85482 (764049)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

«Инкарнация» кватернионов

Вводные замечания

Кватернион, долгие годы считавшийся бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологиям.

Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805–1865) [2].

Уильям Роуан Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 19 лет опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, а в 23 года получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В числе других математических задач он 10 лет безуспешно пытался найти описание поворотов трехмерного пространства на основе алгебры трехмерных чисел, пока не увидел, что их описание соответствует другой алгебре не с двумя мнимыми числами, а с тремя. Общепризнанно, что от типа алгебры, которой подчинена та или иная природная система, зависят ее геометрия, физические законы сохранения.

В одном из писем к своему сыну У.Р. Гамильтон писал: «Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего – если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца – ноября».

Стоит упомянуть, что оригинальное описание движения твердого тела с помощью кватерниона дал в 1873 году У. Клиффорд (1845–1879), а А.П. Котельникову (1865–1944) в 1895 году удалось истолковать все формулы теории кватернионов, как «неразвернутые» формулы теории обобщенных, т.н. дуальных кватернионов [3–6]. Применительно к кинематике этот подход устанавливает соотношение между движениями тела с одной неподвижной точкой и движениями произвольного вида [7].

Постановка проблемы

В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем k), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства – их произведение. В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения λy линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:

,

Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем k.

Алгеброй кватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающим единицей 1 и имеющим базис 1, i, j, k со следующей таблицей умножения [1]:

x i j k

i -1 k j

j – k -1 i

k – j – i -1

Или в более удобной форме:

При этом основное поле может быть взято произвольно.

Алгебра кватернионов над полем R

Наиболее интересной является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.

Прежде всего, установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27 равенств: по три возможности для каждого из 3-х множителей в равенствах типа (ab) c=а(bc), проверяемых для базисных элементов i, j, k.

Избежать этого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над и некоторой алгебры матриц специального вида над C. Единице сопоставим единичную матрицу 2-го порядка, матрицу (здесь i – мнимая единица, ), матрицу

и матрицу .

Отсюда следуют равенства: (проверить знак) Они означают, что пространство матриц Е, I, Y, K образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц делаем заключение об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле C комплексных чисел, то алгебра кватернионов над C окажется изоморфной алгебре М₂(C) всех квадратных матриц 2-го порядка над C, ибо матрицы Е, I, J, K линейно независимы над C и их линейные комбинации заполняют всю алгебру М₂(C).

Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве

Пусть α = а + вi + сj + dk – кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона. Сумма вi + сj + dk называется векторной частью кватерниона α. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.

Пусть и – два вектора-кватерниона. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов):

Здесь – векторное, а (u₁, u₂₎ – скалярное произведение кватернионов U₁ и U₂. Таким образом, скалярной частью кватерниона-произведения U₁U₂ оказывается скалярное произведение векторов u₁ и u₂, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона u₁u₂ равна вектору произведения векторов u₁, u₂. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов – скалярное и векторное.

Далее, можно видеть, что:

Отсюда,

Из последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных u₁, u₂, u₃:

[u₁, u₂, u₃] + [[u₂, u₃], u₁] + [[u₃, u₁], u₂] = 0.

Для этого достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли.

Алгебра кватернионов как алгебра с делением

Пусть дан кватернион α = а + вi + сj + dk = а + u.

Кватернион = а – вi – сj – dk = а – u, отличающийся от α знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом α. Ясно, что .

Умножим кватернион α на сопряженный ему . Получим

α = (а + u) (а – u) = а² + аu – аu – u² = a² + (u, u) – [u, u] = а² + (u, u) = а² + в² + с² + d².

Поэтому, если α ≠0, то α >0. Заметим еще, что α = α.

Число называется модулем (нормой) кватерниона α и обозначается через модуль . Теперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион α имеет обратный. Действительно, , так что обратным кватернионом для кватерниона α является . Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R, заключение о неравенстве a² + b² + d² ≠ 0 при α ≠0 было бы неверно, например, для поля C или для вычетов по простому модулю.

Тождество Эйлера

Начнем с уникально интересной теоремы.

Теорема. Модуль произведения 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство.

Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.

Действительно, пусть α = а + u, β = в + v, где а, в R, u и v – вектор-кватернионы. Тогда αβ = аb + аv + вu + vu = ab – (uv) + av + bu + [u, v].

Далее, = аb – ub + vu = аb – (u, v) – аv – bu + [v, u] = аb – (u, v) – аv – bu – [u, v] = αβ.

Теперь имеем:

,

откуда , что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь тождество через компоненты кватернионов, положив

α = а₁ – b₁i – c₁j – d₁k, β = а₂ – в₂i – с₂j – d₂k так, что

αβ=a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂-d₁d₂+(а₁b₂-в₁a₂-с₁d₂+d₁c₂) i+(а₁c₂+b₁d₂-с₁a₂-d₁b₂) j+(а₁a₂-в₁c₂+с₁b₂-d₁a₂) k.

Получим известное тождество Эйлера:

(а₁²+в₁²+с₁²+d₁²) (а₂²+в₂²+с₂²+d₂²)=(а₁a₂+b₁b₂+с₁c₂+d₁d₂)²+(а₁b₂-b₁a₂-с₁d₂+d₁c₂)²+(а₁c₂-b₁d₂-с₁a₂-d₁b₂)²+(а₁d₂-b₁c₂+с₁b₂-d₁a₂)²,

позволяющее выразить произведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм 8 квадратов. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм n квадратов, кроме перечисленных при n = 2,4,8 и тривиального тождества при n = 1, не существует.

Вращение трехмерного евклидова пространства

Пусть u, v, w – тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда согласно правилу умножения векторов в алгебре кватернионов получим υ² = v² = ω² = -1. Далее, υv = – vυ + [υ, v] = [υ, v] = ω. Здесь воспользуемся тем, что векторное произведение взаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i, j, k. Аналогично, vυ = -ω; vω = -ωv = υ; ωυ = -υω = ω. Таким образом, правило умножения векторов υ, v, ω является полным аналогом правила умножения векторов i, j, k. Иными словами, отображение 1→1, i→υ, j→v, k→ω задает изоморфизм алгебры кватернионов на себя, то есть, автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку i, j, k на тройку υ, v, ω, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространства векторов.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов статьи