Хайкин С. - Нейронные сети (778923), страница 168
Текст из файла (страница 168)
Динамика большого класса нелинейных динамических систем может быть представлена в форме системы диффереициальиых уравнений первого порядка, имеющих вид г( — х,(1) = У;. (х,(1)), 1 = 1, 2,..., Х, (14.1) где Г,(.) — некоторая нелинейная функция своего аргумента. Применяя векторные обозначения, всю систему дифференциальных уравнений можно представить в сле- дующем, более компактиом виде: 838 Глава 14. Нейродинамииа где Р— нелинейная вектор-функция, каждый элемент которой связан с соответству- ющим элементом вектора состояний: х(ь) = [кс(8),хз(1),..., хн(С)1 (14.3) Нелинейная динамическая система, в которой вектор-функция К(х(8)) не зависит явным образом от времени 8, называется автономной (апгопоппс); в противном случае система называется неавтонамнойс.
Мы рассмотрим только автономные системы. Независимо от точной формы функции Р(х(г)), вектор состояния может изменяться во времени 8. В противном случае состояние х(8) будет юнстантой, и система перестанет быть динамической. Таким образом, можно дать определение динамической системе. Динамической является та система, состояния которой изменяются во времени.
Более того, дхlдт можно представить себе как вектор скорости не в физическом, а в абстрактном смысле. Тогда, согласно (14.2), вектор-функию г(х) можно назвать векторным полем скорости (че!ос)(у чесгог йе!д), или просто полем скорости. Пространство состояний Целесообразнее рассматривать соотношение (14.2) как описывающее движение точки в )ьт-мерном пространстве состояний. Это пространство состояний может быть Евклидовым, или подмножеством последнего.
Это пространство может быть также и не-Евклидовым, например сферой, кругом, тором или любым другим дифференцируемым многообразием (д(йегеп6аЫе шап)то1д). Для дальнейшего обсуждения интерес представляет толью Евклидово пространство. Пространство состояний приобрело свою важность из-за того, что оно предоставляет визуально-концептуальное средство для анализа динамики нелинейной системы, описываемой уравнением (14.2).
Оно фокусирует внимание на глобальных характеристиках движения, а не на отдельных аспектах аналитических или числовых решений этого уравнения. В конкретный момент времени 8 наблюдаемое состояние системы (т.е. вектор состояний х(1)) представлен одной точкой в стс-мерном пространстве состояний.
Изменение состояния системы с изменением времени представляется кривой в пространстве состояний, каждая точка которой (явно или неявно) является метюй времени наблюдения. Такая кривая называется траекторией (Па)ес(огу) или орбитой (огЬ(С) системы. На рис. 14.1 показана траектория некоторой двумерной системы. Мгновенная скорость в этой траектории (т.е. вектор скорости дх(с)сд() представлена вектором Неавтономная динамическая система определяется уравнением состояния: а х(С) = Р(х(С), С) с начальным состоянием к(со) = хо. В неавтономных системах вектор поля Р(х(с), с) зависит от времени с. тамм образом, в отличие от автономных систем в евшем случае нельзя принять начальное время равным нулю [8 С 81. 14.2, Динамические системы 839 Рис.
14.1. Двумерная траектория (орбита) некоторой динамической системы тангенса (гапяепт честог) (на рнс. 14.1 он показан пунктирной линией для момента времени 1 = 1о). Аналогично можно найти вектор скорости для любой точки траектории. Семейство траекторий, соответствующих различным начальным состояниям, называют портретом состояний (в1ате рогггай) системы. Этот портрет содержит точки в пространстве состояний, в которых определено векторное поле Е(х).
Обратите внимание, что в автономной системе через одно начальное состояние проходит только одна траектория. Полезным понятием, вытекающим из портрета состояний, является ноток (йоту) динамической системы, опредсляемый как движение пространства состояний в самом себе. Другими словами, можно представить себе, что пространство состояний течет в каждой своей точке, подобно жидкости, по определенной траектории [3].
Описанная здесь идея потока хорошо продемонстрирована на портрете состояний на рис. 14.2. Для заданного портрета состояний динамической системы можно построить поле векторов скорости (тангенсов) — по одному вектору для каждой точки пространства. Таким образом, полученный рисунок, в свою очередь, является изображением векторного поля системы. На рис. 14.3 показано множество векторов скорости, формирующих картину общего вида этого поля. Полезность векторного поля заключается в том факте, что оно дает визуальное описание внутренних тенденций динамической системы к перемещению в любой точке пространства состояний. 840 Глава 14.
Нейродинамика Рис. 14.2. Двумерный портрет состояний (фазовый портрет) некоторой динамической системы Рис. 14.3. Двумерное векторное поле некоторой динамической системы Условие Липшица Для того чтобы уравнение (14.2) в пространстве состояний имело решение, а также для единственности такого решения, на вектор-функцию а(х) необходимо наложить некоторые ограничения. Для упрощения выкладок нужно отказаться от зависимости вектора х от времени ~. К этой практике мы будем иногда прибегать н в дальнейшем. Для того чтобы решение существовало, достаточно, чтобы вектор-функция Р(х) была непрерывна по всем своим аргументам.
Однако зто условие не гарантирует единственности решения. Для этого необходимо наложить дополнительное ограни- 14.2. Динамические системы 841 чеиие, известное как условие Липшица. Пусть Пх~ ~ — норма, или Евклидова длина вектора х; х и и — пара векторов в открытом множестве М в нормированном векторном пространстве (состояиий). Тогда, согласно условию Липшица, существует такая константа К, что [468),(500): ПР(х) — Р(п) П ( КПх — пП (14.4) для всех х и и, принадлежащих М.
Вектор-функция г'(х), удовлетворяющая условию (14.4), называется функцией Липшица, а К вЂ” константой Липшица для Г(х). Неравенство (14.4) также подразумевает непрерывность функции Г(х) по х. Отсюда следует, что в случае автономности системы условие Липшица гарантирует как существование, так и единственность решения уравнения (14.2). В частности, если частные производные дГ;/дх, конечны в любой точке, то функция Е(х) удовлетворяет условию Липшица. Теорема о дивергенции Рассмотрим область, образованную в пространстве состояний автономной системы телом объемом Ъ' и поверхностью Я, и обратим внимание иа "поток" точек этой области. Из вышесказанного известно, что вектор скорости с(х/г(г равен векторному полю г(х). Предполагая, что векторное поле г(х) в обьеме ) ' "ведет себя хорошо", можно применить теорему о дивергеиции (Йчегйепсе пзеогеш) из векторного исчисления (503].
Пусть и — единичный вектор, нормальный к поверхности об и направленный вовне замкнутого объема. Тогда, согласно теореме о дивергеиции, должно выполняться соотношение (Е(х) п)ДЯ = Л7 Е(х))Л' (14.5) между интегралом дивергеиции по объему и интегралу по поверхности, направленной вовне нормальной составляющей Е(х). Величину в левой части (14.5) можно понимать как общий ноток, вытекающий из области, ограниченной замкнутой поверхностью Я. Если эта величина равна нулю, система считается консервативной (сопзегчаг)че), если отрицательна — диссипативиой (о1зз(ра11че).
В свете выражения (14.5) можно утверждать, что если дивергенция ~ Е(х) (скаляр) равна нулю, то система консервативна, а если меньше нуля, то это — диссипативиая система. 842 Глава 14. Нейродииамика 14.3. Устойчивость состояний равновесия Рассмотрим автономную динамическую систему, описываемую уравнением в про- странстве состояний (14.2). Вектор-константа х Е М называется равновесным (ста- ционарным) состоянием (ейп1ВЬпшп (зза11опагу) з1а1е) системы, если выполняется условие г(х) = О, (14.6) где Π— нулевой вектор. Вектор скорости гЫй в точке равновесия исчезает; таким образом, функция-константа х(1) = х является решением уравнения (14.2). Более того, по причине единственности решения никакая другая кривая решения не проходит через состояние равновесия х. Состояние равновесия также называют сингулярной точкой (з(пйп!аг ро(п1), отмечая тот факт, что в случае отклонения от точки равновесия траектория снова приведет в эту точку.
Для того чтобы выработать глубокое понимание условия равновесия, предположим, что нелинейная функция г(х) достаточно гладкая для того, чтобы уравнение (14.2) в пространстве состояний можно было линеаризовать в окрестности точки х. Пусть х(1) = х + Ьх(1), (14.7) где Ьх(1) — малое отклонение от точки х. Тогда, принимая во внимание только первые два слагаемые разложения в ряд Тейлора функции г'(х), можно записать следующую ее аппроксимацию: г(х) х+ Агах(Ф).
(14.8) Матрица А является Якобианом нелинейной функции г(х), вычисленной в точке х = х: д А = — г(х) дх х=х (14.9) — ььх(г) Агах(1). д д1 (14. 10) Подставив (14.7) и (14.8) в (14.2) и воспользовавшись определением состояния равновесия, получим: 14.3. Устойчивость состояний равновесия 843 ТАБЛИЦА 14.1. Классификация состояний равновесия для систем второго порядка Собственные значения матрицы Якоби А Тип состояния равновесия х Устойчивый узел Устойчивый фокус Неустойчивый узел Неустойчивый фокус Седловая точка Центр Вещественные и отрицательные Комплексные с отрицательной действительной частью Вещественные и положительные Комплексные с положительной действительной частью Вещественные с противоположными знаками Чисто мнимые Определения устойчивости Как уже отмечалось, лииеаризация уравнения в пространстве состояний дает полезную информацию о свойствах локальной устойчивости (1оса1 ззаЬВ11у) состояния равновесия.
Однако, чтобы иметь возможность более детального исследования устойчивости нелинейных динамических систем, нужны строгие определения устойчивости и сходимости для состояния равновесия. В контексте автономных нелинейных динамических систем с состоянием равновесия х определения устойчивости и сходимости записываются следующим образом [209]. Предполагая, что Якобиаи А иесиигуляреи и, следовательно, обратная матрица А ' существует, для определения локального поведения траекторий системы в окрестности равновесного состояния х достаточно аппроксимации, описанной формулой (14.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
