2-306-1399885937-25 (782310)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (бездоказательства).Определение 1: Функцияf (x) непрерывна в точке x 0 , если lim f ( x)  f ( x0 ) .Определение 2: Функцияf (x) непрерывна в точке x 0 , если xn : lim xn  x0 ,x  x0nlim f ( xn )  f ( x0 ) .nОпределение 3: Функцияf (x) непрерывна в точке x 0 , если   0  ( ) : x x  x0  f ( x)  f ( x 0 )   .Функция, непрерывная на отрезке.Определение: Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b] , если она непрерывна вкаждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точкеb.Теорема Кантора: Если функцияуказать такоеf (x) непрерывна на отрезке [a; b] , то для любого   0 можно  0 , что f ( x' )  f ( x' ' )  + БОНУСДоказательство:Возьмем число   0 .

Построим на отрезкеобразом: если точкаточекдля любыхx ' и x' ' из [a; b] таких, что x' x' '   .[a; b] точки x0  a  x1  x2  ... следующимxk  b уже построена, то рассмотрим множество E k , состоящее из всехx , удовлетворяющих неравенствам: xk  x  b , f ( x)  f ( xk ) 4.Положим (см. рисунок), что: b,если E k пусто (и на этом построение заканчивается).xinf Ek , если E k не пусто.Заметим, чтоxk  xk 1 в силунепрерывностиf (x) и f ( x)  f ( xk ) 4для любогоx из отрезка [ xk ; xk 1 ] .Последовательность x k  может бытьконечной или бесконечной.

Предположим,что она бесконечна, тогда x k  b для всехПустьc  supxk   b . Так какk.a  c  b , то функция f (x) непрерывна в точке c слева, и потому можно указать такое число  0 , что a  c  для любого x из интервала (ñ   ; c) . По определению10числа c можно найти x k в интервале (ñ   ; c) . Тогда любое число x из интервала ( x k ; ñ)принадлежит интервалу (ñ   ; c) , и потому2  f ( x)  f ( xk )  f ( x)  f (c)  f ( xk )  f (c)   , что противоречит тому, что10 5 4xk  xk 1  c .

Таким образом, последовательность x k  не может быть бесконечной, и потомуисуществует такой номерf ( x )  f (c ) n , что xn  b . Положим:   min( xk 1  xk ) . Возьмем два любых числаx ' и x' ' из отрезка [a; b] таких, что 0  x' ' x'   . Тогда возможны два случая: или обе эти точкипопали на некоторый отрезок [ xk ; xk 1 ] и тогда2 f ( x' )  f ( x' ' )  f ( x' )  f ( x k )  f ( x' ' )  f ( x k )    , или этого не случилось, и тогда42найдется точка x k между x ' и x' ' . Но в этом случае x'  xk 1 , так какxk 1  xk  ( xk  xk 1 )  xk  ( x' ' x' )  x'( x' ' xk )  x' и (доказывается аналогично) x' '  xk 1 , а3потому f ( x' )  f ( x' ' )  f ( x' )  f ( xk 1 )  f ( xk 1 )  f ( x k )  f ( x' ' )  f ( x k )   .

Так как4все приведенные рассуждения справедливы для любого   0 , то теорема доказана.Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числуподобрать общее для всех точекx 0 число  (фигурирующее в определении). Для функций,непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов решённой задачи