Brian_-_Matlab_R2007_s_nulya_33 (771739), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(в) Далее опробуйте метод на следующем примере: в+ Зх — 2у+ 4х =1 — 2аз+Зх+4у — г =1 — 4аз — Зх+у+2х =1 2аз+Зх — 4у+х =1 Проверьте свой ответ путем матричного умножения. г) Наконец, попробуйте применить метод матричного деления на следующем примере: ах+ Ьу = и сх+Ыу =г Не забудьте объявить переменные символьными. Ваш ответ должен включать в себя дробь, таким образом, он будет правильным, только когда его знаменатель не равен нулю. Выполните команду Век для матрицы коэффициентов этой системы. Сравните со знаменателем. 11. В этой задаче мы имеем дело с матрицами размером ЗхЗ, хотя принципы ре- шения одинаковы для любых размеров.
а) Рассмотрим строки квадратной матрицы А. Они являются векторами в трехмерном пространстве и охватывают подпространство размером 3, 2, 1, или, возможно, 0 (если все элементы А равны нулю). Это число называется рангом матрицы А. Команда квц1с программы МАТЕАВ вычисляет ранг матрицы. Примените эту команду к четырем матрицам коэффициентов в каждой части задачи 10. Прокомментируйте ответ программы МАТ(.АВ для четвертой задачи. б) Матрица ихп является невырожденной матрицей, если имеет ранг и. Какая из четырех матриц, вычисленных вами в пункте (а), является невырожденной? в) Другим показателем невырожденности является определитель — фундаментальный результат линейной алгебры; матрица точно является невырожденной, когда ее детерминант не является нулевым. В этом случае существует уникальная матрица В, которая удовлетворяет идентичности ДВ = ВА.
Мы называем такую матрицу инверсной и обозначаем А ~. Программа МАТ( АВ может вычислять инверсии с помощью команды апч. Вычислите йев(д) для четырех матриц коэффициентов, и для четырех невырожденных матриц, найдите их инверсии. Примечание: матричное уравнение Ах = Ь имеет уникальное решение, а именно х = А 'Ь = А ~ Ь, когда А является невырожденной матрицей. Практическое занятие В.
Исчисление, графика и линейная алгебра 12. Как пояснялось в главе 4, когда вы вычисляете 1У, й1 = еаи(А), каждый столбец П является собственным вектором А, ассоциированным с собственным значением, которое отображается в соответствующем столбце диагональной яатрицыи. Зтоговоритотом, чтоА11 = ВВ. з) Проверьте равенство Ао = тЖ для каждой из матриц коэффициентов в задаче 10. б) Фактически рангА равен рангу Гз, поэтому, когда А является невырожденной, то У 'АУ=А. Таким образом, если две невырожденных матрицы А и В имеют одинаковый набор собственных векторов, тогда факт, что диагональные матрицы меняются местами без изменения результатов, предполагает то же самое и для А и В. Проверьте эти факты для двух матриц: 1 0 2 5 2 — 8 А= — 1 0 4 В= 3 б — 10 — 1 — 1 5 3 3 — 7 то есть, покажите, что матрицы с собственными векторами являются одинаковыми, и проверьте, что АВ = ВА.
13. Эта задача по обработке данных генетической наследственности взята из главы 12 книги кАрр1зсайопз оГ 1.1пеаг А18еЬга» (Приложения линейной алгебры) С. Копет и Н. Апгоп, 3'~ ег)., 1оЬп Ъг)!еу8сЯопз, Хезт Уозйц 1984. В типичной модели наследственности характеристика потомка определяется генотипом родителей, где присутствуют две независимых возможности получения генов от каждого родителя, скажем, А и а, и каждая из возможностей одинаково вероятна. (А является доминантным геном, а — рецессивным.) Исходя из этого, мы имеем представленную ниже таблицу вероятностей возможных генотипов потомка для всех возможных комбинаций генотипов его родителей.
МАТСОВ Теперь предположим, что существует популяция, в которой скрещивание происходит только с чьим-то идентичным генотипом. (Это вполне естественно, если мы рассматриваем управляемую популяцию какого-либо растения.) Далее предположим, что жм уэ и ва обозначают процентное соотношение популяции с генотипами дд, да и аа соответственно, в начале наблюдения. Затем с помощью ж„,у и в мы обозначаем процентные соотношения в поколении а. Нам важно знать эти числа при и большой величины, а также как они зависят от начальной популяции. Это можно выразить следующим образом: х„+у„+х„=1 п>0 Теперь мы можем использовать таблицу, чтобы выразить отношение между поколениями и и (а+1) .
Из-за нашего допущения по скрещиванию только первый, четвертый и шестой столбцы являются релевантными. В действительности об. наружнвается, что мы имеем приведенное ниже: 1 х„„= х„+ — у„ 4 1 2 г„м =г„+ — у„ 4 (а) Запишите эти уравнения в виде одинарного матричного уравнения Х„м = МХ„, и > О. Подробно объясните суть элементов столбцовой матрицы д„ а также коэффициентов квадратной матрицы М. (б) Примените матричное уравнение рекурсивно, чтобы выразить д, на основе Хз и степени М (в) Используйте программу МАТОВ для вычисления собственных значений и соб- ственных векторов М (г) Из задачи 12 известно, что вду = ~ж, где й — диагональная матрица с собст:— венными значениями М.
Решите это уравнение для М. Вы видите, что собой представляет выражение Я = 11пт„~ Р"? Используйте это и ваше прежнее значение М на основе й, чтобы вычислить М„= 1пп„„М" . (д) Опишите возможное распределение популяции, вычислив М„Хз . (е) Проверьте свой ответ путем прямого вычисления М для больших специфических значений М. (Подсказка: программа МАТ).АВ может вычислять степени матрицы М, например, с помощью ввода команды М" 10.) Практическое занятие В.
Исчисление, графика и линейная алгебра 115 к) Вы можете изменить в этой задаче фундаментальное допущение, альтернативно предположив, что все представители поколения и должны скрещиваться только с родителем, генотип которого является исключительно доминантным. Вычислите возможное распределение популяции по этой модели.
Другие интересные модели представлены в главах 12-14 книги «Арр11сайопз оГ 1дпеаг Л18еЬга» (Приложения линейной алгебры) С. Когтев и Н. Алгол, З~ есЬ, )оЬп М!еу8гЯопз, Хен Уог)с, 1984. 14. ьг Ширина французского флага в 1.5 раза больше высоты, а сам флаг делится на три вертикальные полосы, имеющие (по порядку) синий, белый и красный цвета. Итальянский флаг почти такой же, но синий цвет заменен зеленым. Создайте массив 200хЗООхЗ, представляющий французский флаг, просмотрите его в окне изображения, и преобразуйте его в файл формата )рй — 1лсо!оге.)рп.
То же самое сделайте с итальянским флагом, но на этот раз преобразование произведите в файл 11а11а.)рй. Наконец, создайте фильм, демонстрирующий, как французский флаг превращается в итальянский. ГЛАВА 6. Программирование Каждый раз при создании М-файла вы пишете компьютерную программу, используя язык программирования МАТ1 АВ. Вы можете сделать в программе МАТЮКАВ очень многое, даже если будете применить самые основные техники программирования, с которыми мы вас уже познакомили. В частности, мы рассмотрели простые циклы (с использованием команды Еок) и элементарные способы отладки в главе 3. А в данной главе мы охватим более широкий круг программных команд и техник, пригодных для решения более сложных задач с помощью программы МАТЮКАВ.
Если вы уже знакомы с каким-либо языком программирования, то вы достаточно легко сможете овладеть большей частью этого материала. $Г Многие команды программы МАТЮКАВ сами по себе являются Мфайлами, содержимое которых вы можете посмотреть, используя команды Фуре или еадк, то есть можно ввести команду еще Евркззве, чтобы просмотреть М.файл для команды Евркзше. Вы можете подробно ознакомиться с техниками программирования программы МАТЮКАВ, исследуя включенные в состав программы М.файлы.
Ветвление Для многих задаваемых пользователем функций вы можете использовать М.файл- функцию, которая выполняет одну и ту же последовательность команд при любом параметре ввода. Однако зачастую возникает необходимость того, чтобы функция выполняла различные последовательности команд в различных случаях, в зависимости от параметра ввода. Это можно сделать с помощью команды ветвления, и, как и во многих других языках программирования, ветвление в программе МАТЮКАВ обычно осуществляется с помощью команды ЕЕ, что будет рассмотрено ниже.
Позже мы рассмотрим другую основную команду ветвления, ведкеЬ. Ветвление с помощью команды Ы В качестве простого примера ветвления с помощью команды ЕЕ рассмотрим представленный ниже М-файл-функцию аЬвча!лп, который вычисляет абсолютное значение вещественного числа.
Еивекдов у аьвзге1 (х) ЕЕх>0 у = хз е1ве у= -х 117 Глава 6. Программирование Г1ервая строка этого М-файла говорит о том, что функция имеет параметр ввода х и параметр вывода у. Если значение параметра х не является отрицательным, то выражение после аЕ определяется программой МАТ(.АВ как верное. Затем выполняется команда между ЕЕ и е1яе, чтобы приравнять у к х; при этом программа МАТ1 АВ пропускает команду между выражениями а1ве и ело. С другой стороны, если значение х отрицательное, программа МАТ(.АВ переходит к выражению е1ве и выполняет следующую за этим выражением команду, приравнивая у к -х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
