Хайкин С. - Нейронные сети (778923), страница 169

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 169)

Если Якобиаи А иесиигуляреи,природа состояния равновесия в основном определяется собственными значениями (е)йепча!пе) и может быть классифицирована соответствующим образом. В частности, если матрица Якоби А имеет т собственных значений с цоложительиыми действительными частями, говорят, что равновесное состояние х имеет тип гп. В частном случае для системы второго порядка можно выделить шесть типов состояний равновесия (табл.

14.1 и рис. 14.4) [69), [2091. Без потери общности предполагается, что состояние равновесия достигается в начале координат, т.е. х = О. Обратите внимание, что только в случае седловой точки (задг!!е ро!п1) (см. рис. 14.4, д) траектории, входящие в иее, устойчивы, а исходящие из иее — неустойчивы. 14.3.

Устойчивость состояний равновесия 846 Определение 1. Состояние равновесия х называется равномерно устойчивым, если для любого положительного е существует такое положительное б, что из условия )(х(0) — х!) < б следует, что ~(х(г) — х(~ < е для всех г > О. Это определение утверждает, что траектория системы может оставаться внутри небольшой окрестности состояния равновесия х, если начальное состояние х(0) близко к равновесному х. Определение 2.

Состояние равновесия х называется сходящимся, если существует такое положительное Ь, что из условия )(х(0) — х)! < Ь следует, что х(1) — х при 1 — со. Значение второго определения состоит в том, что если начальное состояние х(0) траектории достаточно близко к состоянию равновесия х, то траектория, описываемая вектором состояний х(г), достигает точки х при устремлении времени 1 к бесконечности. Определение 3. Равновесное состояние х называется асимптотически устойчивым, если оно одновременно является устойчивым и сходягцимся.

Здесь следует заметить, что устойчивость и сходимость являются независимыми свойствами. Только в том случае, когда оба они присутствуют, наблюдается асимптотическая устойчивость. Определение 4. Состояние равновесия х называется глобально асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и все траектории системы сходятся к точке х при устремлении времени т к бесконечности.

Это определение подразумевает, что система не имеет других состояний равновесия и что все траектории системы остаются ограниченными для всех моментов времени 1 > О. Другими словами, глобальная асимптотическая устойчивость подразумевает, что система в конце концов придет в состояние х при любых начальных условиях. Пример 14.1 Пусть решение п(О нелинейной динамической системы, описываемой уравнением (14.2), изменяется во времени (рис.

14.5). Для того чтобы зто решение было равномерно устойчивым, требуется, чтобы н(1) и любое другое решение т(Г) оставались достаточно близкими друг к другу при одинаковых значениях Г (см. рнс. 14.5). Таюй тнп поведения называется изохронным соответствием Оьосйгопона сопезропдепсе) двух решений т(Г) и н(Г) (499). Сходимость решения в(Г) подразумевает, что для любого другого решения т(Г), для юторого йт(0)-н(0)11 < б(е) в момент времени г = О, решение г(г) также сходится к состоянию равновесия при устремлении времени г к бесконечности.

848 Глава 14. Нейродинамика Рис. 14.5. Понятие равномерной устойчивости (сходимости) векюра состояния Теоремы Ляпунова Определив устойчивость и асимптотическую устойчивость состояния равновесия в динамических системах, можно приступить к рассмотрению вопроса о том, как определить устойчивость. Естественно, это можно сделать с помощью фактического нахождения всех возможных решений уравнений системы в пространстве состояний, однако такой подход достаточно сложен, а иногда и невозможен. Более элегантный подход можно найти в современной теории устойчивости (шодегл зтаЬ~И1у бтеогу), основоположником которой является Ляпунов.

В частности,можно исследовать задачу устойчивости, применив прямой метод Ляпунова (йгест тейод о(' Ьуарплоч), который использует непрерывную скалярную функцию вектора состояний, называемую функцией Ляпунова. Теоремы устойчивости и асимптотической устойчивости Ляпунова для уравнения (14.2) в пространстве состояний, описывающего автономную нелинейную динамическую систему с вектором состояний х(г) и состоянием равновесия х, формулируются следующим образом. Теорема 1. Состояние равновесия х является устойчивым, если в малой окрестности этой точки существует положительно определенная функция У(х), такая, что ее производная по времени в этой области является отрицательно полуопределенной.

Теорема 2. Состояние равновесия х является асимптотически устойчивым, если в малой окрестности этой точки существует положительно определенная функция У(х), такая, что ее производная по времени в этой области является отрицательно определенной. Скалярная функция У(х), удовлетворяющая этим требованиям, называется функцией Ляпунова для состояния равновесия х. Эти теоремы требуют, чтобы функция Ляпунова У(х) была положительно определенной.

Такая функция определяется следующим образом. 14.3. Устойчивость состояний равновесия 847 Функция Ч(х) называется положительно определенной в пространстве состояний С, если для всех х б С выполняются следуюгцие условия. 1. Функция 1'(х) имеет непрерывные частные производные по всем компонентам вектора состояний х. 2. Ъ'(х) = О. 3. Ъ'(х) > О при х ~ х. с( — 'у'(х) < 0 для х е Ю вЂ” х, г)г (14.11) где П вЂ” малая окрестность точки х. Продолжая далее, согласно теореме 2, состояние х будет асимптотически устойчивым, если г) †)г(х) < 0 для х е П вЂ” х. г)г (14.12) Важной точкой этой дискуссии является то, что теоремы Ляпунова можно применить,не решая само уравнение системы в пространстве состояний. К сожалению, в этих теоремах ничего не говорится о методах нахождения самих функций Ляпунова — это является уделом метода проб, ошибок и озарения, который нельзя обобщить.

Во многих задачах функцией Ляпунова может служить функция энергии. Заметим, что невозможность нахождения соответствующей функции Ляпунова не является доказательством неустойчивости системы. Существование функции Ляпунова является достаточным, но не необходимым условием устойчивости системы.

Функция Ляпунова Г(х) подводит математический базис под анализ глобальной устойчивости нелинейных динамических систем, описываемых уравнением (14.2). С другой стороны, использование выражения (14.10) основано на матрице Якоби А. Эта матрица является основой анализа локальной устойчивости системы. Выводы анализа глобальной устойчивости являются более мошными, чем' выводы анализа локальной устойчивости.

Таким образом, любая глобально устойчивая система является локально устойчивой. Обратное утверждение неверно. т В дополнение к равенству 114.11) в сбгцем случае глобальная устойчивость нелинейных динамических систем требует выполнения условия радиальной неограниченности [! 0021; Ч1х) 0 при ))х)! со. Это условие обычно удовлетворяется функцией Ляпунова, построенной для нейронных сетей с сигмоидвльной функцией ыггивации.

Для заданной функции Ляпунова $'(х), согласно теореме 1, равновесное состояние х будет устойчивым, еслиз 848 Глава 14. Нейродинамика Рис. 14.8. Понятие бас- сейна аттракции и идеи сепаратрисы 14.4. Аттракторы Диссипативные системы в общем случае характеризуются наличием множества аттракторов или множествами, имеющим размерность, меньшую размерности пространства состояний. Здесь под "множеством" понимается некоторая к-мерная поверхность, содержащаяся в Аг-мерном пространстве состояний и описываемая следующей системой уравнений: [,) = 1,2,...,)с, Мз[Хз Хз .

ХМ) = О, ~ й < Аг, [14.13) где хз, хз,..., хм — элементы Ф-мерного вектора состояний системы; М, — некоторая функция этих элементов. Такие множества называют аттракторамиз, отмечая тот факт, что они являются ограниченными подмножествами, к которым сходятся области начальных состояний пространства состояний ненулевого объема с течением времени 1 [808]. Это множество может состоять из одной точки в пространстве состояний; в этом случае говорят о точечном аттракторе.

Это множество может также принимать форму периодической орбиты; в этом случае говорят об устойчивом предельном цикле (1ппй сус!е). Здесь под устойчивостью понимается асимптотическая сходимость к этому циклу близлежащих траекторий. На рис. 14.б продемонстрированы эти два типа аттракторов. Атгракторы представляют собой единственные равновесные состояния з В качестве строгого определения аттрактора можно предложить следующее [6121, [640], Подмножество М пространства состояний называется щтрщттором, если.' М инвариантно к потоку; ауществует некоторая (открытая) окрестность М, которая стягивается к М для заданного патока (аож); никакая часть М не является переходной; не ауществует декомпозипии М на две непересекающиеся инварнантные части.

14.5. Нейродииамические модели 849 динамической системы, которые можно наблюдать экспериментально. Однако следует заметить, что в контексте аттракторов равновесное состояние не обязательно является статическим или устойчивым. Например, предельный цикл представляет собой устойчивое состояние аттрактора, которое непрерывно изменяется во времени. На рис. 14.6 видно, что каждый из аттракторов окружен собственной четко очерченной областью.

Такая область называется бассейном (областью) аттракции (Ъаап или дошшп оТ апгасбоп). Также заметим, что каждое начальное состояние системы находится в бассейне какого-либо аттракгора. Граница, отделяющая один бассейн притяжения от другого, называется сепаратрисой (зерагаптх). В случае, показанном на рис. 14.6, граница бассейна представлена объединением траекторий Т, и Т, и седловой точки Я.

Предельный цикл является типичной формой осцилляции, которая возникает в случае, когда точка равновесия в нелинейной системе становится неустойчивой. Осцилляция может возникнуть в нелинейной системе любого порядка. Тем не менее предельные циклы являются типичной характерной чертой систем второго порядка. Гиперболические аттракторы Рассмотрим точечный аттрактор, нелинейные динамические уравнения которого линеаризованы в окрестности равновесного состояния х (см. раздел 14.2). Обозначим символом А матрицу Якоби этой системы, вычисленную в точке х = х. Аттрактор называется гиперболическим, если все собственные значения матрицы Якоби А имеют абсолютное значение меньше единицы (8081. К примеру, поток гиперболического атграктора второго порядка может иметь формы, показанные на рис.

14.4, а, б. В обоих случаях собственные значения Якобиаиа А имеют отрицательные действительные части. Гиперболические аттракторы представляют особый интерес при изучении задачи, известной под названием задачи обращающихся в нуль градиентов (чап1зЪ1п8 йгайеп1з ргоиеш), которая возникает в динамически управляемых рекуррентных сетях. Эта задача будет рассматриваться в следующей главе. 14.5.

Характеристики

Список файлов книги