maall (773576), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Очевидно, непрерывность функции f (x) в точке x0 означает, что lim f (x) = f (x0 ). Это равенство вx→x0рассматриваемом случае можно принять за определение непрерывности функции f (x) вточке x0 . Рассмотрим другой подход к определению непрерывности функции. Пусть сноваx0 — внутренняя точка промежутка I, на котором задана числовая функция f (x). Еслиx0 ∈ I, то приращением аргумента называют разность ∆x = x − x0 ; соответствующимприращением функции называют ∆f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
Нетруднопроверить, что для непрерывности функции f (x) при x = x0 необходимо и достаточно,чтобы выполнялось равенствоlim ∆f (x0 ) = 0 .(1)∆x→0В самом деле, если функция f (x) непрерывна при x = x0 , то для любого ε > 0 существуетчисло δ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, |x − x0 | < δ, т.е. при |∆x| < δ, выполняетсянеравенство |f (x) − f (x0 )| < ε, т.е. |∆f (x)| < ε. Это означает выполнение соотношения(1).
Таким образом, условие (1) необходимо для непрерывности функции f (x) в точке x0 .Если же выполнено условие (1), то для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое,1что при всех |∆x| < δ, т.е. при |x − x0 | < δ выполняется неравенство |∆f (x0 )| < ε, т.е.|f (x) − f (x0 )| < ε, и по определению функция f (x) непрерывна в точке x0 .
Мы видим,что условие (1) не только необходимо, но и достаточно для непрерывности функции f (x)в точке x0 .Можно дать определение непрерывности функции, основанное на определении пределафункции по Гейне. Пусть, как и выше, функция f (x) определена на промежутке I числовой прямой, и пусть x0 – внутренняя точка этого промежутка. Функция f (x) называетсянепрерывной в точке x0 , если для любой последовательности точек {xn } промежутка I ,для которой lim xn = x0 , выполняется равенство lim f (xn ) = f (x0 ). Рассмотрим некотоn→∞n→∞рые теоремы о локальных (т.е.
определяемых поведением функции в сколь угодно малойокрестности соответствующей точки) свойствах непрерывных функций.Теорема (о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций).Пусть функции f (x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и непрерывныв этой точке. Тогда в точке x0 непрерывны функции f (x) + g(x), f (x) · g(x) и f (x)/g(x);последнее — при условии, что g(x) отлична от нуля в указанной окрестности точки x0 .Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывной функции.Например, для частного рассматриваемых функций имеем на основании теоремы о пределечастного:lim f (x)f (x0 )f (x)x→x0=.=limx→x0 g(x)lim g(x)g(x0 )x→x0Отсюда непосредственно вытекает непрерывность функции f (x)/g(x) в точке x0 .
Остальные утверждения теоремы проверяются аналогично. Теорема доказана.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция f (x) определена вокрестности точки x0 и принимает значения в окрестности V (y0 ) точки y0 = f (x0 ), ипусть на V (y0 ) определена функция g(y). Тогда, если f (x) непрерывна в точке x0 , а g(y)непрерывна в точке y0 , то сложная функция g f (x) непрерывна в точке x0 .Доказательство проведём с помощью теоремы о пределе сложной функции (cучётом сделанного там замечания). В силу непрерывности функции f (x) в точкеx0 имеем lim f (x) = f (x0 ) = y0 , а при y → y0 имеем g(y) → g(y0 ).
Поэтомуx→x 0lim g f (x) = g(y0 ) = g f (x0 ) , т.е. g f (x) непрерывна при x = x0 . При этом треx→x0бование f (x) 6= y0 в проколотой окрестности точки x0 здесь можно отбросить, т.к. g(y)определена при y = y0 , и g(y0 ) = lim g(y). Теорема доказана.y→y0Теорема (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f (x) непрерывнав точке x0 , и f (x0 ) 6= 0. Тогда в некоторой окрестности точки x0 функция f (x) имеет знакчисла f (x0 ).Доказательство. Пусть для определённости f (x0 ) > 0. Тогда, т.к. lim f (x) = f (x0 ),x→x0по теореме о сохранении функцией знака своего предела неравенство f (x) > 0 будет выполняться также и в некоторой окрестности точки x0 .
Теорема доказана.Рассмотрим вопрос о непрерывности элементарных функций. Заметим сначала, чтоконстанта f (x) = c, x ∈ R, непрерывна в каждой точке x0 . В самом деле, для любого ε > 0возьмём δ = 1. Тогда, если |x − x0 | < δ, то |f (x) − f (x0 )| = |c − c| = 0 < ε, и исследуемаяфункция непрерывна. Очевидна также непрерывность функции f (x) = x; здесь для ε > 0берем δ = ε. Тогда, если |x − x0 | < δ, то |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | < δ = ε.
Заметим, чтодоказанная непрерывность рассмотренных функций равносильна равенствамlim c = cx→x0lim x = x0 .иx→x02(1)Теперь мы можем доказать непрерывность многочлена f (x) = an xn +. . .+a0 в любой точкеx0 , пользуясь теоремой о пределе суммы и произведения и равенством (1). Имеемnlim f (x) = lim (an x + . . . + a0 ) = limx→x0x→x0x→x0nXsas x =s=0nXs=0as ( lim x)s =x→x0=nXas xs0 = f (x0 ) ,s=0т.е. lim f (x) = f (x0 ), и непрерывность многочлена в произвольной точке x0 доказана.x→x0Рассмотрим функцию f (x) = sin x. Предварительно докажем неравенство| sin x| 6 |x| ,(2)которое справедливо при всех x. По ходу доказательства теоремы о первом замечательππном пределе было доказано неравенство sin x < x при 0 < x < . При |x| >такое22πнеравенство также справедливо, т.к. | sin x| 6 1, и> 1.
При x = 0 неравенство (1),2πочевидно справедливо. Осталось рассмотреть случай − < x < 0. В этом случае (2)2запишется так: − sin x 6 −x или sin(−x) 6 −x. Последнее неравенство справедливо, т.к.−x > 0. Таким образом, (2) доказано. Теперь можно доказать непрерывность синуса влюбой точке x0 . Имеемx − x0x + x0 | sin x − sin x0 | = 2 sin· cos622 x − x0 6 2 · |x − x0 | = |x − x0 |, т.е.
| sin x − sin x0 | 6 |x − x0 |.6 2 sin2 2Если задано ε > 0, то, взяв δ = ε, получим, что если |x − x0 | < δ, то| sin x − sin x0 | 6 |x − x0 | < δ = ε, и непрерывность функции f (x) = sin x доказана впроизвольной точке x0 .Можно доказать также и непрерывность остальных основных элементарных функций(показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических) в каждой точке их области определения. Затем с помощью теорем о непрерывности сложной функции и о непрерывности суммы произведения и частного можнополучить такой результат: любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, вкоторой она определена.
В силу этого рассмотренные ранее функции √y = sign x и y = [x]не являются элементарными; функция y = |x| элементарна, т.к. |x| = x2 .Пусть функция f (x) определена на правосторонней окрестности [x0 , x0 +η), η > 0, точкиx0 . Это функция называется непрерывной справа в точке x0 , если lim f (x) = f (x0 ). Анаx→x0 +логично можно определить непрерывность слева: функция f (x) должна быть определенана левосторонней окрестности (x0 −η, x0 ], η > 0, точки x0 , и должно выполняться равенствоlim = f (x0 ).
Заметим, что оба эти определения эквивалентны данному выше опредеx→x0 −лению непрерывности функции, заданной на произвольном множестве X ⊂ R. Если I —промежуток числовой прямой, и f : I → R, то функция f (x) называется непрерывной на I,если эта функция непрерывна в каждой точке промежутка I.
При этом непрерывность налевом конце промежутка (если он принадлежит I) понимается как непрерывность справа;непрерывность на правом конце (если он принадлежит I) понимается как непрерывностьслева. В частности, можно говорить о функциях, непрерывных на отрезке.Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 или в проколотойокрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке x0 , то3x0 называется точкой разрыва функции f (x). Говорят также, что функция f (x) терпитразрыв этой точке.
Если x0 — точка разрыва функции f (x), и существуют конечныепределы lim f (x) = f (x0 − 0) и lim = f (x0 + 0), то x0 называется точкой разрываx→x0 −x→x0 +первого рода. Разность f (x0 + 0) − f (x0 − 0) называется скачком функции f (x) в точке x0 .Во всех прочих случаях говорят о разрыве второго рода. Если x0 — точка разрыва первогорода, и если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то такой разрыв называют устранимым.
Доопределивфункцию f (x) в точке устранимого разрыва x0 (или изменив ее значение в этой точке,если функция в ней определена), полагая f (x0 ) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0), получим новуюфункцию, которая будет непрерывна в точке x0 .Примеры. 1. Пусть f (x) = sign x; здесь lim sign x = −1, lim sign x = 1. В нулеx→0−x→x0 +разрыв первого рода; скачок f (0+) − f (0−) = 2.sin x, то при x = 0 имеем устранимый разрыв. Доопределённая при2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
