157411 (767289), страница 3
Текст из файла (страница 3)
4. Проблемы, связанные с математическим подходом к анализу рассуждений
Можно предложить достаточно простой выход из обрисованного данного затянувшегося кризиса: в основу логики классов (или множеств) нужно заложить не отношение принадлежности, а отношение включения, основные структурные свойства которого в настоящее время хорошо исследованы и однозначно определены в математике. Однако такой подход почему-то не привлек внимания современных логиков и начал исследоваться лишь несколько лет назад автором данной статьи [13-21]. Разумеется, использование отношения включения при моделировании и анализе естественных рассуждений отнюдь не означает, что отношение принадлежности должно быть изъято из математики. Но это отношение нуждается в более строгом определении. В соответствии с программой Гильберта отношение принадлежности относится к "первичным" (т.е. неопределяемым) понятиям. Но за этой "первичностью" следует ряд общепринятых формальных построений, из которых следует, что данное отношение уже "скрыто" определено специалистами по основаниям математики достаточно четко как двусмысленное понятие.
Еще одной трудной проблемой, связанной с моделированием и анализом естественных рассуждений, является ответ на вопрос: возможно ли в принципе математическое обоснование логики естественных рассуждений? На первый взгляд, эта проблема кажется неразрешимой. Принято считать, что математика оперирует понятиями и символами, которые имеют строгое определение и смысл которых является фиксированным, по крайней мере, в рамках какого-то определенного раздела математики. В настоящее время можно найти немало конкретных публикаций по математике и логике, где это правило нарушается. Во многом это обусловлено упомянутой выше "логической диверсией", внедрившейся в математику в начале XX века. Но в целом это правило все же является эталоном математики. В то же время в естественном языке нередко одни и те же слова или сочетания слов даже в разных местах одного и того же краткого текста могут иметь разный, а иногда и существенно несопоставимый смысл. В естественном языке вполне уместны и даже неизбежны такие "нелогические" явления как омонимия, полисемия, тропы, метафоры и т.д., которые принято объединять термином "полиморфизм языка". Как же в этом случае можно для логического анализа рассуждений на естественном языке использовать математику с ее прямолинейностью и однозначностью?
Однако при такой постановке проблемы смешиваются два принципиально разных понятия: язык "вообще" с его неизбежным "полиморфизмом" и сравнительно короткие отрезки текстов, которые по некоторым признакам можно отнести к классу рассуждений и обоснований. Если мы в своих поисках математической основы логики ограничиваемся только рассуждениями и обоснованиями, то тем самым существенно упрощаем задачу. Можно допустить, что основные (структурообразующие) термины в рассуждении могут использоваться в самых необычных значениях (общепринятые значения, разумеется, тоже не противопоказаны), но в пределах рассуждения они не должны быть "полиморфными". В противном случае такой речевой акт (или текст) может быть чем угодно в пределах шкалы "образец бессмыслицы - литературный шедевр", но только не рассуждением. Тогда "проклятие полиморфизма" языка если даже не снимается полностью, то, по крайней мере, существенно ослабляется. И при этом с точки зрения логики совершенно неважно, о чем это рассуждение: о законах природы или языка, о перспективах победы на выборах какой-либо политической партии, о "проколах" в существующем законодательстве или о преимуществах бисквитного торта по сравнению с манной кашей.
Кроме того, оказывается, что проблема несовместимости языка математической логики с естественным языком не является единственной проблемой, препятствующей поиску приемлемой математической системы для моделирования и анализа естественных рассуждений. Многие исследователи по логике заметили, что в естественных рассуждениях могут успешно применяться методы и приемы, которые кажутся вполне обоснованными, но в то же время несовместимы с аксиомами математической логики. Примерами таких методов и приемов являются ситуации, когда какое-то конкретное формально правильное рассуждение можно опровергнуть с помощью некоторых не вызывающих сомнения аргументов. В этом случае исходное рассуждение либо опровергается полностью, либо модифицируется за счет изменения некоторых исходных положений. Примерно по такой схеме происходит сложный и мучительный процесс развития человеческого познания, но для современной математической логики сама постановка задач моделирования и анализа таких "модифицируемых" рассуждений плохо совместима с ее методами и исходными предпосылками.
Другим примером несовместимости математической и естественной логики является допустимая в естественном языке многовариантность отрицаний. Например, дано утверждение "Тигры - травоядные млекопитающие". С точки зрения математической логики отрицанием его должно быть единственное утверждение, которое на естественном языке формулируется как "Неверно, что тигры - травоядные млекопитающие". В то же время с точки зрения естественной логики можно сформулировать более конкретные альтернативные утверждения, например: "Тигры не травоядные", "Тигры не млекопитающие" и т.д. (заметим, что отрицание, также как и исходное утверждение, не обязательно должно быть истинным). При этом у многих непосвященных в язык математической логики наверняка вызовет удивление (и, возможно, даже недоумение) следующее обстоятельство: если перевести исходное утверждение о тиграх и любое из приведенных выше альтернативных утверждений на язык математической логики и соединить эти утверждения в одну систему исходных посылок, то окажется, что такое совмещение в рамках математической логики не является противоречивым.
Эти и многие другие несоответствия между математической логикой и естественными рассуждениями стали для многих логиков в разных странах мощным стимулом к поиску альтернативных формальных логических систем. Появилось большое число новых "неклассических" логик (модальная, многозначная, немонотонная, паранепротиворечивая, логика умолчаний, логика веры, нечеткая логика и т.д.). По самым скромным подсчетам в настоящее время насчитывается не менее сотни вариантов различных "неклассических" логик. От "классических" логик эти логики отличаются тем, что в них не соблюдаются некоторые из законов булевой алгебры, которая лежит в основе математической логики, а также в основе логики, которая считалась классической до изобретения математической логики. Среди законов булевой алгебры, которые стали объектом ревизии в рамках "неклассической" логики, оказались не только малоизвестные законы, но и те, которые до XX столетия считались в логике основными, такие как закон двойного отрицания, закон исключенного третьего, закон непротиворечия (эти законы классической логики нашли отражение в основных аксиомах булевой алгебры).
Мало того, оказывается в рамках этой парадигмы доказано существование континуума некоторых вариантов неклассических логик [22]. Теперь можно только ликовать - на каждого жителя Земли приходиться не менее континуума уникальных логик. Огорчает лишь одно обстоятельство: ситуация чем-то напоминает известный библейский сюжет о незавершенном строительстве Вавилонской башни.
5. Возможные решения некоторых проблем
А можно ли предложить систему математического моделирования естественных рассуждений, в которой учитывались бы многие их специфические особенности, но при этом не требовалось бы в корне изменять законы булевой алгебры? Решением этой проблемы я занимался несколько лет. Результаты этих поисков опубликованы в различных изданиях и докладывались на международных и общероссийских конференциях по искусственному интеллекту и логике [13-21]. Но наиболее интересным результатом мне кажется то, что предложенный подход при определенной методической переработке оказывается вполне доступным для восприятия и понимания даже тем, кто в силу ряда обстоятельств недостаточно знаком с основными понятиями и идеями логики и математики. Опыт моего общения со студентами Санкт-Петербургского Государственного Университета Культуры и Искусств и школьниками показал, что они в течение нескольких аудиторных занятий вполне овладевают методами грамотного анализа таких рассуждений, которые трудны даже для специалистов. В одной из школ Санкт-Петербурга по этой методике начались занятия по логике среди учеников 7-го и 8-го классов. Преподавательница информатики Р.Ю. Дамм адаптировала ее к школьному курсу образования. В результате школьники через несколько уроков успешно справляются с многими сложными задачами анализа естественных рассуждений.
В чем же основные отличия данного подхода? Выделим два основных.
Отличие первое. В качестве структурной единицы формального рассуждения было выбрано суждение, т.е. в общем случае утверждение, в котором некоторому объекту или классу объектов (субъекту) присваивается некоторый набор признаков (предикатов) или их отрицаний. Термин "суждение" и сопутствующие термины "субъект" и "предикат" взяты из классической силлогистики, но в данном подходе смысл термина "суждение" более широкий. В Аристотелевской силлогистике субъекту суждения соответствует один и только один предикат или его отрицание, в то время как в предлагаемом подходе в одном суждении субъекту может быть присвоено произвольное число предикатов или их отрицаний. Например, утверждение "Все тигры млекопитающие" может быть представлено как суждение Аристотелевского типа. Но в то же время суждение "Все тигры хищные млекопитающие, не живущие в воде и не приспособленные к жизни в условиях Крайнего Севера" уже не является Аристотелевским, но вполне соответствует определению суждения в новом подходе.
В форме суждения можно выразить не только многие "нормальные" предложения естественного языка, но и такие логические конструкции, как определения или толкования терминов; факты реальной жизни, выраженные с помощью языка ("Земля вращается вокруг своей оси"); многие математические теоремы; законы природы и т. д.
Суждение - это результат каких-то знаний о системе. Эти знания могут быть ошибочными или вообще не имеющими никакого отношения к реальности, но основная задача логического анализа рассуждений заключается не в выяснении безусловной истинности отдельных суждений, а в проверке их совместимости. В начальной стадии логического анализа рассуждений предполагается, что все суждения истинные. Но если наш анализ показывает, что рассуждение в целом логически несовместимо (некорректно), то в этом случае у нас имеются основания предположить, что хотя бы некоторые из суждений данного рассуждения не являются истинными. При этом следует учесть, что сопоставление умозрительных суждений с реальными фактами, выраженными в форме суждений, также является рассуждением.
Отличие второе. Связь между субъектом и предикатами или их отрицаниями в суждении соотносится с отношением включения множеств. Обычно такая связь при переводе предложений естественного языка в классическое суждение осуществляется с помощью глагола-связки "есть", которая не всегда явно используется, но часто подразумевается. Дальнейший переход к математической структуре производится за счет преобразования этой связки в математическое понятие включения множеств. При таком переходе формулировка исходного предложения существенно меняется, но при этом существенного искажения смысла не происходит. В качестве примера возьмем два предложения: 1) "Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы" и 2) "Все металлы электропроводны". Если использовать математическую формулировку, то эти предложения преобразуются в следующие: 1) "Онегин включен в множество моих добрых приятелей и в множество людей, родившихся на брегах Невы" и 2) "Множество металлов включено в множество электропроводных веществ".
Стоит отметить, что связка "есть" в классическом суждении стала использоваться в логике под влиянием работ схоластов лишь с XIV века. Аристотель формулировал суждения более однозначно. Например, суждение "Все A не есть B" по Аристотелю выражалось бы как "Любому A не присуще B". Такая формулировка суждения по смыслу более близка к математическому соотношению включения множеств.
Использование понятия "включение множеств" в суждениях однозначно определяет выбор математического аппарата для моделирования и анализа суждений и их произвольных совокупностей (рассуждений). Этим математическим аппаратом является известная многим по школьному курсу информатики алгебра множеств. Законы алгебры множеств соответствуют законам булевой алгебры. Некоторые математики даже считают их эквивалентными (точнее, изоморфными) системами, хотя это не совсем так. Но для моделирования рассуждений алгебра множеств используется не в своем обычном виде - здесь она существенно расширена за счет использования некоторых мало известных свойств отношения включения множеств. Эти свойства подробно изучены в математике, но пока что не получили широкой известности, потому что они исследуются лишь в пределах некоторых появившихся сравнительно недавно разделов математики, таких как теория частично упорядоченных множеств и теория решеток. Однако при определенном методическом подходе понимание этих свойств и умение пользоваться ими при анализе рассуждений не требует от учащихся широкой математической подготовки, хотя некоторый минимальный объем математических знаний безусловно необходим.
На основе приведенных выше предпосылок был разработан метод математического моделирования рассуждений, с помощью которого в рамках силлогистики удалось решить многие проблемы. Разумеется, предложенный метод не претендует на полноту охвата всех возможных логических построений и не заменяет все методы и средства математической логики. Вместе с тем, при анализе рассуждений, которые без существенной потери смысла преобразуются в произвольную совокупность суждений, метод позволяет получить все возможные следствия и проверить отсутствие (или наличие) противоречий, оценить неопределенность (неполноту) данного рассуждения, сформулировать разнообразные гипотезы, уменьшающие эту неопределенность, оценить различные аргументы, подтверждающие или опровергающие данное рассуждение, решить ряд сложных проблем индуктивного вывода и т.д. Многие из упомянутых задач при использовании традиционных методов решаются намного труднее или же не решаются вообще.
Некоторые возможности нового метода удобно продемонстрировать на простом примере, взятом из книги Льюиса Кэрролла [23]. Пусть заданы три посылки:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
