Методические указания к лабораторной работе (774332), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Однако в лапласовском шумес плотностью вероятностиw∧ ( x) =α2e −α | x |где α – коэффициент, определяемый дисперсией шума, его коэффициент АОЭε ''З / ∧ = 2 , т.е. знаковый обнаружитель вдвое эффективнее линейного,– 10 –утрачивающего свои оптимальные свойства для данного распределенияпомехи.Структурная схема знакового обнаружителя приведена на рис.3.Рис. 3. Знаковый обнаружительСимволом СА на рис.
3 обозначен квантователь на два уровня: «0» и «1»(компаратор амплитудный), СТ2 - двоичный счетчик, СС-пороговое устройство(компаратор кодовый).Основные определения теории ранговых методовНевысокая эффективность знакового обнаружителя при некоторых видахпомехи объясняется тем, что он использует весьма малую часть информации,заключенной в исходной реализации. Действительно, пренебрегая величинойотсчётов xi, этот обнаружитель учитывает лишь их знак.
Ранговые алгоритмыобнаружения в значительной мере лишены отмеченного недостатка, так какпринимают во внимание относительную величину отсчётов xi в выборкеGx = ( x1 , x2 ,...xn ) .GРасположим отсчёты выборки x в возрастающем порядке:xi1 < xi2 < xi3 < ... < xin(11)Номер R отсчёта xiR в этом ряду называется его рангом, а сам отсчёт xiR GGR -й порядковой статистикой выборки x . Таким образом, каждой выборке xможно поставить в соответствие ранговый векторJGR = ( R1 , R2 ,..., Rn )элементы которого Ri- номера отсчетов xi в упорядоченном ряду (11).GJGНапример, если x =(4,9,8,2,1), то R = (3,5,4,2,1).– 11 –Ранговым алгоритмом обнаружения (различения гипотез) называетсяJGправило вычисления ранговой статистики ψ ( R) – некоторой функции ранго-вого вектора - и сравнения её с пороговым значением.Ранговая статистика называется линейной, если допускает представлениеnT = ∑ ϕ (i, R)(12)i =1где ϕ (i, R) – некоторая функция двух переменных (элемент квадратной матрицыn*n).Линейная ранговая статистика является простой, если может бытьвыражена в видеnT = ∑ Ci a ( Ri ) ,(13)i =1Ci – постоянные коэффициенты; A(Ri) - произвольная функция Ri.JGВ том случае, когда ранговый вектор R вычисляется только по анализиGруемой выборке x и для вынесения решения не привлекается дополнительнаяинформация о помехе, ранговый алгоритм (критерий) называется одновыборочным.
Если же для вынесения решения ему требуется дополнительная (опорная)JGJGреализация чистой помехи (без сигнала) y = ( y1 , y2 ,... ym ) , а вектор R опредеG JGляется на основании объединенной выборки ( x , y ), то этот алгоритм носитназвание двухвыборочного.Непараметрические свойства ранговых обнаружителей, реализующихранговые алгоритмы, связаны с независимостью распределения рангов, а,следовательно, ранговых статистик от закона распределения отсчётов помехиw(xi).Знаково-ранговый обнаружительGРасположим отсчеты выборки x по возрастанию их абсолютных величин| xi1 |<| xi2 |< ...
<| xin | . Место отсчёта | xi + | в этом ряду назовем абсолютнымRрангом R+.– 12 –Знаково-ранговым алгоритмом обнаружения называется алгоритм,сравнивающий сумму абсолютных рангов R+i положительных выборок спорогом CF :nTЗР = ∑ Ri = ∑ Ri+U ( xi ) > CFxi > 0(14)i =1при превышении которого выносится решение о наличии сигнала.В соответствии с определением (13) этот алгоритм является простымлинейным одновыборочным ранговым алгоритмом.Знаково-ранговый обнаружитель является непараметрическим в классе W′распределений помехи w(x) с симметричной относительно нуля плотностьюпри независимых отсчётах помехи. Как и знаковый обнаружитель, он можетиспользоваться для обнаружения однополярного сигнала при квазикогерентномприёме.В целях упрощения реализации алгоритма (14) он может быть записан вдругой эквивалентной формеnnTЗР = ∑∑ U ( xi + x j ) > CF(15)i =1 j =1Структурная схема знаково-рангового обнаружителя, соответствующаявыражению (15), приведена на рис.4.xi|——————|+CACA+SMSMнакCA+0ССССинхрРис.
4. Знаково-ранговый обнаружительПеред началом работы обнаружителя во всех n ячейках регистра сдвигадолжны быть записаны отрицательные числа, большие по модулю, чем– 13 –максимально возможное значение xi. Подавая последовательно на входустройства отсчёты xi, на выходе сумматора SM получим последовательностьзначений внутренней суммы выражения (14). По окончании выборки на выходенакапливающего сумматора окажется величина TЗР, которая и будет,сравниваться с CF в пороговом устройстве СС.Вывод аналитических выражений для вероятностной ложной тревоги иправильного обнаружения особенно при небольших n, затруднен.
Тем не менеепри n >> 1 можно указать приближенное выражение для УЛТ⎡ n 2 / 4 − CF ⎤F ≈Ф⎢⎥3⎣ n /12 ⎦(16)Характеристики обнаружения знаково-рангового алгоритма при конечныхn целесообразно находить методом статистического моделирования. Одна изего характеристик обнаружения, полученная этим методом, приведена на рис.2.Она построена для тех же значений параметров F и n, что и характеристикилинейного и знакового обнаружителей, изображенные на том же рисунке.Проигрыш знаково-рангового обнаружителя линейному по характеристикамобнаружения не превышает 0,8 - 0,9 дБ, в то время как его выигрыш у знакового - более 2 дБ в пороговом отношении сигнал/шум.Коэффициент АОЭ знаково-рангового алгоритма по отношению клинейному при гауссовом распределении помехи равен ε 'ЗР / ∧ =π3≈ 0.955 , т.е. васимптотической ситуации, при n → ∞, знаково-ранговый обнаружительпрактически не уступает оптимальному.
При лаплассовской помехе ε ''ЗР / ∧ = 1.5 .Коэффициент АОЭ знаково-рангового обнаружителя относительно знаковогоравен 1,5 для гауссовой помехи и 0,75 – для лаплассовской. Для помехи слогистическим распределением вероятностиw∧ Гe− x=(1 + e − x ) 2и постоянного сигнала этот обнаружитель асимптотически оптимален.– 14 –Обнаружители Манна-Уитни и обобщенный знаковыйGДопустим, что помимо анализируемой выборки x = ( x1 , x2 ,...xn ) данной nJGимеется вспомогательная выборка помехи y = ( y1 , y2 ,...
ym ) длиной m. Составимиз них объединенную реализациюJGZ = ( x1 , x2 ,...xn , y1 , y2 ,... ym ) = ( z1 , z2 ,...zn + m )(17)и проведем её ранжированиеZ i1 < Z i2 < ... < Z in+m(18)JGJGПусть R = ( R1 , R2 ,..., Rn + m ) – ранговый вектор объединенной выборки Z ,элементы которого - номера Zi в последовательности (18).Алгоритм, находящий сумму рангов отсчётов xi в объединенной выборкеJGZ называется алгоритмом Манна-Уитни или двухвыборочным критериемВилкоксона и записывается в виде:nTB = ∑ Ri > CF(19)i =1Однако наиболее употребительна другая эквивалентная форма алгоритма (19)nmTМУ = ∑∑ U ( xi − y j ) > CF ,(20)i =1 j =1причём, TМУ = TB −(n + 1)n.2Обнаружитель Манна-Уитни является двухвыборочным линейным ранговым обнаружителем. Он сохраняет заданный УЛТ в том случае, когдаG JGвыборки x и y принадлежат одному и тому же произвольному распределениюG JGпомехи, а отсчёты x и y независимы.Структурная схема обнаружителя Манна-Уитни приведена на рис.5.GПоследовательность отсчётов анализируемой выборки x в течение всеговремени обнаружения подается на соответствующие входы компараторов СА.– 15 –Рис.
5. Обнаружитель Манна-УитниПоследовательность опорных отсчётов у последовательно поступает повходу yi. По окончании последовательности в накапливающем сумматореSMнак окажется записанной величина TМУ , которая и сравнивается с порогомCF в пороговом устройстве СС.В том случае, когда длина опорной выборки m велика, процесс обнаружения в схеме pиc.
5 занимает продолжительный период времени, сократитькоторый можно лишь за счёт дополнительных аппаратурных затрат. Однако,пойдя на незначительное снижение эффективности обнаружения, можносущественно сократить число арифметических операций в алгоритме МаннаУитни и тем самым уменьшить время работы обнаружителя. Для этого нужноJGразбить выборку y = ( y1 , y2 ,... ym ) на n групп по N отсчётов в каждой такимобразом, чтобы n*N=m:1-я группаy1, y2 , … yN2-я группаyN+1, yN+2 , … y2N……………………………………..n-я группаy(n-1)N+1, y(n-1)N+2 , … ynNПрисоединяя к i-й группе отсчет xi, можем найти его ранг среди остальныхчленов этой группыNri = ∑ u ( xi − y(i −1) N + j ) ,j =1а затем сложить ранги всех n групп(21)– 16 –nnNTОЗ = ∑ ri = ∑∑ u ( xi − y(i −1) N + j ) > CFi =1(22)i =1 j =1Полученный алгоритм относится к перемешанным ранговым алгоритмам иназывается обобщенным знаковым.
Структурная схема обобщенного знакового обнаружителя приведена на рис.6.Рис. 6. Обобщенный знаковый обнаружительУ этого обнаружителя n вспомогательных (опорных) входов, по каждомуиз которых одновременно поступают отсчеты, принадлежащие всем n группам.Отсчеты каждой группы сравниваются на компараторах CA только с однимотсчетом анализируемой выборки xi. Благодаря этому число арифметическихопераций в рассматриваемой схеме в n раз меньше, чем у обнаружителя МаннаУитни, во столько же раз в ней меньше время обработки и входной последовательности.Вывод аналитических выражений для вероятностей ложной тревоги иправильного обнаружения рассмотренных обнаружителей в общем случаедостаточно труден, поэтому приведем результаты их анализа в асимптотической ситуации (при n→∞, m→∞) и результаты статистического моделированияпри небольших объёмах выборки.Аналогом линейного алгоритма обнаружения (8) для двухвыборочнойситуации является обнаружитель, сравнивающий с порогом CF разностьG JGвыборочных средних выборок x и y :T∧2 =1 n1 mx−yi > CF .∑ i m∑n i =1j =1(23)– 17 –Этот обнаружитель, являющийся оптимальным при гауссовой помехе ипостоянном сигнале, примем за эталонный для оценки относительнойэффективности двухвыборочных непараметрических обнаружителей.Коэффициент АОЭ обнаружителя Манна-Уитни относительно эталонногопараметрического равен 0,955 при гауссовой и 1,5 при лапласовской помехе,что совпадает со значениями коэффициента АОЭ его одновыборочногоаналога.
Значения коэффициента АОЭ обобщенного знакового обнаружителяпо отношению к обнаружителю Манна-Уитни ε ОЗ / МУ и к эталонному параметрическому ε ОЗ / ЭП существенно зависят от размера выборочной группыN. Для случая некогерентного обнаружения сигнала в гауссовом шуме значенияэтих коэффициентов при некоторых N сведены в таблицу 1.Таблица 1Nε ОЗ / МУε ОЗ / ЭП10.670.2520.750.37540.830.580.90.6160.940.667∞10.75Кривые потерь в отношении сигнал/помеха обобщенного знакового обнаружителя эталонному параметрическому для того же случая приведены на рис.7.Рис. 7. Потери обобщенного знакового обнаружителя оптимальному– 18 –Кривые построены в зависимости от размера анализируемой выборки nдля различных объёмов выборочных групп опорных выборок N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
