Brian_-_Matlab_R2007_s_nulya_33 (771739), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Вы можете узнать о новых командах из оперативной справки. Программа ЯипоИпК используется в примере «Й' Модель транспортного потока» и как вспомогательное средство в темах «Математическая генетика» и «Ф Численное решение теплового уравнения». Пример «Линейное программирование» также потребует данные из наборов инструментов Орйтиабоп (Оптимизация) и программы 8~тибпК. Примеры требуют различных уровней математической подготовки и опыта по другим предметам. Темы «Освещение комнаты», «Залоговые платежи» и «Математическая генетика» используют только математику из курса средней школы.
Пример «Моделирование Монте-Карло» использует немного методов вероятности и статистики, «Линейные экономические модели» и «Линейное программирование»вЂ” немного линейной алгебры. Для задачи «Маятник 360» окажутся полезными знания обыкновенных дифференциальных уравнений, для задачи «ьг Численное решение теплового уравнения» — знания некоторых дифференциальных уравнений в частных производных и для задачи «'Й Модель транспортного поток໠— знания дифференциальных уравнений, линейной алгебры, а также хорошие отношения с функцией е', где я — комплексное число. Даже если у вас нет подготовки для определенного примера, вы все-таки сможете узнать из него что-то новое о среде МАТОВ.
'пава 10. Прикладные задачи Эсвешение комнаты 176 1редположим, что нам необходимо решить, в каком месте на потолке комнаты «азместить светильники, чтобы осветить комнату лучше всего. Размеры комнаты ледующие: длина равна 10 м, ширина составляет 4 м и высота — 3 м. По эстетичекнм соображениям нас просят использовать небольшое число ламп накалива«ия.
Мы хотим, чтобы общая мощность ламп накаливания не превышала 300 ~атт. Как необходимо разместить данное количество ламп, чтобы добиться наи'юльшей силы света в самой темной части комнаты? Мы также хотели бы знать, лково будет улучшение при переходе от одной лампы накаливания мощностью )00 ватт к двум лампам по 150 ватт, к трем лампам по 100 ватт и так далее. Чтобы простить задачу, мы предполагаем, что в комнате нет никакой мебели и что ;вет, отраженный от стен, незначителен по сравнению с прямым светом от ламп «акзливания.
Эдна лампа на 300 ватт .'ели есть только одна лампа накаливания, то мы поместим ее в центр потолка. ]авайте нарисуем, насколько хорошо будет освещен пол. Мы вводим координату с, которая изменяется от 0 до 10 в длинном направлении комнаты, и координату б изменяющуюся от 0 до 1 в коротком направлении.
Сила света в данной точке измеряется в ваттах на квадратный метр) — это мощность лампы накаливания, 100, разделенная на значение 4п, умноженное на квадрат расстояния от лампы «акаливания. Так как лампа расположена на 3 м выше точки (5; 2), расположенюй на полу, то мы можем выразить силу света в произвольной точке (хз у) на юлу следующим образом. » вужв х у«111ша = 300?(4*рз*((х - 5) "2 + (у - 2) "2 + 3"2)) 11).ц«а )5/р1/ ( (х — 5) "2 + (у — 2) "2 + 9) » вгсспгсикй (111ц«а, (О 10 0 4] ) » сс1скзаар ('дкау')) ахзв в«зиа1 сздЫ 1(ы можем использовать функцию ехсоп1оцг(, чтобы построить график для этого «ыражения для всего пола. Мы воспользуемся параметром со1огп«ар для настрой- «и цветового перехода, чтобы нам было легче видеть освещение.
(Смотрите опе- зативную справку по дополнительным параметрам со1оппар.) мат).дв 178 Если взглянуть вдоль длинных стен, то комната теперь выглядит темнее в середине, чем в углах. Это указывает на то, что мы удалили лампы слишком далеко друг от друга. Мы могли бы продолжить строить другие графики контуров, но вместо этого давайте быть систематичными в поисках наилучшего положения для источников света. Вообще, мы можем поместить один источник света в точку х ~ а, адругой симметрично аж ~ 10 - а, где значение анаходится впределах от 0 до 5. Исходя из примеров, рассмотренных выше, самые темные места будут или в углах, или в середине двух длинных стен.
По симметрии интенсивность будет одинакова во всех четырех углах, поэтому давайте изображать интенсивность в виде графика в одном из углов — точка (О; 0) — как функцию от а. » а О1О.115) » р1ов (а, 11аЬО2(О, О, а) + 11аЬЕ2(О, О, 1О - а)) о.в о.в ол о 1 г з 4 в Можно предположить, что чем меньше будет значение а, тем более яркими окажутся углы. Напротив, график для интенсивности в средней точке (5; 0) длинной стены (в силу симметрии не имеет значения, какую из двух длинных стен мы выберем) должен возрастать по мере того, как значение а приближается к б. » а - ого.115 г » р1ок(а, 1аОЬЕ2(5, О, а) + 1аОЬЕ2(5, О, 10 - а) ) 1.В 1.4 1.г о.в 3 4 В г Глава 10. Прикладные задачи '1 79 Мы изменяем величину параметра а, чтобы сделать наименьшее из этих двух значений на вышеупомянугых графиках (соответствующее самому темному месту в комнате) настолько высоким, насколько возможно.
Мы сможем найти необходимое значение, если отобразим обе кривые на одном графике. » Ьо1а о; р1ок(а, ЫдЬЕ2(О, О, а) + 11дЬЕ2(О, О, 1О - а))) » р1ок(а, 11дЬЕ2(5, О, а) + 11дЬЕ2(5, О, 1О - а))) » Ьо1а охк 1.2 1.6 1.4 1.2 о.в 2 3 4 В о Наилучшее значение а находится в точке пересечения, около точки (1; 1), с наименьшей силой света немного ниже 1. Чтобы получить оптимальное значение а, нам необходимо точно найти точку, где пересекаются эти две кривые.
» в1 а: » едп а 6(а) 11дЫ2(0, О, а) + 11дЫ2(0, О, 10 - а) 11дЬЕ2(5, О, а) - 1адЫ2(5, О, 10 - а) » а1пк йяеко(едп. 10 51) с)1пс 1.4410 Таким образом, лампы должны быть размещены приблизительно на расстоянии 1.44 м от коротких стен. Для такого расположения приблизительная сила света в самых темных местах на полу будет следующей. » 1адЬс2(0, О, аапа) + 1адЬЕ2(0, О, 10 - а1пс) 0.9301 1ВО млтыв Сила света в самых темных местах в комнате равна приблизительно 0.93, в отли чие от силы саста 0.63 лчя случая с одной лампой накаливания. Таким образом, мы получили улу ппение приблизительно на 00 %. Три лампы по 100 ватт (в( Глава 10.
Прикладные задачи 1.В 1.4 12 о.в В 1 2 3 4 5 Нам известно, что для значений 41, близких к 5, сила света увеличится по мере того, как значение х увеличивается от 0 до 5, таким образом, нижняя кривая соответствует ж = О, а верхняя кривая — х ~ 5. Обратите внимание на то, что кривая х = 0 расположена ниже других для всех значений 41, а так же на то, что она повышается по мере уменьшения О. Таким образом, при 41 = 0 достигается наибольшая освещенность самых темных мест в комнате — ее углов (это соответствует ж = 0).
В этих местах сила света следующая. » 110ЬВЗ(0, О, 0) + 11д)зВЗ(0, О, 5) + 110ЬКЗ(0, О, 10) аля 0.8920 Удивительно, но результат получался хуже, чем с двумя лампами накаливания. При переходе от двух ламп накаливания к трем и при уменьшении мощности каждой из ламп, нам необходимо уменьшить мощность на краях комнаты и сосредоточить ее в центре. Мы, возможно, смогли бы улучшить результат для случая с двумя лампами накаливания, если бы мы использовали более яркие лампы по краям комнаты и более тусклую лампу в центре или если мы использовали четыре лампы по 75 ватт. Но наши результаты пока указывают на то, что выигрыш, который может быть получен при переходе к больше, чем двум лампам, вероятно, будет меньше по сравнению с выигрышем, который мы получили при переходе от одной лампы к двум. Залоговые платежи Мы хотим найти зависимости между залоговым платежом с твердой процентной ставкой, суммой займа (заимствованными средствами), ежегодной процентной ставкой и сроком кредитования.
Мы собираемся принять (как это обычно делается в Соединенных Штатах), что платежи производятся ежемесячно, даже в тех случаях, когда процентная ставка указывается за целый год. Давайте определим » рекуеак = 1/12) рексепс ~ 1/100) МдтЫВ 182 Таким образом, число платежей по 80-летней ссуде будет » 30*12 апв = 360 и ежегодная процентная ставка, скажем, 8 % преобразуется в ежемесячную ставку » 8арексепварекуевк апв = 0.0067 Теперь рассмотрим, что происходит с каждой ежемесячной оплатой.
Часть оплаты приходится на то, чтобы выплачивать проценты по неоплаченной сумме займа, Р, а часть оплаты идет на уменьшение суммы займа должника. Общая сумма, К, ежемесячной оплаты остается постоянной в течение всего срока займа. Так, если з обозначает ежемесячную процентную ставку, то оплата для уменьшения суммы займа будет К - 0Р и новая сумма займа после внесения оплаты станет Р— К+ 3Р = Р(1+.г ) — А = Рт — гс, где в ~ 1 + Х.
Таким образом, таблица суммы займа все еще неоплаченной после и платежей для ссуды с начальной суммой А и для и от 0 до б сводится в таб. лицу следующим образом: » еужежЮРЕАп » Мвр(вйо. ой Рвужепсе Кежвйв1вд Рк1вс1рв1в ) а »РавАр » йок в ю Овб 4(1вр([псж2еск(в), ' ', с)звк(Р))) Р ~ е1жр118у(-К + Раж) Г Мо. ой Раутепев Келвабп1пд Рг1пс1ра1 -К + А*ва -К-и*К + А*кв"2 -К-и*К вЂ” ж"2*К + А*лв"3 -К-в*К вЂ” ж"2*К вЂ” кв"3*К + А*в"4 Глава 10. Прикладные задачи 183 -К-и*К вЂ” п~"2*К вЂ” и"3*К вЂ” и"4*К + А'чп"5 -К-и*К вЂ” т"2*К вЂ” т 3*К вЂ” т"4*К вЂ” и"5*К +А*и"б Мы можем записать это более простым способом, обратив внимание на то, что Рвдяв+ (термины длн нычиоленин оплаты К) Например, при л в 7 мыполучим: » йаспог(Р— А*и 7) апв = -К*(1+в+и"2+и"3+и"4+и"5+в"б] Но с другой стороны, выражение в круглых скобках является суммой геометри- ческого ряда т" -1 и — 1 Таким образом, мы видим, что сумма займа после л платежей может быть записа- на как Р = А/и" — Я(т" — 1)/(и) — 1) Теперь мы можем найти ежемесячную сумму оплаты К, исходя из предположения, что ссуда будет выплачена за И взносов, то есть Р уменьшиться до 0 за И платежей: » вхжв И) » во1те(А*ВЧт - К*(ж")4 - 1)/(В - 1), К) К = виЬв(апв/ т, о + 1) А*в"И*(т"1)/(и И-1) А*(У + 1) "И*о/ ((У+1) И-1) Например, если первоначальная сумма займа А в 180000 $ и срок займа составляет 30 лет (360 платежей), то мы получаем следующую таблицу сумм оплат, как функцию ежегодной процентной ставки: » йокиае Ьвл)сз » ахар(' каке (и) иоле)з1у РаРжеле (Ф)')) 184 Мдт«АВ » аког гаге = 1: 10, еавр((гаев, ооиЬ1е(виЬв(И, «й, В), Ю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
