Metodichka (769476), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Из-за практически полного согласованияпостоянных решёток слои имеют малые напряжения и могут выращиваться произвольной толщины.На рис. 1.4. представлена зонная структура твердого раствораAlxGa1–xAs для двух поддиапазонов значений величины x: меньше и больше 0.45.а1. Устройство и принцип работы оптических интерферометров17бРис. 1.4. Зонная структура твердого раствора AlxGa1–xAs: а – x<0.45, б – x>0.45Основные параметры этого соединения представлены в Приложении 10.2.КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КРИСТАЛЛАХ ИКВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ СТРУКТУРАХС общетеоретической точки зрения, расчет электронных состояний вслоистых структурах должен проводиться путем решения соответствующей трехмерной задачи о зонной структуре материала.

В настоящее времяразработаны изощренные методы компьютерного расчета квантовых состояний в наноструктурах, основанные на микроскопических моделяхпсевдопотенциала или сильной связи. Тем не менее эти методы пока невсесильны и не всемогущи, и при конкретной работе именно приближенные методы эффективной массы (в случае простых энергетических зон),эффективного гамильтониана (для вырожденных зон) и плавных огибающих (в многозонной модели, например в модели Кейна) оказываются более удобными и результативными.В приближенных подходах решение внутри каждого слоя многослойной структуры (или композиционной области меньшей размерности вквантовых проволоках или точках) записывается в виде линейной комбинации независимых объемных решений, а для сшивки на гетерограницахвводятся граничные условия для огибающих волновой функции электронаи их производных по нормальной координате.19Расчеты электронных состояний в полупроводниковых наноструктурах, выполняемые в методе эффективной массы, основаны на решениистационарного (исключая экзотические случаи, когда потенциальныйрельеф является функцией времени) уравнения Шредингера, которое длядвижения электронов в перпендикулярном плоскости слоёв направленииявляется одномерным: 2  2 ( z, E ) U ( z )   ( z, E )  E   ( z , E ) ,2m z 2(2.1)здесь m — эффективная масса электрона, E — его полная энергия, U(z) —потенциальный рельеф для электрона вдоль оси z направленной в перпендикулярном к плоскости слоёв направлении.

Решением данного уравненияШредингера является z-составляющая огибающей волновой функции ( z , E ) , характеризующая движение электронов в перпендикулярномплоскости слоёв направлении и определяющая, с точностью до нормировки, вероятность нахождения электрона с энергией E движения вдоль осиOz в точке с координатой z.Для простой зонной структуры граничные условия на интерфейсемежду слоями A и B в общем случае имеют вид:~ , A  t11   B  t12  B~~ A  t 21   B  t 22   B ,(2.2)где  A,B — значения огибающей волновой функции на интерфейсе со стороны слоя A и со стороны слоя B соответственно,~  l   , ~  l  m A   ,ABz AmB z B(2.3)m A, B — эффективные массы электронов в слоях A и B соответственно, l —произвольный параметр с размерностью длинны, введенный чтобы элементы матрицы tij были безразмерными.

Выбор значений tij обычно по-20Компьютерное моделирование микро и наноструктурстулируется или осуществляется путем сравнения с результатами эксперимента или расчета в рамках какой-либо микроскопической модели. Чащедругих используются граничные условия, связанные с именем Бастарда: A   B 1 1  m zm B z AA(2.4)BРешая уравнение (2.1) с граничными условиями (2.2), можно построить огибающие волновых функций электронов с различными значениями энергии E.2.1. Моделирование энергетического спектра электрона в твердомтеле (модель Кронига-Пенни)Однако прежде чем приступать к моделированию энергетическогоспектра электронов в гетероструктурах, рассмотрим движения электрона вобычном кристалле.

Потенциальная энергия электронов в кристалле является функцией координат с периодом, равным расстоянию между атомами.Электрон в периодическом поле обладает рядом общих свойств, не зависящих от конкретной формы периодического потенциала [15–17]. Большинство из них можно выяснить при рассмотрении упрощенной моделикристалла, представляя его в виде цепочки атомов. При этом периодический потенциал становится одномерным. Форма периодического потенциала выбирается такой, чтобы расчет оказался наиболее простым [18, 19].В этом случае возможно проведение строгого решения уравнения Шредингера.

В модели Кронига—Пенни потенциал имеет вид прямоугольныхям (рис. 2.1), которые чередуются с прямоугольными потенциальнымибарьерами:210 , если nc  z  nc  aU z   ,U 0 , если nc  a   z  n  1c(2.5)где a — ширина ямы, b — ширина барьера, c  a  b — постоянная кристаллической решетки, U 0 — высота барьера, n  0 , 1, 2 , . Решенияуравнения Шредингера (2.1) при E  U 0 могут быть записаны в виде: An e j  z nc   Bn e  j  z nc  ,если nc  z  nc  a n z   , (2.6)  z  nc  a   z  nc  a C n e Dn e, если nc  a   z  n  1cгде12mn E ,(2.7)12mn U 0  E  ,(2.8)mn — эффективная масса электрона в кристалле, j — мнимая единица.Рис.

2.1. Потенциальный рельеф для электрона в кристалле (модель Кронига–Пенни).Из граничных условий (2.2), принимая во внимание постоянство эффективной массы во всем кристалле, получаем следующую систему алгебраических уравнений:22Компьютерное моделирование микро и наноструктурAn  Bn  C n 1e b  Dn 1e b ,jAn  jBn  C n 1e b  Dn 1 e b ,An e ja  Bn e  ja  C n  Dn ,(2.9)jAn e ja  jBn e  ja  C n   Dn .При этом между коэффициентами C n 1 , Dn 1 и C n , Dn существуетсвязь, вытекающая из связи между волновыми функциями  n 1 и  n . Таккак функции  n 1 и  n являются решениями одного и того же уравненияШредингера, то они могут отличаться друг от друга только постоянныммножителем, квадрат которого равен единице.

То есть: n   n 1e j ,(2.10)где  — некоторый вещественный параметр.ОтсюдаC n 1  C n e  j ,Dn 1  Dn e  j .(2.11)Подставляя значения (2.3) в систему уравнений (2.0.), получим систему из четырех однородных уравнений с четырьмя неизвестными An , Bn ,C n и Dn . Для того, чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов этихуравнений, был равен нулю. Записав и раскрыв определитель, получимуравнение, определяющее значения энергии электрона E (входящей в выражения для  и  ), для которых существуют нетривиальные решениясистемы (2.0.):2   2cosa  cosh b  sin a  sinh b   cos  .2(2.12)Анализ уравнения (2.4) затруднен тем, что энергия входит в  и  ,однако его можно упростить, представив потенциал в ещё более идеализи-23рованном виде.

Произведение b определяет степень прозрачности потенциального барьера для электронов, в него входит ширина барьера b ивысота барьера U 0 . Рассмотрим случай, когда ширина барьера устремляется к нулю, а высота — к бесконечности, причем так, что произведениеU 0 b остается постоянным. При этом, так как U 0 ~  2 , то при b  0 иU 0   произведение b  0 .

Тогда, вводя обозначениеP  limb 0U 0 U 0 b  const 2 ab,2(2.13)от уравнения (2.4) перейдем к более простому:cosa   Psin a  cos  .a(2.14)Уравнение (2.5) называется уравнением Кронига–Пенни. Параметр Pпропорционален площади потенциального барьера; он характеризует степень прозрачности барьера для электронов или степень связанности электрона внутри потенциальной ямы.Для анализа уравнения (2.5) изобразим графически его левую частькак функцию аргумента a (рис. 2.2, сплошная линия). Действительныекорни этого уравнения существуют только при тех значениях a , при которых левая часть уравнения принимает значения в интервале  1; 1 .

Нарис. 2.2 заштрихованы области допустимых значений a . Их ширина зависит от параметра P: чем он меньше, тем они шире и при фиксированномзначении P становятся шире с увеличением a , а значит и энергии.24Компьютерное моделирование микро и наноструктурРис. 2.2. Графический анализ уравнения Кронига–Пенни.Таким образом, энергия электрона в периодическом поле не можетпринимать любое значение, как для свободного электрона.

Она ограниченарядом полос (зон) разрешенных значений, отделенных друг от друга запрещенными зонами — энергетический спектр электрона в периодическомполе имеет зонную структуру. Ширина разрешенных зон определяетсястепенью связанности электрона внутри потенциальной ямы.Задания для компьютерного моделирования.1. Изобразить графически левую часть уравнения (2.5), схематическиизобразить на получившемся графике зоны разрешенных и запрещенных значений a . Проиллюстрировать, как изменяется ширинаразрешенных зон при изменении параметра P.2.

Проанализировать два крайних случая: P  0 (электрон совершенносвободен) и P   (барьер совершенно непроницаем, электрон заперт в пределах одной потенциальной ямы).Примечание: пример программы для среды MathCAD приведен в Приложении 1.252.2. Моделирование энергетического спектра электрона водномерной квантовой ямеЕсли сформировать тонкий слой узкозонного материала между двумя достаточно толстыми слоями широкозонного материала, то для электрона, движущегося в поперечном к плоскостям слоёв направлении, можетбыть сформирован потенциальный рельеф, изображенный на рис.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы