2-282-1399881512-1 (782283)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теоремы существования и единственности.Точной верхней гранью числового множестваM ( sup M ) называется число S , такое что:1) S- верхняя граница M ( m  M m  S ).2) Для любого положительного числа  в множестве M можно найти числоm > S -  . (   0 m  M : m > S -  )m , такое чтоТочной нижней гранью числового множества M ( inf M ) называется число S , такое что:1) S- нижняя граница M ( m  M m  S ).2) Для любого положительного числа  в множестве M можно найти число m , такое чтоm  S +  . (   0 m  M : m  S +  )Теорема существования: Пусть M  R , M   , ограниченное сверху (снизу), тогдасуществует точная верхняя (нижняя) грань.Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).Пусть A  R , A   , и B  R , B   , причем a  A и b  B : a  b .

Тогдаc  R : a  c  b a  A и b  B .M  R , M   , ограничено сверху.~~M  c  R c  m m  M  , M   .~~M  R,M   и M  R,M  .~m  M и c  M m  c  1) m  M m  S2)   0 m  M: m > S -Предположим противное:  0 : m  M .~m  S -  M ,S    S . Получили противоречие.Аналогично для S = sup M .Теорема единственности: Если числовое множествоу него есть единственная sup M ( inf M ).M не пусто и ограничено сверху (снизу), тоВведем следующие условия:1) числовое множество M ограничено сверху, если можно указать такое число H , что m  Hдля всех чисел m из множества M .2) числовое множество M ограничено снизу, если можно указать такое число h , что m  h длявсех чисел m из множества M .Доказательство:Рассмотрим множество B , состоящее из всех чисел H , таких что для любого числа m измножества M будет m  H .

Такие числа H существуют, так как множество M ограниченосверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число с , чтоm  с  H для любых чисел m (из M ) и H (из B ).Покажем, что с = sup M . По определению с , для всех чисел m из множества M будет a  c , такчто первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие.

Предположим, чтооно не выполнено, т.е. есть такое положительное число r ( r >0), что для всех чисел m измножества M будет m  c  r . Так как c  r  c , то число c  r не принадлежит множеству B .Но это противоречит определению множества B , которое было множеством всех чисел H , такихчто для любого числа m из множества M будет m  H , а мы нашли число c  r , тожеобладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству B . Полученное противоречиепоказывает, что для числа с выполнено и второе условие из определения верхней грани..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов решённой задачи