 0;−4 w11 = −10.2.33; отсюда находим: w11 =.4.804.16При загружении всей площади плиты той же нагрузкой получим:w11 =33; w11= w11=− .1680По формуле (2.4.3) находим безразмерное значение прогиба в центре плиты:w11 =3 1 1= 0, 00391.16 22 12По (2.3.3) приm11= m11= = ,где коэффициент Пуассона  = 0, 3 ; получим3(1 + 0,3) = 0, 0488.

Из решения в рядах [78]: w11 = 0,00406. ; m11= m11= 0,0479.80Погрешность нашего численного решения в сравнении с [78] составляет попрогибам – 3,7 %; по изгибающим моментам 1,9%.Вторая тестовая задача. Изображенную на рис. 2.3 плиту считаемортотропной.Для определения w11 , w11 записываем уравнения (2.4.8), (2.4.9) в т. 11 с учетомуказанных выше краевых условий, параметров p, q( ) , q( ) , h :1−20( + 2 + 1) w11= 3  1;21−20( + 2 + 1) w11= 3  1.231.4 20( + 2 + 1)Решения этих уравнений получим: w11 = w11 = − При загружении всей плиты той же нагрузкой: w11 = w11 = −0,15.( + 2 + 1)52Полученные результаты совпадают с численным решением этой задачи в[116]. Эти результаты в [116] сопоставлялись при конкретных значениях  ,  , (при вычислении изгибающих моментов) с решениями, полученными в [78].Сравнениерезультатоввыявиловысокуюточностьрешенияпоразработанной здесь и в [78] методике.

Отличие нашего решения, полученного нагрубой сетке рис. 2.3 по наибольшим изгибающим моментам от результатовработы [116] составляет 2,6%. Решение В. А. Смирнова в [116] получено на сетке8х8 методом фиктивных нагрузок.Совпадение наших результатов с результатами [116] при решении задачи порис. 2.3., объясняется тем, что коэффициенты при wij , wij в уравнениях (2.4.8),(2.4.9) и в соответствующих уравнениях [116] одинаковы.

Коэффициенты принеизвестных с другими индексами отличаются. Но при записи уравнений (2.4.8) и(2.4.9) для т. 11 рис. 2.3 эти неизвестные являются контурными и равны нулю.Поэтому в таблице 2.1 дается сравнение нашего решения с результатами [78],полученным на ЭВМ при значениях  = 0, 4823;  = 0, 6944;  = 0, 2083.В таблице 2.1а приведено решение этой же задачи для пластины,выполненной из фанеры, при значениях: a=200см; δ=8см; q0 = 8т/м2; Dx=55,89 тм;Dу=17692 тм; Н=11,65 тм.Таблица 2.1аnметод результатыМПА24816m0,089640,091750,091930,09198m0,031030,029670,029560,02955w0,0028830,0029930,0030010,00300153МКЭm0,13690,10370,095000,09281m0,039370,0032190,030310,02969w0,0039160,0032350,0030520,003006По МПА: при n=2 w = 0, 002883 ; при n=16По МКР: при n=2w = 0, 003916 ; при n=16w = 0, 003001 разница 3,93%.w = 0, 003006 разница 30,27%.Значения m , m , w в таблице 2.1 относятся к центру ортотропной плитырис.

2.3, загруженной по всей площади равномерно распределенной нагрузкойр=1, n – число разбиений стороны плиты. В каждой клетке таблицы 2.1 даютсясверху наши результаты, снизу – [116].Таблица 2.1nmmw248160,036080,034870,034790,034780,036080,034870,034790,034780,063130,062690,062680,062680,063120,062690,062680,062680,0054420,0056360,0056500,0056510,0054420,0056360,0056500,005651Таблица 2.1 иллюстрирует быструю сходимость численного решения поразработанному нами алгоритму и практическое совпадение наших результатов срезультатами работы [116].В качестве других тестовых задач ниже мы используем задачи по расчетуортотропных плит на статические нагрузки, решенные в [116].

В этой работевыполнено численное исследование сходимости решений, кроме того проведенапроверка интегрального условия равновесия всей плиты: показано, что сумма54интегралов поперечных сил по контуру плиты равна равнодействующей внешнейнагрузки. Это проверка является существенной и подтверждает высокую точностьполученных в [116] результатов.Третья тестовая задача. Ортотропная прямоугольная пластина, жесткозаделанная по контуру, загружена по всей площади равномерно распределеннойнагрузкой р=1 (рис 2.4).рис 2.4В таблице 2.2 даются значения wm ax в центре плиты, полученные приприведенных выше значениях  ,  , n – число разбиений меньшей стороны.Верхние значения в таблице получены по нашему алгоритму, нижние – по [116]. Вработе [116] показано также, что значение wm ax = 0, 004889 отличается от решения[78], полученного энергетическим методом, на 5,6%.

Характеристики

Список файлов диссертации