Brian_-_Matlab_R2007_s_nulya_33 (771739), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Б и начальную плотность популяции 50 %. )ид, по всей вероятности, вымирает. В остальных примерах мы сохранили на1азьную плотность популяции в 50 %, единственное, что мы изменили — это лоистическую постоянную роста. Во втором примере с постоянной роста и = 1 .ид вымирает снова, хотя и более медленно. В третьем примере с постоянной ~88 МАТ(АЕ роста 1.5 численность вида, похоже, стабилизируется около значения 55З...
% Наконец, в последнем примере с постоянной 3.1 численность вида, кажется, ко леблется между плотностями приблизительно 45 % и 84 %. Эти примеры показывают замечательные возможности логисгической модели мз тематической генетики. Эта модель совершенствовалась на протяжении более 150 лет Возникновение модели основано на работах бельгийского математика Верхалста Здесь мы приведем некоторые из фактов, связанные с этой моделью. Мы подтвер дим некоторые из них с помошью среды МАТ(АВ. В частности, помимо команды р!о( мы будем использовать команду Ьаг, чтобы отобразить некоторые из данных.
° Логистическая постоянная не может быть больше, чем 1. Чтобы модель работала верно, результат в любой точке должен быть между 0 и 1 Но парабола иж(1 - н) на промежутке О <н <1 достигает наибольшей высоть при х ~ 1/2, где ее значение равно и/4. Чтобы сохранить значение в проме жутке между 0 и 1, мы должны ограничить и ь 4. А вот что произойдет, если к окажется больше 4: » Х ч 1квеСЕ(5, 0.5, 10, 4.5) 1.0е +173 * 0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 -8.31506542713596 ° Если О 5 и 5 1, то плотность популяции стремится к нулю при любом началь ном значении. » Х ~ 1евеЯ(Ею О. 5к 100г О 8) К Х(101) 2.420473970178059е-11 Х = 1евес((Е, 0.5, 20, 1); Ьаг(Х) 202 мдт(.дв Повторный запуск модели с помошью программы Ь(п)и[1п[( Логистическая модель роста, которую мы исследовали, очень хорошо подходит для моделирования с помощью.
программы З(пш11п(с Ниже показана простая модель для программы З(во11п(с, которая соответствует рассмотренным выше выражениям: » орех вувкет рорвуп Давайте кратко рассмотрим, как эта модель работает. Если мы не будем учитывать блок Ри1ве Овпвга(ог (Генератор импульса) и блок Зим (Сумма) в левой нижней части рисунка, то эта модель будет действовать согласно уравнению х вследующий момент х пх(1 - х) втекущий момент, которое является уравнением для логистической модели.
Блок Зсорв (Индикатор) отображает график х как функцию от (дискретного) времени. Однако мы должны каким-то образом ввести начальное условие для х. Здесь мы покажем самый простой способ сделать это:мы добавим к правой стороне дискретный импульс, который является начальным значением х (здесь мы используем 0.5) во время В ~ О, и он равен 0 во все последующие моменты времени. Так как модель дискретна, вы можете достигнуть этого, установив блок Ри1ве Овпвгв1ог (Генератор импульса) в режим Запзр(в Ьввед (Основанный на образце), выбрав для периода импульса большее значение, чем длительность моделирования, приняв ширину импульса равной 1 и установив амплитуду импульса равной начальному значению х. Результаты, полученные с помощью этой модели, для двух интересныхслучаев и ~ 3.4 ии ~ 3.7 показаныздесь: » [Е, х) ~ в1ж('рор([уп', [О 120) ) з » в1ар1ек(к, х) г МВ1е('и ~ 3.4') 204 МАТ(.АВ Но при суммировании по а с учетом, что мы увидим, что эти две стороны выражения должны быть равными.
На матричном языке это означает, что (1 - А)р О, где р является вектором-столбцом цен. Таким образом, р является собственным вектором матрицы А для собственного значения 1. Теория вероятностных матриц подразумевает (допуская, что А является «несократимой», то есть, что нет никакого подходящего подмножества Е секторов экономики, такого, что все продукты из Е оставались бы внутри этого подмножества), что р уникально определяется с точностью до скалярного коэффициента.
Другими словами, замкнутая несократимая линейная экономика обладает уникальным состоянием равновесия. Например, если у нас есть » А ю [0.3, 0.1, 0.05, 0.24 О. 1, 0.2, 0.3, 0.34 0.3, 0.5, 0.2, 0.34 0.3, 0.2, 0.45, 0.21 0.3000 0.1000 0.1000 0.2000 0.3000 0.5000 0.3000 0.2000 0.0500 0.3000 0.2000 0.4500 0.2000 0.3000 0.3000 0.2000 тогда » ящв (А) которые повторно инвестируются в сельскохозяйственный сектор, так же обстоит дело и с химическими веществами, которые могут использоваться производственным сектором, и так далее.) Значение замкнутой модели состоит в том, что полное производство равняется полному потреблению.
Экономика находится в равновесии, когда каждый сектор экономики становится (по крайней мере) безубыточным. Для этого необходимо, чтобы цены на различные продукты регулировались бы рыночными механизмами. Пусть аз,з обозначает часть продукции 5-го сектора, которая потребляется 1-м сектором. Тогда элементы ап; являются элементами квадратной матрицы, называемой «матрица обмена» А, у которой сумма элементов любого из столбцов равна 1.
Пусть рг будет ценой продукции 1-го сектора экономики. Поскольку каждый сектор должен стать безубыточным, рг не может быть меньше значения затрат, потребляемых 1-м сектором, или другими словами, лава 10. Прикладные задачи 205 1 1 1 1 го есть, суммы всех столбцов равны 1, и » [ЗГ, )З) = е19(А) ) Р(1, 1) » р =ц[г, 1) 1.0000 0.2739 0.4768 0.6133 0.5669 зидно, что 1 является собственным значением для матрицы А с собственным век- гором цен р.
Несколько более точной является (неподвижная, линейная) открытая экономиаеская модель Леонтьева, которая учитывает рабочую силу, потребление и т.д. Давайте рассмотрим эту модель на примере. В следующих вычислениях мы будем использовать действительную таблицу деловых операций для экономики Великобритании за 1963 год. (Мы взяли эту таблицу из книги «[прог-Опгрпг Апа)уйз гпг) ггз Арр)гсагюпз» (Анализ затрат и результатов и его применение), Р.
З'Коннор и Е. В. Генри, На[пег Ргезз, Ньюгйорк, 1975.) Подобные таблицы можэо получить из официальной государственной статистики. Таблица 5' представаяет собой матрицу размером 10 х 9. В качестве единиц измерения в ней вы5раны миллионы британских фунтов. Ряды представляют соответственно сель:кое хозяйство, промышленность, услуги, межотраслевой итог, импорт, продажи конечным покупателям, косвенные налоги, заработную плату и прибыль, общие первичные затраты и общие затраты. Столбцы представляют соответственно =ельское хозяйство, промышленность, услуги, межотраслевой итог, потребление, привлечение капитала, экспорт, общий конечный спрос и производство.
Гаким образом, результаты от каждого сектора могут быть прочитаны по ряду, а гатраты на сектор могут быть прочитаны по столбцу. » 5' = [277 444 14 735 1123 35 51 1209 1944г 587 11148 1884 13619 8174 4497 3934 16605 30224г 236 2915 1572 4723 11657 430 1452 13539 18262) мдт(.дв 206 1100 14507 3470 19077 20954 4962 5437 31353 50430) 133 2844 676 3653 1770 250 273 2293 5946) 3 134 42 179 -90 -177 88 -179 Оз -246 499 442 695 2675 100 17 2792 3487) 0 0 0 0 26826) 954 12240 13632 26826 844 15717 14792 31353 4355 173 378 4906 36259) 1944 30224 18262 50430 25309 5135 5815 36259 86689)з Некоторые из свойств этой матрицы видны из следующих операций: » Т(4, з) - й(1, з) - Ж(2, з) "5(3, з) 5'(9» з) — '2(5ю 3) — '2(бю 3) - %'(7з з) — %'(8 ° 3) 5'(10, з) - 5'(4, в) - Ж(9 з) Т(10, 1з4) - й(1з4, 9) ' апя О ОО О О О О О О апя О ОО О О О О О О апя О О О О О О ОО О апя О ОО О Таким образом, четвертый ряд, который суммирует межотраслевые затраты, является суммой первых трех рядов, девятый ряд, который суммирует «первичные затраты», является суммой рядов с 5 по 8.
Десятый ряд, показывающий полные затраты, является суммой рядов 4 и 9, а первые четыре элемента последнего ряда соответствуют первым четырем элементам последнего столбца (подразумевая, что вся продукция из промышленных секторов учтена). Также мы получим: » (5'(з, 4) - й(з, 1) - Ж(зв 2) - 5'(зв 3))' (Т(з, 8) - й(з, 5) - Ж(з, 6) - й(зв 7))' (5'(з, 9) - 5'(з, 4) - 5'(з, 8))' Глава 10. Прикладные задачи 207 апя = 00 0 О 0 0 0 0 0 О апв 0 0 0 0 0 0 0 0 0 апв = 00 0 0 0 0 0 0 0 0 гаким образом, четвертый столбец, представляя общую межотраслевую продукцию, равен сумме столбцов с 1 по 3; восьмой столбец, представляя общий «конечный спрос», равен сумме столбцов с 5 по 7, и девятый столбец, представляя эсю продукцию, является суммой столбцов 4 и 8.
Матрица А «межотраслевых гехнических коэффициентов» получается при делении столбцов матрицы 3' промышленных секторов (в нашем случае есть три из них) на соответствующие общие затраты. Таким образом, мы получаем: » А ~ (з.(з, 1)/Т(10, 1), Т(:, 2)/Т(10, 2), Т(с, 3)/х(10, 3)] 0.1425 0.0147 0.0008 0.3020 0.3688 0.1032 0.1214 0.0964 0.0861 0.5658 0.4800 0.1900 0.0684 0.0941 0.0370 0.0015 0.0044 0.0023 -0.1265 0.0165 0.0242 0.4907 0.4050 0.7465 0.4342 0.5200 0.8100 1.0000 1.0000 1.0000 Здесь элементы в верхнем квадрате (первые три ряда) являются самыми важны- ми, поэтому мы выполним замену » А = А(133, $) 0.1425 0.0147 0.0008 Мйт(.АВ 208 0.3020 0.3688 0.1032 0.0861 0.1214 0.0964 Если вектор Т представляет общий конечный спрос для различных промышленных секторов, а вектор Х представляет всю продукцию для этих секторов, то последний столбец матрицы Т равен сумме столбцов 4 (общая межотраслевая продукция) и 8 (общий конечный спрос) и мы получаем матричное уравнение Х= АХ+У, или У=(1 — А)Х.
Давайте проверим это уравнение: » Т = 'Г(133, 8) ) Х = '2(1$3ю 9) ) Т - (еуе(3) - А) *Х апэ Теперь можно выполнять различные числовые эксперименты. Например, как изменится количество продукции при увеличении конечного спроса на промышленную продукцию на 10 миллиардов фунтов (10.000 в единицах нашей задачи) без увеличения спроса на услуги или на сельскохозяйственную продукцию? Так как экономика, как мы предполагаем, является линейной, изменение ЬХ для Х получается при решении линейного уравнения ЛУ =(1 — А)ЛХ, » ае1ваХ = (еуе(3) - А) 1 [Оз 10000) 01 с)е1еаХ 1.0е+04 * 0.0280 1.6265 0.1754 Таким образом, сельскохозяйственная продукция увеличилась бы на 280 миллио нов фунтов, объем промышленного производства увеличился бы на 16.265 миллиардов фунтов, а производительность сферы обслуживания увеличилась бы на 1.754 миллиарда фунтов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
