86122 (764062)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= a - b , y=2ab, z= a + b .

Другие формулы: x = + b, y = + a, z = + a + b (1).

В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a=2c , b=d , откуда =2cd.

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),

где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;

X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.

Предположим, что уравнение Ферма x + y = z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

(x ) + (y ) = (z ) (4).

Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:

x = X; y = Y; z = Z; где X,Y,Z из (2) (5).

Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):

x = = ( ) ; y = = ( ) ; z = .

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n – нечётное ):

= = и = = .

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:

d = g ; 2 c = h , следовательно, = ; = .

Так как x, – целые, x – по условию, а – из-за нечётн. n, то g + h = k , где k – целое.

Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k меньше , так как =g , а <x, так как x=( ) . Число k заведомо меньше числа z.

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):

(g ) + (h ) = (k ) ; g = =( ) ; h = =( ) ; k = .

= = и = = .

d = p ; 2 c = q , следовательно, = ; = .

p + q = r , где r – целое число. Все три числа p,q,r меньше числа из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до .

При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.

Для чётных n=2m не кратных 4: (x ) +(y ) =(z ) , m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.

А. Ф. Горбатов

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов статьи