Metodichka (769476), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

2.3(энергия отсчитывается от дна зоны проводимости материала ямы). Такогорода рельеф носит название прямоугольной потенциальной ямы. В данномразделе мы будем рассматривать симметричную потенциальную яму(рис. 2.3, б).абРис. 2.3. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы: а – несимметричной, б – симметричной.2.2.1. С бесконечно высокими стенкамиРассмотрение начнем с идеализированного случая потенциальнойямы с бесконечно высокими стенками.

В этом случае вне ямы функция ( z , E ) тождественно равна нулю, а внутри ямы удовлетворяет уравнениюШредингера вида26Компьютерное моделирование микро и наноструктур 2  2  ( z, E ) E  ( z, E )2mz 2(2.15)с граничными условиями a   , E   0 , 2 (2.16)где a — ширина потенциальной ямы (толщина среднего слоя рассматриваемой трехслойной структуры). Тогда  a 2 — координаты интерфейсовмежду слоями.Из математической физики известно [20], что уравнение (2.0.) имеетрешение лишь при дискретных значениях энергии E — собственных значениях данного уравнения:2 2   E  .2m  a (2.17)Система обладает симметрией по оси Oz относительно начала координат, поэтому совокупность собственных решений уравнения Шредингера (2.0.) разбивается на подгруппы четных и нечетных решений:  C cos a , если   1, 3, 5,  z , E   C sin   , если   2, 4, 6,  a (2.18)Здесь C — нормировочный коэффициент.Графики огибающих волновых функций электрона в квантовой ямешириной 20 атомных монослоёв (11.3 нм) для первых четырех разрешенных уровней энергии представлены на рис.

2.4, а, а энергетический спектрэлектрона в такой яме — на рис. 2.4, б. Материал ямы — GaAs.27Рис. 2.4. Огибающие волновых функций (а) и квантованные уровни энергии (б) электрона в прямоугольной квантовой яме.Задания для компьютерного моделирования.1. Построить огибающие волновых функций и квантованные уровниэнергии в прямоугольной квантовой яме с бесконечно высокимистенками для различных значений ширины ямы: 10, 20 и 30 атомныхмонослоёв GaAs.Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 2.2.2.2. Со стенками конечной высотыВ реальном случае стенки потенциальной ямы имеют конечную ширину, и для симметричной потенциальной ямы потенциал U  z  в уравнении (2.1) имеет вид:a0,еслиz,2U z   U 0 , если z  a .2(2.19)Решения уравнения Шредингера (2.1) записываются отдельно в каждой из трех областей, где потенциал U  z  постоянен, в виде:28Компьютерное моделирование микро и наноструктур1  z   A1e  z , 2  z   A2 e j  z  B2 e  j  z ,(2.20) 3  z   B3 e  z .Здесь  2m B U 0  E 2m A E, , m A и m B — эффективные22массы электронов в материале A, образующем яму, и в материале B, образующем барьеры, соответственно.

Решения 1 и  2 записаны с учетомтого, что они должны равняться нулю на бесконечности. Значения констант A1 , A2 , B2 и B3 находятся из граничных условий (2.2), которые после подстановки туда решений (2.7) принимают вид:aa a jj22 A2 e B2 e 2 , A1eaaa A  e  2  A j  e j 2  B j  e j  2 ,22 1 m BmAmAaaaj j 22 B3e 2 , A2 e  B2 eaaaj j jj A2e 2  B2e 2   B3e 2 . m AmAmB(2.21)Система алгебраических уравнений (2.8) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю: a e 2   ae 2mDet  B00 ja2eaj   j 2emAja2eaj j 2emAja2eaj j 2emA ja2eaj  j 2emA0 0.a  e 2 a  2 e mB0(2.22)Раскрывая определитель и упрощая полученное выражение, приходим к уравнению29 2 m A2 sinh  j a   2 jm A mB cosh  j a    2 mB2 sinh  j a   0 ,(2.23)определяющему разрешенные значения энергии электрона в квантовойяме.

Уравнение (2.9) является трансцендентным и требует численного илиграфического решения.Система (2.8) имеет бесконечное множество решений, отличающихся друг от друга произвольным множителем. Выражая из этой системыконстанты A2 , B2 и B3 через A1 , получим частное решение в виде:a1 m A   j    2eA2  A1  1  j,2 m B a1 m A    j    2eB2  A1  1  j,2 m B (2.24)1  mA  ja 1  mA   ja e  1  jeB3  A1   1  j.2m2mB B  Графики огибающих волновых функций электрона в квантовой ямешириной 20 атомных монослоёв (11.3 нм) для первых трех разрешенныхуровней энергии, рассчитанных из уравнения (2.9), представлены нарис. 2.5.

Графики схематично наложены на зонную диаграмму гетеропереходов, образующих квантовую яму, при этом начала отсчета по оси ординат для графиков огибающих волновых функций совмещены с соответствующими значениями энергии на зонной диаграмме. Материал ямы —GaAs, материал барьеров — Al0.3 Ga0.7 As.30Компьютерное моделирование микро и наноструктурРис.

2.5. Огибающие волновых функций и квантованные уровни энергии электрона впрямоугольной квантовой яме со стенками конечной высоты.Как видно из рис. 2.5, в областях барьеров имеется определенная,хоть и весьма малая, вероятность нахождения электрона, то есть электрон,преимущественно локализованный в квантовой яме, проникает и в областибарьеров.Задания для компьютерного моделирования.1. Построить огибающие волновых функций и квантованные уровниэнергии в прямоугольной квантовой яме, образованной слоем GaAs,заключенным между слоями Al0.3 Ga0.7 As, для различных значенийширины ямы: 10, 20 и 30 атомных монослоёв.2. Сравнить положения энергетических уровней в такой квантовой ямес энергетическими уровнями бесконечно глубокой квантовой ямы.Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 3.312.3. Моделирование движения электрона вблизи потенциальнойступенькиРассмотрим модель рассеяния электрона на потенциальном рельефе,описываемом следующим выражением:0, если z  0,U z   U 0 , если z  0,(2.25)и изображенном на рис.

2.6. Область 1 сформирована узкозонным материалом A, область 2 — широкозонным материалом B.Рис. 2.6. Энергетическая диаграмма потенциальной ступеньки.Будем считать, что источник электронов находится в области 1 ибесконечно удален от границы раздела (интерфейса) между областями 1 и2. Электроны движутся от источника в положительном направлении осиOz, обладая энергией E.Решение уравнения Шредингера (2.1) с потенциалом вида (2.10) вобласти 1 будет иметь вид:1 ( z , E )  A1 e j 1 z  B1 e  j 1 z ,где  1 (2.26)2m1 E, m1 – эффективная масса электрона в материале A. То2Компьютерное моделирование микро и наноструктур32есть, 1 представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волныде Бройля, A1 – амплитуда волны, распространяющейся от источникаэлектронов к потенциальной ступеньке, B1 – амплитуда волны, отраженной от потенциальной ступеньки.Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке задачи вобласти 2 нет источников электронов и нет неоднородностей, от которыхони могли бы отразиться) и условие конечности волновой функции во всехточках пространства, в том числе и в точке z   , решение уравненияШредингера (2.1) с потенциалом вида (2.10) в области 2 можно записать ввиде: 2 ( z, E )  A2 e j  2 z ,где  2 (2.27)2m2 ( E  U 0 ), m2 – эффективная масса электрона в материале B.2То есть, в области 2 имеет место только волна де Бройля, распространяющаяся в положительном направлении оси Oz, A2 – амплитуда этой волны.Коэффициенты A2 и B1 могут быть выражены через коэффициентA1 с использованием граничных условий (2.2).

Подставляя выражения(2.11) и (2.12) в (2.2), получим: A1  B1  A2 ,,ABB, 1 1 1 12 2(2.28)откудаB1  A11   2,1   2A2  A12 1.1   2(2.29)Коэффициент A1 может быть найден из условия нормировки волновой функции, которая имеет смысл вероятности. При изображении графиков огибающих волновых функций его можно положить равным произ-33вольному числу, поскольку физический интерес представляет не амплитуда падающей электронной волны, а отношения амплитуд волн прошедшихи отраженных к амплитуде волны падающей.На рис.

2.7 представлены графики огибающих волновых функцийдля различных значений энергии электрона E вблизи интерфейса междуобластями 1 и 2, образованными материалами GaAs и Al0.4Ga0.6As соответственно.Рис. 2.7. Графики огибающих волновых функций электрона вблизи потенциальной ступеньки для различных значений энергии электрона, наложенные на потенциальныйрельеф. Начала отсчета по оси ординат для графиков огибающих волновых функцийсовмещены с соответствующими значениями энергии на зонной диаграмме.34Компьютерное моделирование микро и наноструктурГрафики схематично наложены на зонную диаграмму гетероперехода, при этом начала отсчета по оси ординат для графиков огибающих волновых функций совмещены с соответствующими значениями энергии назонной диаграмме.

Такое представление результатов расчетов позволяетнаглядно проиллюстрировать особенности интерференции электронныхволн на границе раздела двух материалов при различных характерных значениях энергии электрона.Физический интерес представляют коэффициенты отражения и прохождения, определяемые отношением плотностей потоков отраженных ипрошедших через интерфейс электронов к плотности потока падающих наинтерфейс электронов.

Определим вектор плотности потока вероятностиJ следующим образом (в нашем одномерном случае это будет скаляр):Jj   *  *  .2m(2.30)Тогда коэффициент прохождения D и коэффициент отражения R определяются следующим образом:D  limz R  limz J 2J 1J 1J 1,(2.31),(2.32)где J 1 – вектор плотности потока вероятности для электронов, падающихна границу раздела со стороны области 1, J 1 – вектор плотности потокавероятности для электронов, отраженных от границы раздела обратно вобласть 1, J 2 – вектор плотности потока вероятности для электронов,прошедших через границу раздела в область 2.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы