23203 (761788), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2аρ/S – линеаризованное аэродинамическое сопротивление, приходящееся на единицу длины воздуховода, численно равное давлению, необходимому для создания единицы скорости одному кубометру воздуха в стационарном режиме, ;

ρ/S – коэффициент, учитывающий инерционность воздуха, численно равный давлению, необходимому для создания единицы ускорения одному кубометру воздуха, , иногда этот коэффициент называют акустической массой или инерционностью [7];

S/(ρc2) – коэффициент, учитывающий сжимаемость воздуха, численно равный количеству воздуха, которое необходимо сжать для создания единицы давления на одном метре длины воздуховода, , иногда этот коэффициент называют акустической гибкостью или податливостью [7].

Выведенную систему дифференциальных уравнений (26) можно преобразовать в одно уравнение, исключив одну из зависимых переменных (расход или давление). В результате получится дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Такие дифференциальные уравнения называются волновыми. В результате их решения получается, что во время переходного процесса при распространении волны расход воздуха является разным вдоль воздуховода в один и тот же момент времени. В этом случае воздуховод следует называть длинным воздуховодом. Но возможно существование воздуховода небольшой протяженности, при которой расход воздуха по длине воздуховода остается практически одним и тем же в один и тот же момент времени. Воздуховоды такой протяженности следует называть короткими воздуховодами.

Поскольку расход воздуха в коротких воздуховодах вдоль его длины не меняется, то производная от расхода воздуха по расстоянию вдоль оси воздуховода равна нулю. А это свидетельствует о том, что второе уравнение системы (26), обозначающее сжимаемость воздуха, исчезает. Воздух в таких воздуховодах становится как бы не сжимаемым. Следовательно, в коротких воздуховодах переходный процесс движения воздуха описывается лишь одним первым уравнением системы (26).

Пример. Рассчитаем переходный процесс движения воздуха в коротком трубопроводе. Для этого используем только первое уравнение системы (26), так как второе уравнение для коротких воздуховодов обращается в нуль. При этом расход воздуха не зависит от длины потому, что из-за несжимаемости воздуха в коротких воздуховодах он по всей длине трубопровода не меняется. Поэтому частные производные в первом уравнении системы (26) можно заменить на обычные. Расчет проведем в операторной форме в виде интегрального преобразования Лапласа – Карсона [8]. После разделения переменных это уравнение будет иметь следующий вид:

(27)

где – оператор Лапласа – Карсона (

– мнимая единица), Q(q) – расход воздуха в операторной форме (он не зависит от расстояния по оси воздуховода), р(x,q) – давление в операторной форме (оно является также и функцией расстояния по оси воздуховода). Остальные условные обозначения были приведены ранее.

Проинтегрировав левую и правую части этого уравнения, получим формулу изменения давления воздуха вдоль трубопровода, к тому же, в операторной форме, т. е.

(28)

Постоянную интегрирования А определим из граничных условий на конце воздуховода: при x = L давление p(L,q) = 0. Тогда для этого случая уравнение (28) будет иметь вид:

откуда постоянная интегрирования

(29)

Подставив значение А в формулу (28), получим выражение распределения операторного давления воздуха в трубопроводе в функции расстояния от начала воздуховода, т. е.

(30)

Отсюда следует, что давление воздуха вдоль короткого трубопровода распределяется по линейному закону, так как для коротких трубопроводов воздух является несжимаемым. В этом случае давление вдоль трубопровода распределяется так же, как и в стационарном режиме.

Перепишем выражение (30) для начального сечения воздуховода (х = 0). При этом учтем, что на вход воздуховода скачком подается постоянное давление ро = constant. В операторной форме Лапласа – Карсона это давление имеет выражение: p(0,q) = po. После подстановки в выражение (30) указанных значений величин и после преобразований получим формулу операторного расхода воздуха в начальном сечении воздуховода, т. е.

(31)

Применим к операторному выражению (31) обратное преобразование Лапласа – Карсона [8, формула 21.3]. Тогда получим выражение расхода воздуха в функции времени (t) в начальном сечении короткого воздуховода, а значит и расхода воздуха на протяжении всего трубопровода, т. е.

(32)

где Rаэр = 2аρL/S – линеаризованное аэродинамическое сопротивление короткого воздуховода длиной L [(1/c)∙(кг/м3)∙(м/м2) = =(кг∙м/с2)∙(с/м5) = Н∙с/м5].

Формулу (32) можно записать в относительных единицах (в безразмерном виде), а именно:

(33)

График расхода воздуха в относительных единицах, формула (33), показан на рис.3.

Рис.3. График изменения во времени расхода воздуха по длине

короткого трубопровода. Q*(t) – расход воздуха в относительных

единицах, 2at – безразмерное время.

Расход воздуха, обозначенный графиком на рис. 3, является одним и тем же по всей длине короткого воздуховода. График распределения давления по длине короткого воздуховода в приведенном примере во времени не меняется. Давление по длине короткого воздуховода от его начала до конца распределяется по линейному закону. Наибольшее постоянное во времени значение давления находится в начале воздуховода; а давление, равное нулю, – на конце воздуховода.

Заключение. Для того чтобы получить (из нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных) линейную систему уравнений, осуществлена линеаризация формулы Дарси – Вейсбаха. При этом использовано равенство площадей

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/

Характеристики

Список файлов статьи