Методические указания по выполнению лабораторных работ (778990), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Землярассматривается плоской и невращающейся. Начало координат системы (X,Y,Z)неподвижно и находится на поверхности Земли. Далее , ρ = ρ(Y)-плотность атмосферы(взята по таблицам стандартной атмосферы), V- величина скорости тела; S- площадьмиделева сечения; Cx,Cy,Cz- аэродинамические коэффициенты; θ - угол между векторомскорости и плоскостью (X,Z) (поверхностью Земли); ϕ - угол между проекцией вектораскорости на плоскость (X,Z) и осью X, a- скорость звука в атмосфере, будем считатьнезависящей от высоты Y и равной 300 м/с.Рис.9. К задаче управляемого движения тела в атмосфереВеличинааэродинамическихкоэффициентовзадаетсяследующимивыражениями:Cy = α(a0(M) + α F(α,M) a1(M))Cz = β (d0(M) + β F(β,M) d1(M))Cx = Cx0(M) + K(t) Cxd(M) + ∆ Cx(M,Y) + (b0(M) - α b1(M)) ( С y2 + C z2 );Здесь M = V/a -число Маха;⎧α , если _ M < 1,F(α,M) = ⎨⎩1, если _ M ≥ 1.___________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»Московский государственный технический университетим.
Н.Э. Баумана_________________________________________________________________________Функции a0(M), a1(M), d0(M), d1(M), Cx0(M), Cxd(M), ∆ Cx(M,y), b0(M), b1(M)положительны и заданы арифметическими выражениями; K(t)- заданная положительнаяфункция времени.Начальные условия:V(0) = V0, θ(0) = θ0, ϕ (0) = 0,X(0) = X0, Y(0) = Y0, Z(0) = 0 ,т.е. в начальный момент времени скорость направлена параллельно поверхности Земли,ось X выбрана в направлении вектора скорости в момент t = 0.На управляющие функции α и β наложены ограничения:[α] ≤ α max, [β] ≤ βmax,α max = β max = 18 градусов ≈ 0,314 радиан.Постановка задачи:Определить область D(Y0,V0) точек в плоскости (X,Z), y = 0 куда может бытьприведена фазовая точка системы для всех возможных начальных условий y0, V0 изинтервалов 0,5 ≤ Y0 ≤ 22; 0,6 ≤ V0 ≤ 2,5, используя управления (α(t), β(t)).Задача сводится к задаче оптимального управления.
Действительно, рассмотримна траекториях системы функционал:J = X(T) cos λ - Z(T) sin λгде момент Т определяется из условия Y(T) = 0. Функционал J является проекцией вектора(X(T),Z(T)) на направление, исходящее из начала координат в плоскости (X,Z) под углом λк оси X. Максимизируя функционал J и изменяя λ 0 до π, мы получим границу областиD(Y0,V0).Рассмотрим плоскую постановку задачи, т.е.ϕ = 0, Z = 0, β=0.Время окончания процесса tk = Т определяется из условия Y(tk) = 0.Минимизируемый функционал J=X(tk).Решите задачу методом последовательных приближений [7].
Сравните результаты,полученные модифицированными алгоритмами улучшения сходимости М4 и М6 [8], приследующих начальных условиях: Y0 = 5,875 км; V0 = 1,075 км/c; t0 = 0; X0 = 0.В качестве начального приближения для управления можно принять нуль на всеминтервале времени. При этом дальность будет равна Х = 19 км.После решения задачи оптимизации получено X max = 209 км.Траектория на максимальную дальность имеет четыре основных участка:1) набор высоты при работающем двигателе2) полет по баллистической кривой в разряженных слоях атмосферы3) стабилизация высоты полета после входа в плотные слои4) планирование при максимальном угле атаке α=0.314 после снижения скорости.5.
Задача набора высотыСамолет летит со скоростью Vo на высоте ho. Нужно изменить его скорость до V1 ивысоту до h1 так, чтобы расход горючего на это изменение был минимальным [2].Эта задача легко решается методом динамического программирования. Длятого,чтобы представить рассматриваемый процесскак многошаговый, введемследующий способ описания состояний самолета.
Процесс изменения V и h будемизображать на плоскости (V,h). Произведем дискретизацию переменных, разбивдиапазоны изменения V и h на необходимые интервалы. При этом дискретные состоянияобъекта управления будут представляться узлами сетки. Считая, что в каждом узле сеткивозможно применение только двух управлений: Ui=0 - изменение скорости V; Ui=1 ___________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»Московский государственный технический университетим.
Н.Э. Баумана_________________________________________________________________________изменение только высоты h, множество допустимых управлений будет множествомU={0,1}.Для того, чтобы оценить траекторию, нужно знать расход топлива на каждом шаге- целевую функцию L(x,u), значения которой зададим в виде условных чисел на каждомпереходе (рис.10).Рис.10. К задаче набора самолетом высотыДискретные значения V отметим числами, начиная с конечного значения. Так жепоступим в отношении h.
Тогда xij будет означать состояние при V=i и h=j, из которого доконца процесса остается сделать i+j шагов.Двигаясь последовательно от конечной точки к начальной, фиксируем в узлахоптимальные для каждого промежуточного состояния затраты. После того, как значенияJn* (x) и u* определены для всех узлов сетки, находим оптимальную траекториюперемещения самолета.6.
Задача распределения ресурсовВ распоряжении инвестора имеется какой-то запас средств (ресурсов) Р, которыйдолжен быть распределён между К предприятиями П1,П2,...,Пk [2]. Каждое изпредприятий Пi при включении в него каких-то средств X приносит доход,зависящий от X, т.е. представляющий собой какую-то неубывающую функцию Li(X). Всефункции Li(X) (i=1,2,...,k) заданы (рис.11).___________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»Московский государственный технический университетим.
Н.Э. Баумана_________________________________________________________________________Рис.11. К задаче распределения ресурсовСпрашивается, как нужно распределить средства Р между предприятиями, чтобы всумме они дали максимальный доход?Эта задача легко решается методом динамического программирования.
Хотя всвоей постановке она не содержит упоминания о времени, можно все же операциюраспределения средств мысленно развернуть в какой-то последовательности, считая запервый шаг вложение средств в предприятие П1, за второй П2, и т.д.Объект управления в данном случае - средства или ресурсы, которыераспределяются. Состояние объекта перед каждым шагом характеризуется однимчислом S - наличным запасом еще не вложенных средств. В этой задаче «шаговымиуправлениями» являются средства Х1,X2,...,Xk, выделяемые предприятиям.
Требуетсянайти оптимальное управление, т.е. такую совокупность чисел Х1,X2,...,Xk, при которойсуммарный доход максимален:kJ=∑ Li(Xi)=> maxi=1Найдём для каждого i-го шага условный оптимальный выигрыш Ji(S) (от этогошага и до конца), если мы подошли к данному шагу с запасом средств S.Соответствующее емуусловное оптимальное управление Хi(S) есть средства,вкладываемые в i-е предприятие.Начнём оптимизацию с последнего, k-го шага.
Если мы подошли к этому шагу состатком средств S, то очевидно, что мы должны вложить всю сумму S целиком впредприятие Пk. Поэтому условное оптимальное управление на k-ом шаге: отдатьпоследнему предприятию все имеющиеся средства S, т.е. Xk(S)=S, а условныйоптимальный выигрыш Jk(S)=Lk(S).Задаваясь целой гаммой значений S (располагая их достаточно тесно), мы длякаждого значения S будем знать Xk(S) и Jk(S). Последний шаг оптимизирован.Перейдем к предпоследнему, (k-1)-му шагу. Пусть мы подошли к нему с некоторымзапасом средств S.
Обозначим Jk-1(S) условный оптимальный выигрыш на двух последнихшагах: (k-1)-м и k-м (который уже оптимизирован).Если мы выделим на (k-1)-м шаге (k-1)-му предприятию средства Х, то напоследний шаг останется (S-X). Наш выигрыш на двух последних шагах будет равен:Lk-1(X)+Jk(S-X),и нужно найти такое Х, при котором этот выигрыш максимален:___________________________________________________________________________Кафедра «Системы автоматического управления»Московский государственный технический университетим. Н.Э. Баумана_________________________________________________________________________Jk-1(S)=Знакmaxx≤smax{Lk-1(X)+Jk(S-X)}x≤sозначает, что берется максимальное значение по всем X, какие тольковозможны (вложить больше, чем S, мы не можем), от выражения, стоящего в фигурныхскобках.
Этот максимум и есть условный оптимальный выигрыш за два последних шага,а то значение X, при котором этот максимум достигается,- условное оптимальноеуправление на (k-1) шаге.Далее оптимизируем (k-2)-й, (k-3)-й и т.д. шаги. Для любого i-го шага будемнаходить условный оптимальный выигрыш за все шаги с этого и до конца по формуле:maxJi(S)={Li(X)+Ji+1(S-X)}x≤sи соответствующее ему условное оптимальное управление Xi(S) - то значение X, прикотором этот максимум достигается.Дойдя до первого предприятия П1, нам не нужно будет варьировать значение Si, таккак мы точно знаем, что запас средств перед первым шагом равен Р:maxJ*=J1(Р)={L1(X)+L2(Р-X)}x≤PИтак, максимальный выигрыш (доход) от всех предприятий найден. Теперьостается только «прочесть рекомендации».
То значение X, при котором достигаетсямаксимум последнего выражения, и есть оптимальное управление X1* на 1-ом шаге.После того, как мы вложим эти средства в первое предприятие, у нас их останетсяР-X1*.«Читая» рекомендацию для этого значения S, выделяем второму предприятиюоптимальное количество средств: X2*=X2(Р-X1*), и т.д. до конца.Задаваясь различными исходными данными по имеющимся ресурсам ипредприятиями, решите задачу распределения ресурсов.7. Задача трассировкиТребуется определить траекторию,связывающую точки (X0,Y0) и (Xk,Yk) иминимизирующую затраты J при наличии ограничений (например, на условия прокладкижгута между элементами на плате при изготовлении печатных плат, прокладки кабельныхсистем на предприятии или на условия передвижения транспорта по холмистойместности и т.п.) [2].Для решения задачи методом динамического программирования плоскость (X,Y)разбивается на дискретные участки и проводится дискретизация переменных путемразбиения диапазонов изменения X и Y на интервалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
